книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

равны, а,

Л

І

о 4

Г

Л

например,

>

, то гипотеза 6^ = 6^ про-

л

2.

вернется

при альтернативной

гипотезе 6f

* Є>г

(знак

оких дисперсий

6^ >

&г

) о помощью одностороннего

критерия.

Критическое областью, отвечающей уровню значимости,

будет

область

Р "

V<-t(ti

і & ) •

(15.10)

Как видим, этот критерий четко дифференцирует гипотезы

лииь при

f

•»

l (

хотя и является несколько

более

стро­

гим,

чем

(15.9)).

Мощность критерия по отношению к альтернативной

гипо­

тезе

б і

=

А б г

(А

> і )

равна

-

г

1

( І 5 . І І )

вергнуть гипотезу

© f - © j

достигает значения

I - J&

,

определяется

уравнением

P(vl>

£

О

P(V*>

) •

'(15.12)

Отсюда

Пример 3. Пусть для выборок с

^

=

«

УО

отно­

шение эмпирических дисперсий

®I/QZ

- 2 , 5

, и м ы

долн а

решить,можно ли согласиться с гипотезой

Є1

=

б ,

•

Так как

^ 0 9 5 -

(10,10)=З

Т, то

эмпирическое

значение

не противоречит

этой

гипотезе.

При этом

для

альтернативной

гипотезы

Л

=2 мощность

критерия

равна

Р

(

і Л і О . І О )

>

1,5)

е

0,3

,

т . е . вероятность

принятия гипотезы

о 4

=

6 г

, когда

в

•г

_

г

действительности

= « £ о г

,

равна

—

0,7о

Если

наы нуяев

чить обьемы

выборок.

В случае, еоли дисперсии

и

6*

не различают­

ся значимо,

мы полагаем

« б*

= 6*

Для

характеристики

€5*целесообразно использовать объединенную оценку

^

h +

'

( 1 5 Л З )

пероий.

Требуется

вияснить,

например,

являютоя ли выборочные

диспероин

• , б *

, имеющие

чк-ло степеней свободы

° Ц е н к а н и

одной и той

же генеральной

диоперсии.

^отя определенные суждения о равенстве диоперсии можно

вынеоти, последовательно

применяя,

например,

V*-

крите­

рий для оравнения двух дисперонй.и

соединяя

их в случае

ооглаоия в объединенную диоперсню,

более квалифицированные

выборок К

и числа степеней

свободы

4 каждой ив выборок.

Некоторые

^ £ ~ к в а н г и

л и

этого распределения при

£ =0,05 указаны в таблице

УІ. В случае,

еоли эдаирнчеокое

значение

Таблица

11,

!

1

1

.

1

1

1

•

К

10

j

о о

2

,

3

4 1

5

,

3

0,94

0,80

0,68

0,60

0,3?

0

4

- 5

0,88

0,71

0,59

0,51

0,30

0

4

- 8

0,82

6,63

0,52

0,44

0,25

0

уверенным,

что дисперсия

о

^ 26

?

Решение,

При

Є

=0,05

значение

квантили

=£ 2

при П Ъ> 30.

'f~ o.os

2. Какова причина различия критериев (15.2)

и (15.4)?

3. Найти объем ?чборки, позволяющий различить гипотезы

Є2- Єа

и Єг= 2<ба .

ІУ следует (

ё =0,05), что П,-> 30.

Решение. Из таблицы

4. ' Решить

задачу

3 в случае, если сравнение

дисперсий

~

а

~ з.

произг 'дится

по

эмпирическим

дисперсиям

б ,

и

,

Решение.

Согласно (15.2)

при

. Є

-

р

=0,05 и

имеем

V0tSS(4,{)=\/2

. Отсвя*

"4,2s*

90-

Ь. При контрольной

проверке стабильности

эксперименталь­

0,

=0,2. После

замены ряда

блоков повторные I I контроль­

ных

измерений

дали

оценку

Є*

=0,05.

Можно ли заключить,

что

произошло

улучг'ние стабильности аппаратуры?

Решена . З д е с ь ^ * /Q*

=4 при

4ч =4гж

Ю. Если

улучшения нет, то

^ / й *

не должно

превышать

значения

(

Є

=0,05)

ІГ

(10,10) = 3,0

< 4.

Следовательно, pae-

брос

результатов уменьшился.

б. Для сравнения стабильности двух установок

на каждой

не них дроведено 30 контрольных измерений с выборочными

дисперсиями

o f

» 1,2 и

о г

- 2,0. Ответить на вопро­

сы

(

€

=0,05):

а)

Имеют ли установки одинаков: то стабильное»?

где

р

и

в

выборочные

среднее

и дисперсия

(см.

(8.14)

и (8.15)), соответствующие

эмпирическому мате­

риалу

о

объемом П .

Функция мощности

критерия,

равная

определяет, что принятие

ошибочного суждения

у «=• уо

, в

то время как

^ ,

имеет вероятность

не более,

чем

fi-i

-иг.

lis

равенотв

— = —

= — г — +

——

•

- t + Л у—1 J

е_

<5_

SL

є

' У-

tfi

/г.

/п.

где

А * (*}. -

*)• ) / SL

, вытекает, что функция моиноо-

"

( 0 '

fit

I

,2

ти

зависит от

комбинации

Z~ и

у. -распределении,

которья

называетоя

нецентральным

~t - распределением.

При достаточно больиой выборке функция мощнооти прибли­

зительно

равна

) . і

ft"?0.

і

(Іб . З)

0

где

-

Функция распределения армированного

Таблица УП.

0

0,25

0,52

0,84

1,28

1,64

1,96

P

= 9(vJ 0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,95

0,975

Пример 1.

Укажем значение

А

• при котором

гипотеза

'? = ^0

забраковывается с вероятностью

* I - Jb

=0,95.

Пусть мы

располагаем

выборкой с объемом

IV =11.

При

£

=0,05

значение

^ 0 д 5 (

4 = I

° ) = I

« 8

1

= ~ ^o,os '

величина

^095~

1 ' 6 4

* и

т с ю Д а

А •

1»81 + 1,64 / і

+ 0,16^

= 3,6.

При альтернативной

гипотезе

% =

fa

1^ ?ф

исполь-

зуетоя

двусторонний критерий о критической обгастью

— —

<

(16.4)

/к

/к

при

£ж п

-1.

I

Рассмотрим теперь оравнсше двух генеральных средних,

основанное

на выборочных средних

и

/?

. Это

бо ­

лее

сложный случай,

поскольку

для построения критериев не­

обходимо знание дисперсий. Поэтому сравнение средних

по эм-

пиричеокин данным производятся

в два этапа.

Руководствуясь

эмпирическими

данными

(о объемами

fli

ш tl2

) ,

находятся выборочные средние

£ f

*

7 з

и

дисперсии

6Г,

и

& г

• Затем

сравниваются

ге -

неральные

дисперсии

0*

„ г

к

€>л

по критериям,

онисан-

ным в предыдущей

разделе.

Если

различие генеральных

дисперсий

Є1

ж

6 Л

не -