книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

от

I?

только

в

одну

сторону

или принимаются во внимание

любые

значения

у

,

критерий

может быть односторонним

Рис.Юа. Спасть

пр-нятия

гипотезы

р <

(односто­

ронний

критерий)

и критическая

область

^ 5

Эмпирическое значение

J?y

не

противоречит ис ­

ходной

гипотезе

ір = ір

,

а

?г ~

0 Т в е Р г а в т

ее .

2L

Рис. 106. Область принятия

гипотезы

< у<

9і-1/г

(двусторонний критерий) и критическая область

? 9

?1-*/а.1

9 6

9г/г

Эмпирическое значе­

ние

j>f не

противоречит

гипотезе

^ * j?° '

а

отвергает ее.

Границы критической

области, так

же как

и значения

,

вычисляются но ^сновании эмпирической выборки5и критерий

тем чувствительней,

чем богаче статистический

материал.

При прс-тих равных условиях односторонний критерий чув­

ствительнее

двустороннего

(интервалы

Д ^ £/

=

ft £/

~

р

и Д

« /?о

-

оказываются больше,

чем

£ =j^ £ - *?о

или

й ^ в ^ - г ) £

, за

исключением случаев

о резко

выра­

женной аоиммет[...ей распределения наблюдаемых событий).

Пример I . Для проверки сохранности углеродной пленки,

предназначаемой

для использования в качестве ядерной миаени,

произведены

три

измерения

ее веса: 0,9;

1,1;

1,0

мГ. Можно

ли утвержл^ть, что вес пленки но противоречит " паспортно­

му"

зі. чснию

О

= 1,18

мГ?

Здесь эмпирическое среднее

р

= 1,0,

Выбираем крите­

рий

значимости

£

=0,05. Согласно оценкам §

10,

гля

данно­

го уровня значимости границы критической области оказываются

явными:

р £ / г

= 0 , 8 8 ;

ft.^i**

(

Щ

*

°'У\/И «

0,06

;

Следовательно,

измерения не

противоречат

паспортному

данно­

му, хотя ограниченность выборки и не позволяет считать зак­

лючение

окончательным.

Б качестве другой иллюотрации обратимоя к задаче,

где

используется односторонний

критерий.

Пример 2.

Пусть электронная

аппаратура

допуокает

в

сред­

нем 3% просчетов. После ее

усовершенствования

в

1000

конт­

рольных

измерений

было зафиксировало 17 просчетов. Можно

ли считать,

что усовершенствование эффективно?

Поскольку

предполагаемая гипотеза

еоть оокращение

чио-

ла просчетов,

ыы должны проверить

возможность

случайного

отклонения

при первоначальном

среднем уровне

просчетов толь­

ко в сторону меньших значений.

Для данного процесса

испытания

вероятпость просчета

может быть определена на основании нормального

распределе­

ния (число

испытаний

»

I ) со средним

В

=30 и сред­

ним квадратичным откг-шением

& = /1000*0,03 « 5,48. При

критерии значимости

£

••••• ?,05,

нижняя граница допустимого

случайного

отклонения

г>£ = Б

= 30 -

5,48*1,64=21.

Улучшение

значимо.

?".'дача.

Допустим, что повторные

измерения

(пример I )

подтверждают,

что вес углеродной

пленки

отличается от паспорт­

ного значения. Сколько нужно сделать измерений, чтобы окон­

чательно убедиться в

этом?

Решение.

Длл данной

серии

П

испытаний

положение

Отслда,

если,

по-прежнему,

/7

« 1,0, а

У =0,1, то

- у ш 0}18

достигается

при П £

5 ( Є =0,05). Вооб­

ще же решение

этого

уравнения

сложнее, поскольку

значения г/

и 6

могут

изменяться в процессе

расширенной

выборки.

§

13. Альтернативные

гипотезы.

Мощность критерия

верна, а близка к истинной.

Таким образом, мы здесь

сталкиваемся с

возможными ошиб­

ками двух родов:

а)

непринятие гипотезы,

в то

время как

она

верна - ошиб­

ка первс .'о рода; вероятность

этой

ошибки равна

£

;

б) принятие гипотезы, хотя она неверна - ошибка второго

рода, Bepof/ лость которой обозначается р ,

Простой критерий с уровнем значимости

Є

контролирует

лишь ошибки первого рода

и не. измеряет степень

риска, связан­

ного с

ошибками второго

рода.

вероятность (по отношению к первоначальной гипотезе р а

р ^ )

попадания в критическую область должка

быть велика, если

эта

альтернативная гипотеза

справедлива.

Итак, если

проверяемая

гипотеза

р

= р о

неверие ,

то-

есть

генеральное

среднее р

j£ р^ и

р

«г р^

, тс

вероятность

того, что отклонение эмпирического среднего

П

'01

п

попадает в критическую область,

будет зависеть от

значения

. Обозначим

эту вероятность

как

равна

сения правильного

решения

для всех возможных

значений

о

,

отличных и

J|

, а для

^

определяет вероятность

вынесения неправильного суждения. Чем больше

Л

,

тем

ным средним

/?

и гипотетическим

средним

»ро

мало,

то

мощность критерия также мала. Однако

то,

что

критерий при­

нимает

неверную

гипотезу, совершая при этом

незначительную

ошибку,

не

имеет практического значения.

При прочих равных условиях мощность критерия тем зьше,

чем богаче

эмпирический материал.

Рис. На

и 116

иллюстрируют обсуждаемые здесь идеи.

ЕСЛИ ПО Выборочному

Среднему

Р)

Проверяется ГИП0Т688

р

= >ро

при

альтернативной

гипотезе

у

-

>

уо

,

то

критической

областью для исходной

гипотезы

будет

у *

p^g,

Поэтому,

если эмпирическое значение

г>

попадает

в ин­

тервал

г}^

< р

<

ір

-

Д , т о с

вероятностью

%

мы

должны

отдать

предпочтение

гипотезе

= ^ ,

и

лишь

с

веро­

ятностью р

=

-

гипотезе

у -

,

Другими

словами,

ошибка

второго

рода,

допускаемая

при

этом,

равна

р

.

Запи­

сывай

далее

У -

J3

-

Р(р

> ф

) ,

мы тем

самым

еще

раз ука­

зываем

интервал

Л =

£ -

р^тЬ

пределах

которого гипотезы

Поскольку

значения

квантилей

Р1 е

и

Ру» зависят

от

объема выборки,

функция

мощности

может

быть

использована

для

ния

гипотез.

Так, если исследуется генеральная совокупность с извест­

ной

дисперсией

6Г

, ю О

- О =(tl

+ U

) • - = - / где

fit

ff, у 1-е

1-у <

чтобы с

достаточной

уверенностью

различить гипотезы

^

и

,

оказывается

равным

1

4-І

i-fl

> у _ ^

(13.5)

Если опасность неверного выбора

гипотез

имеет равную

серьезность последствий, то полагают

£ «

, и при

отдают предпочтение исходной

версии lj> = фо ;

при обратном

неравенстве

принимают

у =

р

. Вероятность

ошибок каждого

из решений не

превышает

£ .

Примой. Обратимся вновь к задаче с контролен качества

углеродной пленки (§ 12,

пример

I ) с помощью взвешивания. До­

духе,

могла

"запылиться". При взвешивании допускается ошибка

6

=0,1

мГ. Сколько нужно сделать измерений,

чтобы

с

надеяі.сстью в 10$ мы смогли заметить изменение веса

в 0,1

мГ?

Полагая

Wf

е=»

^ч.рГ

^ о . э Г

^.получаем из

(13.5)

П

*

(2

• 1,64

•

0 , I / 0 , I ) 2

= I I . При этом,

если

среднее

арифметическое измеренных значений окажется больше

1,185

мГ

(исходное

значение

веса

равнялось 1,18 мГ), следует

конста­

тировать

увеличение

веса пленки.

кой величины

истинной частоты наблюдения событий в данном

интервале

(§

8).

Если число событий, отмеченных в данном интервале,рав­

но т .

,

а весь объем выборки - п

, ю вероятность

появления

событий в интервале оценивается

хек