книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

их оценкам.

Однако

в эксперименте на определение

V

отводится

не бесконечное, а конечное время,

поэтому его необходимо

так распределить

между отдельными

операциями, чтобы

2>(Y)

—

-

тт..

Если бы слагаемые, входящие

в (26.3),

оказались равными

между собой

(при

£ £

=1),

полное время можно было бы

персия

3)(Y)

минимизировалась бы только

за счет увели­

чения

суммарного

времени.

2

г

В общем олучае, величины (дУ/ду^)

• Кі

не равны

и больнее внимание следует уделять

тем измерениям, вклад ко­

торых в диопероию

£)(Y)

максимален.

Положим

п.

Т =

J^iL

(26.5)

и будем искать

минимум дисперсии

Х>(У)

при общем условии

где параметр

Л

определяется затем о помощью (26.5).

Иопользуя

эту процедуру,

находим

f

„

J

і

Ы

L ,

(26.7)

а затем

t

. «

т

W - ^ j J i Y

, d

t i K -

{ 2 6 • ю ,

В эксперименте значение

к'Л ,

оценивается

с помощью

ананий

(ь.

, в общем невелика,

так как

обычно больший от­

носительный

разброс

в fiL

2

наблюдаетоя1

в тех точках, вклад

которых

в дисперсию

Z)(Y)

минимален.

Чтобы оценить эффективность полученного соотношения,

сравним

результаты

изиерения

У

по двум методикам: онтк-

Пример.

Оценим время, необходимое

для определения ин­

тенсивности

о требуемой

точностью

8

. Пусть

V

и Va -

предварительные

оценки

интенсивноотей

источника

с фоном и

отдельно фона. Тогда У - V - У. ,

h.

= У

и

раопреде-

ление времени определяется соотношением

а общее время Т

определяется ив выражения

Так, если

V,

«100 ч/мин,

Vft

=25 ч/мин, а

$ = 3%,

то

Т*

=

J -

— 4 5 мин

при

t f

» 30

мин и

t 2

=

15 мин.

Этот

пример еще раз подтверждает основной вывод ив

предшествующего

анализа,

что с

наибольшим вниманием оледует

измерять

точки,

вклад

которых

в общую дисперсию максимален.

З А Д А Ч А

Оценить время, необходимое для определения отношения

интенсивноотей

двух источников

о точностью

<5\

Решение. Пусть

V

„

-> интенсивности

источников. Тог-

да

' *

V ^ x

'

^

j

•

Распределение

времени оптималь-

но,

если

При

\)f

=400 ч/мин;

V>4 =100

ч/мин;

<5" =5%

имеем

Т

=9 мин.

§ 27.

Выбор точек наблюдений

Дальнейшая минимизация дисперсии исследуемой функции

У~

V f ^ , ^ с о в е р ш а е т с я

с помощью подбора оптимальной

комбинации

вспомогательных

величин

^ . .

Некоторые рекомендации здесь

довольно

очевидны* Tax,

уже

в опыте

по определению

интенсивности

источника точнооть

проанализируем проблему оптимального выбора величин

Ljt,

подразумевая

под исследуемой функцией У = У(у^ • •• >ул) кри­

вую регрессии, уравновешиваемую по заданным точкам.

Мы определили,

что кривую регрессии целесообразнее вое-

го описывать с

помощью ортогональных

функций

/71-У

(Х)

•

(27.1)

Тогда дисперсия

функции VYx)

в некоторой точке

X

оце­

нивается из

соотношения

(27.2)

где параметр

G*

, так же, как и оаыи функции

, за ­

висит от дисперсий

измерений

Ljt

:

(27.3)

а функции

выбираются, исходя из соотношений

п.

L

t-i

(S*(Y)

Проблема минимизации дисперсии

оводитоя,

та­

ким образом,

к оптимальному выбору числа точек

у .

и их

положения, (исходя из некоторых

предварительных

измерений б* ).

el

Условимся, прежде всего, относительно выбора числа

т о ­

чек измерения. Как мы знаем, целью

регрессионного

анализа

яв­

ляется

выбор

наилучшего

описания эмпирического

мате­

риала,

содержащего

измерения

в

П

точках.

В процессе

этого

анализа подбирается, в частности, максимальный номер

^ т

о х

функций

<2Гк

, используемых в

описании

(для

полиномного

представления

максимальная

степень

X

равнялась

т

-

У ) .

max

При

этом

предельное

значение

П\

&

П.

max

С другой стороны, если заранее твердо установим набор

функций

2Cjx)

с

известным

/72m

(например,

утверждаетоя,

что

в

разложении

функции

Y-

Y(x)

в

ряд

по

X

максималь­

ная

степень

X

равна

т

-

і

) ,

то

минимальное

число

точек

наблюдения

равно П.

. *

т

. При

этом

можно

показать,

/7Ї СЛ.

что если точки расставлены так, чтобы

обеспечить минимум

дис­

персии, то введение еще одной точки наблюдения может только

ухудшить

точность

оценки

параметров

кривой (при том

же

вре­

мени

наблюдения).

Для иллюстрации последнего утверждения рассмотрим при­

мер с линейной регрессией. На рис.

16л

указаны

два

резуль­

тата

наблюдений

и

,

полученные

для

проведения

линии

Средняя квадратичная

ошибка

в

оценке

параметра

р

рав­

на 6?

=

і/б*

*

6 Z

/(Х~

X )

(§

21).

Приблизительно

это

^

У*.

У*'

1

значение

о „р

совпадает

с

разбросом

угла

наклона

в

пучке

трех точках, включая еще одну промежуточную

X

,

лишь

снижает точность измерения отдельных

у.

,

расширяет

ко­

ридор ошибок и в итоге увеличивает

(рис. І6&

) .

Таким образом,

полагаем, что

число

точек

измерения

а = пг . Тогда

в качестве функций °£КМ

можно избрать

ин­

терполяционные

полиномы Ньютона:

z J*) - -

^

П ^ 4 4

tjx)

(27.5)

Вое функции

^ к 0 0

являются полиномами

степени

П.-it

различаясь

между

собой

коэффициентом

при

X

. Их

ортогональность

следует

из очевидного

равенства

t„(х.) =

- 5

,

. Отсюда вытекает

также, что

/V =)

UfX„(X..) = 1

КJ

/f

С^.

і

К

і

Возвращаясь теперь

к соотношению (27.2),'"получаем

п.

п.

мощью которых

мокно было бы составить

представление о пове­

дении функции

трудности измерения k

=

h(x) •

Предложенный метод минимизации

&(У(Х))

связан о

довольно кропотливыми расчетами. Однако

вместо

аналитичес­

Предположим,

что

0 ^ X < X f < X i < * ' - < : :

У ,

под­

разумевая,

что интересующая нас область

экстраполяции

распо­

ложена вблизи

нуля. Снимем

модули

и одновременно изме­

ним знаки слагаемых в (27.6") таким образом,

чтобы при Х*Х^

функция Є(У)

не изменилась. Например,

при

П « 3

мы полу­

чаем функцию

(27.9)

- ( x - y j r x - x , )

і

,

(x-xt)(x-x3)

, f

]

l

которая совпадает о б (У)

при

X * X f

. функция

б" ( ^ я в ­

ляется параболой

(в общем случае

( Л .

- І)-ой степеня),

проходящей

через

точки

(\,^//Г),

'K/ffi)•

В облаоти

X

О

величина

б*(0)

будет определять

ту ошибку,

которую мы хотим

сделать минимальной.

Построим теперь

графики функций

которыми функция

б*(х)

имеет

общие

точки~ указанные

выше. При различном выборе точек наблюдения величина

&(0)

окажется минимальной,

еоли

X f , X < } -

. . , X f t расположить так,

чтобы порабола

б*(х)

лишь касалась кривых

в этих точках,

т . е .