книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

то

1. '•)

Нетрудно видеть

такие,

что

Величина

d

i

носит название функции

плотности

распределения.

Согласно

(1.5) произведение p{y')dy'

представляет

вероятность

наблюдения

олучайной

величины

у

в пределах

значений

у'* % * у'+

dtf'

( ° м «

( 1 . 3 ) ) ,

т . е .

s

Р(а

* у

« 6) 9 Jp(tf)dq'.

(1.6)

Очевидно [р(у')^у'я 4-

а

Хотя, "строго

говоря, функция

плотности

распределения

может применяться

лишь для

характеристики

случайных

величин о непрерывными

генеральными совокупностями, можно,

используя

понятие

S - Функции Дирака, ввести

функцию

плотности распределения и при описании дискретных

контину-

умои,определив

р(у)

к а к

р(у)

-

Zp^Siy-lJ

.

(1.7)

і

где

/>•

- вероятность

наблюдений

отдельных

значений

'

-

Функция Дирака.

Поэтому

Р ^ 4

у . '

- Е л

•

( і - 8 )

1.3.

Параметры

распределений

Для дискретной величины Му

определяют как

* V

ї • Е * л

.

.

< 1 Л 0 >

распространяя суммирование на вое возможные значения

у

.

Дисперсией oD/yJ

случайной величины навываетоя

матема­

тическое ожидание (т.е.среднее значение) квадрата

отклонения

-м(у-Му)

= (і, - д )

•

( L I D

аметиы, что

математическая

операция усреднения любом

функции

по нормированному распределению ( т . е .

при

jpdy'sl

)

определяется

как

и,соответственно,

для

дискретних величин,

Поэтому

1

Оо

или

I

(1.13)

Для вычислений полезно

соотношение

Величина

£

называется стандартным

или

средним

квадратичным

отклонением.

Отметим,

чти

tj

и

существуют

не

для

всех

расщ

делений.

чайной величины в зависимости от отклонения

ij

от

средне­

го

значения

LJ ,

характеризуется

следующим

неравенством

Чебышева:

Для любого распределения с конечными

значениями

Ц и

вероятность

события

|

у |

ї-

,

где

д

~

число,

большее единицы,

не

превосходит

' А *

,

т . е .

с

Для доказательства последнего отметим сначала одно свой-

стио случайной величины, которая может принимать лишь

неотри­

цательные

значения.

Пусть

Z

-

такая

величина,

тогда

для

любого

положи­

тельного

числа

6

справедливо

неравенство

P(Z

* 6) і

Z/g .

( I . I 5 )

Действительно,

согласно

(1.4) и

( 1 . 6 ) ,

P ( z

» 6)ш fF(z)Jz

,

S

где

р

-

плотность распределения

Z

. С другой

сторо­

ны,

при

Z г

О

z-fz'pJz'*

Jz'pdz*

fSpc/z'-$fpJz'

°

s

s

t

(так как в области интегрирования

Zi&)

,

откуда

и

следу­

ет

неравенство ( I . I 5 ) .

Заметим теперь,

что

неравенства

^ |

»

Q

и

(у-у)

равносильны.

Следовательно,

испольвуя

( I . I 5 ) ,

1.5.

Квантили

Функция распределения

Р -

F(f)

указывает

зависимость вероятности Р

от значении

слу­

чайной переменной. Обратная

функция

у * -

9(9)

( М б )

распределения.

Квантиль, которая

соответствует

накопленной

вероятности Р

, называется

Р

- квантиль»

и обознача­

ется как ^

.

Для непрерывных и дискретных распределений

явля­

ется, соответственно,решением уравнений

Р - j V f j / V y

и Р(^)

= ГРС

(І.Г7)

1.6. Нормальное распределение

і! качестве

примеров непрерывного

и дискретного

распреде­

лений рассмотрим

нормальное

и

биномиальное

распределения.

Функция плотности

нормального

или Гауссового

распределения

имеет вид;

- а)

( I . I 8 )

Это симметричное

распределение (рис.2)

со средним

значением,

равным

О и дисперсне?

оо

-оо

Поэтому

нормалі:юе

распре­

деление

обычно

записывают

Рис.2. Нормальные распределе­

в виде

( І Л 8 ) ,

заменяя уа"*

ния при различных б'.

на б " . Геометрически

стандартное отклонение

б

совпадает

о расстоянием

от

сред­

него значения у •

а

до точек

перегиба

кривой.

Для случайной

величины

у

с

чормальным

распределением,

вероятности наблюдения

ее значения в интервалах у

t б

,

шей информативности о характере

распределения ( I . I 8 ) .

Нормальное распределение играет очень большую роль в

математической статистике (см.

§ 2 ) . Это неудивительно, иоо

рым присущи самые общие закономерности:

непрерывность

значе­

ний, равновероятность

симметричных относительно

и

откло-

нений, большая

вероятность

малых

отклонений

от

у

Очень часто рассматривают нормированное нормальное рас­

пределение

для

величины

у-а

которое имеет

ВИД

- -Lr-

ц

г

рМ

Є

Очевидно,

U =0

,

а

Х)(и)

= i

(параметры

( 0 , 1 ) ) .

Нормированное распределение хорошо изучено; имеются

подробные

таблицы

квантилей

Up

. Квантили ненормирован­

ного нормального

распределения

находятся

как

УР

'

а +

V P '

6

•

(1.22)

1 . 7 . Биномиальное

распределение

Биномиальное

распределение

или распределение Бернулли

А при неизменных условиях в

серии

П экспериментов

(испыта­

ния независимы между собой).

Пусть

условия таковы,

что

Это соотношение

часто используется

для решения обратной

задачи: исходя из наблюдаемой величины

Л/

оценить среднюю

интенсивность событий

А

. Соответствующие

оценки

произво­

дятся с помощью табличных значений квантилей

А/

биноми­

ального распределении (см.гл.П).

Если число объектов

наблюдения очень велико ( П. » I ) ,

ческими

формулами.

Распределение редких событий, наблюдаемых в течение вре­

мени t

, описывается

соотношением

Пуассона:

P(N)

*

<!•*>

п.—»•«>, но

при услови",

что

т) "

An

остается конечной

величиной. Таким

образом,

піраметр

і)

характеризует

среднюю

интенсивность событии,

Р

-

вероятность наблюдения

А/

событий за

время

І- . Очевидно,

среднее число N * *)t

Разумеется,

LXO подтверждается

прямыми

вычислениями:

£(N)=]~(N-N)ZP(N)=H

шй .

(і . 28)