книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие
.pdfное с использованием ортогональных базисных функций. |
|
|
||||||||
Действительно, |
для |
построения функции |
3" |
|
(х) |
|
и |
|||
нахождения |
Ы |
не |
нужно пепевычислять |
|
т.1 |
о( |
|
|||
значения |
|
|||||||||
Для оценки, является |
ли расширение з описании у(гп)—'-Гї(т |
+ 1) |
||||||||
целесообразным, мы обращаемся вновь к сравнению дисперсий |
||||||||||
S^(nt) |
и S*(fn + i) |
, |
вычисленных для |
|
у(т) |
|
и у(т |
+ 1), |
||
соответственно. При |
этом, |
для вычисления |
дисперсии |
S*(fti+1) |
||||||
моЕКо использовать |
уже имеющуюся оценку |
S^(nb) |
, |
так |
как |
|||||
п.т. 2
|
n-(m-hl) |
|
п - пг |
- |
і |
|
Сравнение |
дисперсий |
проводится, |
например, |
с |
помощью |
|
I f ^-критерия: |
отличие |
S^nt+i) и |
S*(m) |
будет значимым, |
||
если
Если вычисления показывают, что неравенство (22.15) вы полняется, улучшение в описании оказывается значимы»: и монно
сделать |
еще один шаг в |
расширении описания / ? — у ( т + 2), |
|||
добиваясь минимального |
значения величины |
S (согласно |
|||
Гауссу |
условие |
о' = пып. |
является необходимым, чтобы |
||
оценки |
Ын |
были элективными). |
|
||
Не всегда такое последовательное расширение в описании |
|||||
является действенным. Это обусловлено либо недостаточной |
|||||
информацией, содержащейся |
в эмпирическом |
материале(следует |
|||
расширить |
эксперимент |
или повысить точность измерений), ли |
||||||
бо неудачной |
формой описания. |
|
|
|
|
|||
Допустим теперь, |
что нам удалось |
получить |
минимальное |
|||||
значение |
S2 |
, и это значение |
не отличается |
значимо от |
||||
S* . Тогда |
целесообразно |
составить |
объединенную |
оценку. |
||||
|
|
f *t |
" |
* |
L |
r - |
» |
122.16) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
а для оценки дисперсии коэффициента регрессии избрать соот ношение
Є « * |
г - |
,1, |
ч ' |
|
(22.17) |
|
З А Д А Ч А |
|
|
|
|
При исследовании |
углового |
распределения |
^3 |
-частиц, |
|
возникающих при распаде поляризованных ядер |
Со*° |
(измере |
|||
на интенсивность |
р |
-частиц |
для 10 различных углов) пер |
||
воначально анализировалась гипотеза симметричного распределе
ния, |
т . е . Р(т?)~ Ы0 + о^СоИі* |
. При этом |
оценка |
S* име |
||||
ла значение |
S2 = 12,0. После |
уточнения |
описания |
Р($)~ |
||||
= c(0 |
+ c(tCos+diCos2-&соответствующая |
|
оценка |
оказалась |
||||
$ 2 |
= 2,0. |
Можно ли на основании |
этих |
результатов |
сделать |
|||
заключение |
о несохранении четности |
при |
|
р |
-распаде? |
|||
|
§ 23. Доотоверность оценки кривой регрессии |
|
|
|||||||||||
|
Оценки |
dK |
коэффициентов регрессии, как было |
указа |
||||||||||
но в предыдущем параграфе, распределены |
нормально |
со средний |
||||||||||||
« к |
«= о(к |
и дисперсией |
Є* = 6і/NK |
|
. Поэтому |
слу |
||||||||
чайная величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25.1) |
|
имеет |
С |
-распределение, число степеней свободы которого |
||||||||||||
определяется |
числом степеней |
свободы оценки |
о |
|
(для объе |
|||||||||
диненной |
оценки £ я £jzt~ |
пг |
) . Следовательно, |
мы можем |
||||||||||
утверждать, что о доверительной |
вероятностью |
/ |
" Є |
|
||||||||||
истинное-значение |
коэффициента |
регрессии |
|
лежит |
в пределах: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23.2) |
|
|
Пример. |
Рассмотрим |
вопрос |
об определении |
интенсивности |
|||||||||
источника с точки зрения регрессионного |
анализа. Пусть мы |
|||||||||||||
располагаем двумя измерениями интенсивности источника, b |
||||||||||||||
первом измерении за t1 |
= 100 |
сек прибор |
зарегистрировал |
|||||||||||
5770 частиц; |
во втором, |
проведенном через |
некоторое время, |
|||||||||||
счетчик |
за |
t a |
= 50 сек отметил 3012 |
чаотиц. |
|
|
|
|||||||
|
Еоли мы полагаем, |
что интенсивность |
|
источника |
постоян |
|||||||||
на, |
то для построения |
"кривой |
регрессии", |
содержащей лишь |
||||||||||
один параметр |
п = Ы , |
мы имеем две эмпирические точки |
||||||||||||
^= 57,7 ч/сек и V4 = 60,2 ч/оек, измеренные о дис-
перснями |
0 у = 0,58 |
и |
б2 = 1,2. |
Поэтому |
(см.задачу |
§ |
21) |
~ - |
4/5' + Ч/g/ |
|
с о |
о |
|
||
V = о<„ = |
— |
— - |
_ |
= |
53,3 |
v / c e i f < |
, |
а дисперсия |
оценки среднего |
|
|
|
|
||
|
б " = |
4 |
, |
л |
- 0,39. |
|
|
Поскольку здесь |
|
Л/, » |
•/ |
, ю |
^ f _ ^ j совпа |
||
дают с квантилями нормированного нормального рвопределения.
Поэтому, |
выбирая |
£ =0,05 |
( |
U ^ S 7 5 = |
I » 9 6 ) » |
записываем |
|||
|
V |
= |
(58,8 |
І |
1,2) ч/сек. |
|
|
||
Конечно, информация, содержащаяся в материале, в прин |
|||||||||
ципе позволяет оценить не только |
интенсивность, |
но и, |
напри |
||||||
мер, стабильность источника (если |
указано |
время, |
разделяющее |
||||||
интервалы измерений |
Ni |
и |
Л/а |
) . |
|
|
|
||
Располагая оценками |
о ( „ |
|
, можно указать так назы- |
||||||
ваемый коридор ошибок всей линии |
регреаоии, т . е . среднеквад |
||||||||
ратичное |
отклонение |
каждой точки |
эмпирической |
кривой |
рег |
||||
рессии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f "' I s'f |
( ' |
* |
(23.3) |
Воспользовавшись еще раз свойством ортогональности функций о?» » получаем
' |
к.о |
' к.о |
Оценкой среднеквадратичного отклонения кривой регрессии являетоя величина
т-1
|
|
V |
X ) " |
S l L X |
« W / N |
* |
' |
|
(23.5) |
|
где |
S |
- |
одна из оценок дисперсии коэффициента |
регрес |
||||||
сии с соответствующим числом отепеней свободы. |
|
|
||||||||
Оценки |
коэффициента регрессии |
о < к |
стохастически |
|||||||
независимы. Отсюда |
следует, |
что величина |
|
|
|
|||||
|
|
|
— s ^ r = l |
|
|
|
|
<гз-6> |
||
имеет |
|
£ |
-распределение, |
так что истинная кривая |
рег |
|||||
рессии лежит |
в коридоре |
|
|
|
|
|
|
|||
? W - |
^ |
i |
, % |
< ?М |
< |
?(*)+ |
V X |
, - i ' - % |
' |
(23.7) |
Коридор ошибок кривой регрессии будет соответствовать оценкам (23.7) при Є - 0,3. Заметим, что "ошибки" в
положении кривой регрессии определяются не локальными, а
интегральными характеристиками погрешностей измерений, пред ставленными в 5 и <Sp , и могут не совпадать с ошибками измерений в остальных точках, ом. рис. Ш.
Рнс. 14. Кривая регрессии (оплошная кривая)
и коридор ошибок (пунктирные ли нии).
Если имеется две эмпирические кривые регреооии
a - p r * . w j |
? . - p r e |
. ( г з.8, |
* • |
t |
полученные в результате двух независимых серий наблюдений, то гипотезу об их совпадении можно проверить, используя, например, локальный критерий.
Обычно наибольший интерес вызывает положение кривых в районе особых точек, например, в области резонанса. Степень совпадения двух кривых в отдельных точках можно установить о помоцью обычных статистичеоких критериев. Для этого снача ла вычисляют оценку суммарного коридора ошибок
|
|
S ( x ) |
= |
/s*(x) |
+ |
SM |
|
|
|
|
|
|
|
|
"г |
|
|
и затем |
ооотавляют |
величину |
|
|
|
|
||
|
|
t ( X ) - |
|
|
> |
|
(23.IU) |
|
которая, |
как отмечалось в § |
16, |
приблизительно |
описывается |
||||
t |
-распределением |
с числом степеней овободы, |
определяемым |
|||||
уравнением |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Sb) |
|
Sjx) |
|
S9 М |
|
|
|
|
— |
= — |
+ ~ х ~ ' |
|
( 2 3 Л І ) |
||
|
Гипотеза о совпадении кривых в точке |
X |
принимает |
|||||
ся, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
(23.12)
В специальной литературе рассматриваются также интеграль ные критерии, применяемые для проверки совпадения эмпиричес ких кривых в среднем во всем интервале изменения аргумента X . Очевидно, кривые в целом совпадают, если их коридоры ошибок в основном перекрываются, хотя в отдельных точках локальный критерий может отмечать их значимое расхождение.
З А Д А Ч А
Используя данные, указанные в примере, найти пределы возможных колебаний интенсивности источника.
§ 24. Влияние погрешностей в определении аргумента
В эксперименте значения независимой переменной известны не абсолютно точно, а о некоторой неопределенностью. Это скорее норма, чем исключение в практике эксперимента. Обычно погрешность в определении значений аргумента поддается конт ролю. Поэтому условия измерения планируются таким образом, чтобы относительная, роль "изначальной" погрешности была ми нимальной. Так, если исследуется временная зависимость, то пытаютоя расставить точки измерения таким образом, чтобы от носительная ошибка в определении времени была исчеаакнде малой.
К сожалению, всевозможные ухищрения не всегда дают должный эффект. Более того, иногда по условиям экспери мента точки расставлены настолько тесно, что существует реальная угроза " спутать ", т . е . приписать результа ты измерений, которые " по праву " принадлежат к сосед-
ней точке. Например, при измерении поглощения уд -лучей
с налой проникающей способностью толщина мишени увеличивает ся последовательным наложением тонких фольг. Ошибка в опреде
лении суммарной толщины растет как корень из числа фольг, и
на некотором этапе может сложиться парадоксальная ситуация,
когда толщина очередной фольги оказывается меньше, чем ошиб
ка в измерении общей толщины поглотителя.
В олучае, если погрешностями в определении значений ар
гумента пренебречь нельзя, анализ кривых должен базироваться
на иных принципах: эмпирические точки следует |
рассматривать |
||||||
как величины в многомерном пространстве случайных |
перемен |
||||||
ных (такой анализ называют конфлюентным, |
т . е . сливающимся). |
||||||
В большинстве случаев, однако, можно |
считать, |
что ошиб |
|||||
ки в определении |
X |
не |
очень велики. |
Тогда для |
установ |
||
ления искомой функциональной |
зависимости |
у |
= |
у(х) |
|||
можно воспользоваться результатами регрессионного анализа, внеся некоторые исправления в расчетные соотношения.
|
На участке |
кривой вблизи точки (Х^, у.) |
теоретиче |
||
скую |
кривую можно представить, |
ограничиваясь |
первыми |
члена |
|
ми в |
разложении |
Тэйлора: |
|
|
|
lj>(X)Z 7(Х.) |
+ ( Х - Х ^ 7 Ї Х 1 |
> + і ( х ~ х / / ґ Х і ) . |
(24.1) |
||
Поэтому в качестве оценки эмпирического среднего в соотноше ниях (21.7 ) следует избрать величину
nb-прежнеиу понимая под |
yL |
выборочное среднее, а для |
дисперсии эмпирического |
среднего |
- |
где |
Є |
- |
дисперсия случайных флюктуации выборочного |
||||||
среднего, |
а |
€> |
- дисперсия |
аргумента |
X . . |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
Происхождение |
поправок |
для |
и |
и |
ЄГ, |
довольно |
||
очевидно. Так, |
рассеиваясь |
вследствие |
диспероии |
€>х , эм |
|||||
пирические точки скапливаются на участках вогнутостей кривой.
Недостаток полученных соотношений (2Ч-.3) и (2Ч-.4) зак лючается в том, что они зависят от характера поведения кри
вой, вид которой еще следует установить в процессе предстоя щего анализа. Эта проблема обычно решается методом последо
вательных приближений, в котором в качестве исходной предпо
сылки можно использовать параметры кривой, проведенной черев
эмпирические точки прямо на глаз.
Серия кривых рис. /5. иллюстрирует быстроту оходимости этого метода. Практически; уже второе приближение совпадает
с предельной кривой, обозначенной жирной линией. Индексом ноль отмечена кривая регрессии, полученная при С* * 0 .
На некоторых участках предельная кривая лежит вне коридора ошибок ноль-кривой, обозначенного заштрихованной полосой. Итоговый коридор ошибок указан пунктирной кривой.