книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

где

<5\. =1 и

&;

=0

при

L 5*!к

Б результате

~

~ г

гг.--/

*

{? = о ;

в

=

О

.

( 8 Л З )

? =

7Ї

2_

<Іі

( 8 . И )

и выборочная

дисперсия

~ 2

Поскольку

/7

и

о

случайные

величины,

каждая

из них характеризуется соответствующими дисперсиями. Так,

дисперсия

^

равна

6t = (у

-

$

f =

%

>

(8 . 1ь,

что нетрудно

показать с помощью (8.13)' и (8.12).

Можно показать,

что

оденки

р

и

€>

ооладают

всеми

свойствами

оценок,

отмеченных в предыдущем

шраграфе.

В заключение этого параграфа обсудим следующий практи­

чески

важный

вопрос,

С помощью (8.14)

мы сумели

сделать

определенный

вывод об

истинном значении

среднего

в генеральной совокупности. Как

оценить достоверность этого вывода? Казалось бы, поскольку

тип распределения

нам известен,

мы можем,

например, опреде­

лить

доверительный интервал

для оценки

среднего

при

^ =

П. -

і.

г

Танин обрязом, поскольку

% -

распределение хорошо

изучено, ыы располагаем

теперь методом,

с

помощью

которого

нетрудно

указать

достоверность

оценки

дисперсии

по

( 8 Л 5 ) .

Для указанной величини доверительный интервал с уровней

значимости

£

вычисляется по

Р

-квантилям

% -

распределения:

P f r *

<

А

< * Р а Ь З - £ « / - « . (9.R)

Отсюда

Р(\

~2

Решая это уравнение относительно

б

, определяв!' до ­

верительный интервал, в пределах которого с вероятностью

Р*

І -

Є

находится

истинное

значение

дисперсии

генераль­

ной

совокупности:

(9.9)

Значение

А р

вычисляется по

таблицам квантилей

~)С

- распределения или по таблицам

Vt.p

-

квантилей (см. § 3 ) .

Как

правило,

Рг

и

Р^

выбираю* т а ­

ким образом,

чтобы

= 1 - Р2=

%

. Д л я уровней

значи­

мостей

£

=0,3 и 0,05

при небольшом

объеме

выборки

имеем

выборки до

а

=5 и

П, =10

(предполагается,

что значение

#—*

Є

не изменилось)

имеем соответственно (

Є

=0,3)

°

-

и»1

-

0,022

•

а ~5'

и

С

= ° ' 1

І

0,'0І7

!

Л = Ю .

терзал становится уже, чем ©

(при

Є =0,05).

U «

.

(юл)

Ж

где

р

-

выборочное

среднее,

a

lp

- «агинное

значе­

ние среднего,

представляет, как показано

в § 8, случайную

величину с

нормированным

нормальным распределением. С другой

стороны функция

может быть

выражена через

рС*~

величину:

обладает

свойствами

случайной

переменной с

t -распреде­

лением со

степенями

свободы

•£ ~ п. -

1 .

Используем теперь это свойство для вычисления дове­

рительных

границ в

оценке

генерального

среднего.

Для

заданного

уровня

значимости

£

имеем

P(tQ

<

і

<

i J

-

1 - є .

(ю.з)

Как

обычно,

полонии

Р

* 1 - Р

=

%

. Учитывая,

что кван-

тили

t

-распределения

связаны

соотношением t

= -І

,

Следовательно,

мы можем утверждать, что с вероятностью

Р = / - £

истинное

значение

генерального среднего п

ле ­

жит

в пределах

Г

J;

W

?

^

^

^

'

(10.5)

где

у

и ё

выборочные среднее

и среднее квадратич­

ное

отклонение,

а •

-

квантиль

берется при ,-'»=a-f .

Тем оаыын мы можем ответить

на вопрос, поставленный

ральной

дисперсии

о

вынуждает

нао расширить

границы до­

верительной области. Степень расширения характеризуется ве­

личиной

отношения

і.,

е.,

- квантили и

U Р,

-кван-

тили нормированного нормального распределения, которое тан

больше,

чем меньше

объем

выборки. Лишь при очень большом

объеме выборки,

когда

оценка

о

практически

совпадает о

генеральной дисперсией, не происходит

дополш тельного

увели­

чения доверительного интервала.

Значения

Ь1

Єу ~ квантилей

(называемых иногда

коэф­

фициентами Стьюдента)

для уровней

значимости . 6 =0,3 и

0,05

(верхние

значения

соответствуют

Є =0,3, нижние

-

Є

=0,05) указаны в таблицеX

Таблица Д.

I

.

2

!

г •

10

1

.

3

* Г 5

6 1

1 0 0

1

1,96

'1.34

1,25

1,19

1,16

1,13

1,09

1,04

*-*

12,71

4,30

3,18

2,78

2,57

2,45

2,23

1,96

При п.-*оо

£-

распределение

стреиитоя

к нормированному

нормальному,

квантили

которого

для

Є =0,3 и 0,05

прак­

тически

равны I

и 2. Очевидно, при

п £

10 квантнд..

t - распределения заметно превосходят эти значения.

Пример;

По выборке из трех измерений

2,

=0,9;

Д . 1,1;

^ = 1 , 0

оценим генеральное

среднее. Согласно

(10.5)

имеем (

^

»

-1,0;

Є

=0,1)