книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие
.pdfРис. 12. Гиотограмма |
наблюдение. |
dL - ширины |
интервалов |
со,рти,рошни-. |
|
Возможные флюктуации числа (П^ описываются биноми
альный законом так, что оценкой дисперсии этих флюктуации
является величина
б . ~Пр.(1-р.)= |
т,(і |
- |
. |
(14.2) |
Используя эти данные, можно, например, с помощью мето
дов .регрессионного анализа (глава ІУ) построить огибающую
гистограммы. Однако |
сравнение |
эмпирического |
распределения |
|||||||||||||
;р. |
с гипотетическим |
можно провести |
без построения |
огиба |
||||||||||||
ющей, |
используя количественные |
методы |
статистического |
сог |
||||||||||||
ласия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, прежде всего, критерий согласия Пирсона. |
|
|||||||||||||||
Для заданного |
|
гипотетического |
распределения можно вы |
|||||||||||||
числить теоретические |
энач&нин для вероятности |
|
наблю |
|||||||||||||
дения |
событий в |
і - и н т е р в а л е . |
Очевидно |
5~п |
= у |
, р а с „ |
||||||||||
полагая выборкой наблюдений с объемом |
п |
, |
состарим |
сум |
||||||||||||
му . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.3) |
||
где |
Т |
- |
число |
анализируемых |
интервалов. Убедимся, что |
|||||||||||
при достаточно |
большом |
'17, |
случайные |
величины у. |
стре |
|||||||||||
мятся |
к переменным |
|
't/. с |
нормированным шрмаиьнын |
рас |
|||||||||||
пределением |
( и |
|
|
|
|
ІЛ. ) . . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
в соответствии |
с общими свойствами |
слу |
|||||||||||||
чайных |
величин |
и их оценок, при |
п |
» |
I флюктуации величины |
|||||||||||
.( П.. - |
пр. |
) |
должны описываться нормальным |
|
распределением |
|||||||||||
•с .нулевым средним |
и дисперсией |
o L |
|
*- П£Х .. Поэтому,, |
||||||||||||
учитывая, что -между параметрами |
р |
|
имеевоя |
одно свяэы- |
||||||||||||
вающее их соотношение |
2~,Р- ~ 4 |
|
* ш |
* о в в | 1 |
|
утверждать, |
||||||||||
что если |
исходная |
гипотеза «о .виде (распределения верна, |
то |
|||||||||||||
сумма |
(13.3) |
асимлтовивеоки мшьеп |
% - распределение |
о |
||||||||||||
4 = г - и
Іi-1- |
Пр. |
п > > . , |
Г-^х-і |
Если вычисление p i |
производится по гипотетическому |
||
распределению, параметры которого сами оцениваются на осно вании данного эмпирического материала, то чиоло степеней
свободы |
$ |
уменьшится еще на |
число |
оценок |
этих параметров. |
||||
Так, для |
распределения |
Пуассона |
$ - |
х |
- |
2 |
(оценивается |
||
генеральное |
среднее), |
а для нормального |
- |
^ |
« |
х - 3 |
|||
(оценивается |
генеральное среднее |
и генеральная |
дисперсии). |
||||||
Поэтому можно сформулировать следующий статистический крите рий согласия гипотетического распределения с эмпирическим:
гипотеаа принимается (с уровнем |
значимости |
Є ) , если |
|
Г— |
(П..-П.О.) |
* |
|
L |
« |
• |
(и-5> |
в противном случае она отклоняется. Возможность принятия конкурирующей гипотезы должна оцениваться в соответствии с
рекомендациями § 13.
.2 Кроме % - критерия Пирсона широко используется ин
тегральный критерий Колмогорова. По этому критерию сравни ваются эипиричеокая и предполагаемая функции распределения. Папогчим, что функция распределения представляет накоплен ные вероятности, т . е . для случайной величины и
|
Согласно |
Колмогорову |
|
случайная |
величина |
А 8 » |
eDv'nL , |
||||||
где |
п |
- |
объем выборки, |
|
а |
«О |
- максимальная абсолютная |
||||||
разность |
между |
упирической |
и гипотетической |
(любой |
непре |
||||||||
рывной) |
функциями распределения, |
т . е . |
|
|
|
|
|||||||
|
£>= |
max\Fjy) |
|
|
- |
F^p(y)\ |
, |
|
|
(».6) |
|||
при |
ґі |
» |
і |
приближенно |
описывается фун"цией |
распреде |
|||||||
ления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К М = Р С > ' < - л ) г - £ > t ) |
в " |
І х > о . |
|
4 в |
|||||||||
|
|
|
|
-ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, |
воли оказывается, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
||||
где |
Р ( А |
< |
\ _ |
е ) * 4 - е |
|
(значения |
протабулврованы |
||||||
и указаны в статистических |
|
таблицах, напримеръ |
|
|
Anot.*I,36)t |
||||||||
то о уровнем |
значимости |
Є |
критерий отбраоызает |
исходную |
|||||||||
гипотезу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как мы видели, очень часто случайные события могут быть описаны нормальным распределением. Этот факт устанавливается с помощью упомянутых критериев согласия, например о г~>мощью критерия Пирсона (при / = % - 3 ) .
Если при проверке отмечается некоторое несовпадение эмпи рического распределения с нормальным,тс описание исследуемого процесса можно улучшить, используя нормальное распределение
-QU
IA его производные. Плотность эмпирического распределения уоает Оыть представлена в виде
где |
- плотность нормированного нормального распре |
деления с |
аргументом |
у |
и ё |
- выборочные оценки среднего и дисперсии, А |
и£ выборочные асимметрия и эксцесс:
Для произвольного распределения асимметрия и эксцесс определяются соотношениями:
Для нормального распределения А и £ равны нулю. Асимметрия бывает положительной или отрицательной,
смотря по тому, в оторону больших или меньших значений спа дает более полого кривая плотности. Эксцесо представляет ообой меру "остроты" распределения, которое при положитель ном эксцессе является более ожатым (по отношению к нормаль ному распределению) или более "размазанным" при отрицательнон эксцессе. Так, для пуаоооновокого распределения К-У/Щ
иЕ = 1/N.
Вдальнейшем мы будем предполагать, что аа исключением особых случаев гипотеза о нормальном законе распределения соблюдается.
ЗА Д А Ч И
|
1. |
Подтвер .лть, |
что |
для распределения Пуассона |
||
....~ >;'.•.".' |
и |
є |
« |
1/N. |
||
|
2. |
Показать, используя (14.8), что в области больаих |
||||
ІІ |
улучшенной аппроксимацией распределения Пуассона являет- |
|||||
оя |
функция |
|
|
|
|
|
(N-N)*
««•&''"••;{'•*¥}•.
§ 15. Сравнение дисперсий
Гипотезы о дисперсиях играют в эксперименте исключитель ную роль, поскольку только знание параметров рассеяния ре зультатов и позволяет судить о надежности измерений.
Раосмотрим неоколько характерных аадач, встречающихся на практика.
Начнем о проверки гипотезы, что генеральная дисперсия не превышает некоторого допустимого вначення. Практически это сводится к "извечному" вопросу о том, при каких усло виях мы можем гарантировать достоверность результатов на ниже определенного уровня.
Отметим прежде всего оледуюцее. Пусть мы
раополагаеи определенный набором результатов, на основании
которых находим эмпиричеокое значение дисперсии |
б" |
(см. |
§ 8 ) . Заключение о величине генеральной дисперсии |
б |
мы |
можем сделать, только принимая во внимание случайный харак-
тер эмпирического значения |
о . |
|
Оценим предельное допустимое значение генеральной дио- |
||
Персии о |
, которое еще |
не противоречит опытным данным. |
Так как |
|
|
f1
где |
n |
- |
объем выборки, то |
предельное непротиворечивое |
|||||||
значение |
|
б max находитоя |
из уравнения |
|
|
|
|||||
|
|
|
"/пел |
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
а |
= |
-2 |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
С |
Є |
—Ц- |
|
|
|
|
||
При |
Є |
=0,05 значения |
квантилей |
4/тС |
, а |
также |
кваити- |
||||
лей |
^qes/f |
и |
А = |
|
°'/"^ |
« необходимые |
для |
дальней |
|||
ших рассмотрений, |
указаны |
в таблице ІУ. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица ІУ. |
|
|
4 = Л-7* і |
|
! |
! |
|
г |
—! |
|
|
2 |
! 3 |
4 ! |
5 |
6 |
10 ! |
2 0 . |
30 |
|
' ~o,os |
19,5 |
8,5 |
•5,6 |
4,4 |
3,7 |
2,5 |
1.8 |
1,6 |
|
||||||||
|
з,о |
2,6 |
2,4 |
2,2 |
2,1 |
1,8 |
1,6 |
1.5 |
1 f ' ' '"
оо
1,0
1.0
• л г |
58 |
22 |
|
|
13 |
9,7 |
7,7 |
4,7 |
2,9 |
|
2.4 |
|
1,0 |
||||
|
Пример I . Имеется выборка |
с |
П =7, |
согласно |
которое |
эмпи |
|||||||||||
рическое |
среднее квадратичное |
отклонение |
€> =2,3. Оценим |
||||||||||||||
верхнюю границу суждений о генеральном |
Q |
, н |
е |
противореча |
|||||||||||||
щих |
значению |
б |
|
• |
При |
|
Є |
«= 0,05 |
б |
= |
2,3«/3,7= |
||||||
4.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратимся теперь к проблеме проверки гипотез о величине |
||||||||||||||||
генеральной |
дисперсии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Предположим, |
что |
проверяемая |
гипотеза |
определяет |
генераль |
|||||||||||
|
|
|
|
|
н і |
^ г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ную дисперсию |
как |
о |
|
= о 0 |
|
; альтернативная |
гипотеза |
со |
|||||||||
стоит |
втом, |
что |
<5* > |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Коли исходная гипотеза верна, то величина |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
й! |
- |
|
2*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
<о |
- |
оценка |
дисперсии, |
сделанная |
на |
основании |
эмпири |
|||||||||
ческого материала |
с |
объемом |
П . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Выбирая уровень |
значимости |
Є |
, |
мы определяем |
верхнюю |
|||||||||||
допустимую |
границу |
случайных колебаний |
величины |
/Q* |
« |
||||||||||||
превышение |
над |
которой |
ставит |
под |
сомнение гипотезу |
|
6>"б: |
||||||||||
|
|
3, |
|
, w |
- |
/ - |
^ |
|
(15.4) |
|
|
Однако, |
если |
проверка |
показывает, |
что |
^ У б * 4 * |
' |
» |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
то это еще не гарантирует, |
что |
Є |
не миет |
быть больше, |
|
||||||
чем <о0 |
. Последняя |
возможность определяется |
величиной |
|
|||||||
функции |
мощности |
критерия |
по отношению к альтернативной |
|
|||||||
|
|
2 |
J |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
гипотезе |
б |
в 6^ |
> 0 0 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
где Л * т |
> |
4 |
(альтернативная |
гипотеза |
С * » |
б , |
||||
означает, ч: ) |
е |
% г г |
e ' / J ? |
) . Поэтому |
вероятность |
воа- |
||||
|
|
°Y |
|
|
|
|
|
|
2 |
л |
ножной ошибки, допускаемой при проверке гипотезы |
6 |
» |
б 0 |
|||||||
по отношенкго к альтернативной |
гипотезе |
о |
» а , |
= /\ |
о в |
* |
||||
равна р ш • / - |
ЯГ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, выбрав |
определенные значения |
£ |
и |
р |
, мы |
|||||
можем оценить, например, объем выборки, необходимый для раз
деления гипотез, или минимальное значение |
X |
, при котором |
||
гипотеза |
о «= о 0 |
будет забраковыватьоч |
с |
вероятностью |
Ж' і -je |
• |
|
|
|
Так как
то ато значение равно:
|
|
|
|
У* |
|
|
|
(15.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
£ |
= jb =0,05 |
значения |
А* |
для различных £ |
|||
указаны |
в таблице ІУ. |
|
|
|
|
|
||
Пример 2, На основании |
ї ї измерений оценка |
генеральши |
||||||
дисперсии |
оказалась равной |
в |
=5,6. Не подтверждает ли |
|||||
|
|
|
|
Z |
і |
|
|
|
этот результат сомнение, что Є |
> б 0 |
=4,7? |
_ д |
|||||
При уровне |
значимости |
£ |
=0,05 |
значе |
|
|||
= 1,8. |
Эмпирическая величина |
° / V r a =1,2 и противоречия о |
||||||
гипотезой |
о |
* €?0 нет. |
|
|
|
|
|
|
Если гипотезой альтернативной к проверяемой |
является |
|||||||
о |
, |
то критическая область |
при уровне |
значимости Ь |
||||
определяется соотношением |
г |
|
|
|
|
|||
а мощность критерия по отношению к яльтернативной гипотезе
Часто |
на практике приходится сталкиваться о более |
слож |
|||||||
ной задачей: сравнением двух |
дисперсий на основании их эм |
||||||||
лирических |
оценок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, |
что в процессе |
исследования |
генеральных дио- |
||||||
персий о , |
|
и |
<Э2 |
получены оценки |
р , |
и |
о 2 |
, |
|
каждая иа которых базируется |
на независимых |
выборках о |
|
||||||
объемами |
П1 |
и |
tvt |
. Проверим гипотезу |
|
« |
& t » |
|
|