книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

Оценки

о(

являются несмещенными, т . е .

^ M ^ W W - ^ ^ ,

,

( 2 1 . 8 )

І-1

где

Л-

/ у , - £ ц £ * ( х 4 ) .

( 2 1 . Р )

Базисные функции, удовлетворяющие уоловию ортогональ­

ности

на системе

гТ.

точек

X .

, значительно

облег-

чают

процедуру вычисления коэффициента

с(

. Для ортого­

нальных функций,

которые мы будем обозначать

как

£Ск(х),

матрицы

І / , .

и

Э ,

являются

диагональными, т . е .

Поэтому

х ~

£ ч ^ ч )

( 2 1 Л 1 )

Как мы увкдим в дальнейшем, представление,

основанное

на ортогональных

функциях, т . е .

обладает рядом

ценных свойств (упрощение расчетов является

их следствием),

что и позволяет

отдать

ему

"решительное"

предпочтение.

З А Д А Ч А

Базируясь

на эмпирических

средних

Ljf,

. . .,

построить

Коррелированное^ оС^ означает, что соответствующие

члены

в представлении (22.6)

дублируют в большей или меньшей

степени друг друга. Поэтому соответствующую комбинацию

ОІ б

+

о ( 6

разумно

заменить новой функцией

Ы б .что

к

к

s

s

Є £

кромо

прочего щиводит к "экономии" средств опасения.

Для ортогональных

базисных функций

оценки

©(^

не кор-

релировани,

так что такое представление

является наиболее

другой

-

его ширину

и т . д . Так, из двух

запиоей

линейной

регрессии

» Ыд

+ ctff X

и

в Д

+ у3 4 (х - X )

пред­

почтение

следует отдать второй,

поскольку

коэффициент

ра

характеризует только

наклон

линии, а средняя высота ее опре­

деляется

только значением

Д

(ом.задачу § 21). Анало­

гично,

дли описания

пораболичеокой

кривой

ф(х)

целесооб­

разно

выбрать представление

у = О * &(% ~ с ) ' . в котором

каждый из параметров

Q , &

и

С

характеризует

различные

свойства кривой.

Обратимся теперь непосредственно к оценке

диоперскй

Первую оценку для б Я

мы можем получить непосред­

ственно из исходного соотношения

„ *

~1

1

S

= б =

•>

(22.7)

р

К

так как значения

С

ш

б.

/Xt

,

или хотя бы закон изменения

e>L

от точки к точке,предполагались известными.

Фактически \ эта оценка

сводится к вычислению первой

квадратичной формы

М

,

поскольку последняя содержит не­

смещенные оценки

дисперсий

g ? 1

результатов в каждой из

точек

наблюдения

ХА

.

Согласно (8.15)

Так что неонеценной оценкой

€ > 2 может служить соотноше­

ние

м

ций не

нужно знать эмпирические

значения

у.

) .

Вторая

несмещенная оценка

€ > г

мохет

быть получена

с помощью квадратичной формы

М г

-

У~Ц (у. -

£j*K

ZK(\))

,

(22.9)

среднее

значение которой равно (

сАк

-независимы)

Мг

« ^ . ( у Г ? . / =

б*(п.-т).

і

<5

Поэтому

второй

несмещенной

оценкой

является

5 * = - П = 1 _

-JL.

,

(22.10)

2

п. - пг

где

коэффициент

«К

находится

в соответствии с (21.11 ) .

Соотношение (22.10) включает разброс точек относительно

эмпирической

кривой регрессии. Поэтому

St

является,в

г 2

известной мере,более

объективной

оценкой,

чем

.

Полученные оценки обладают свойством стохастической неза­

висимости. В процессе

вычисления

St

и

St

, ш

раз­

били

исходную

квадратичную

сумму

М

, которая,очевидно,

имеет

распределение

с f=%Jt-i

степенями свободы,

на

М4

и

М2

(

ом. {20.5

) и'( 20.7

) ) . Последнюю

сумму после

преобразования

^. - ^

« (у.

-

p j + (p> - у.)

мы

разбиваем еще на две чаоти:

і

к.о

что

нетрудно

показать,

используя

свойства

ортогональности

Функций

8аметим теперь, что число степеней свободы квадратичной

формы

М4

равно

^

=

~ 1

(имеется

М

соотно­

шений ^ Х

^УІУ

) ' fll ч и с

л о

степеней

свободы каждой

ив оумм в (22.9)

равно,соответственно,

ft

ж п - т

(суще­

ствует

Щ

связей,

накладываемые

на

у.

при оценке

о(к

)

и

f9

= т .

Отсюда,

поскольку

$ = / f

+ ft

+ 4s •

» т

и "»ем утверж­

дать

(используя еще pas теорему о разложении

X - роопреде­

ления),

что

М

и суммы в (22.8)

имеют

рС-раопреде­

ления о / , "

£ \ -

п . ;

ft»n-m.

и

£t= Гп.

степенями

свободы.

1

В чаотности,

оценки

л

і>г

могут

быть

пред­

ставлены

в виде

s l ' t ' - r -

;

s;

>

и г л * )

*

Та

Соотношения

(22.12)

дают

нам право

воспользоваться

методами

§

15 для сравнения оценок

of

и

о , .

Такое

сравнение

позволяет

эффективно

контролировать

ход

эксперимента,

так как несовпадение

оценок (

>

S*

>

S

)

может служить

показателем

различного

Одна из причин,

вызывающих значимое превышение S*> S*,

может заключаться в систематических ошибках,

недостаточно

корректно учтенных в

регрессионном анализе. В частности,

систематические ошибки могут нарушать условия

независимости

. В этом случае

необходимо при описании

результатов

эмпирических средних

ij.

и отдельно -

дисперсии

корре­

лированных колебаний для всех

<J\

(систематические

ошиб­

ки, см. 5 25).

Обратное значимое

неравенство

>

51

может ука­

т

р(х,т)

> { 2 2 Л Ъ )