книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

или

Г

?*

Ж*<-%я1>0±0'058'1'-Ч

f 1,0 + 0,078

при

£

=0,3

У = |_1,0 t 0,248

при

£

=0,05.

Такий

образом, "удвоенная средняя

квадратичная ошиб­

ка" (

Є =0,05)

более чем в два

раза

превосходит

соответ­

ствующее

значение

для генеральной

совокупности

с

точно из ­

вестной

дисперсией. При большем

объеме

выборки

расширении

доверительного

интервала

не столь

значительно.

З А Д А Ч И

1.

По данным

выборки

^ , у х ,

• - - , уп

найти

парные*

ры распределения

величины

("коспенны!'."

анализ ф ) .

Решение. При известном распределении

у

с

помощью

преобразования

нетрудно установить вид распределения

ЯР ,

а затем, используя принцип максимального правдоподобия, оце

нить среднее и дисперсию генеральной совокупности

ЯР .

Если распределения

у

и

ЯР

неизвестны,

но ножно

предполагать,

что распределение

ЯР

не ооладает

ярко вы­

раженной

асимметрией, vo можно

считать

его близким

к

нормаль

ному

и для оценок

использовать

результаты

этого

параграфа,

Решение. Если

Ф

является Функцией

многих случайных

(1) (г)

W

переменных у

t

у • '

' } У

« 1 0 анализ

параметров

распре­

деления

необходимо

производить

па основе

НОЕОЙ выборки 9^9^,...

-,.,Я^,

по формулам §§ 8 и 9,

где иод

Фг

следует

понимать

значение этой функции в каждой

точке ( ^

}

}

LJL , . . . ,

) .

В случае,

если

аналитический вид распределения ф как

где

€ к

-

оценка

дисперсий каждой из

переменных у

Для

вычисления

§jS

можно использовать

формулу ( 8 Л 5 )

значимости,

к эмпирическому

среднему

Ф не должно

превы­

шать

0,05.

Размах

интервала равен

Ф

, -

Ф »

Щ

(/-«.-•*),

где

ф

и

б^,

оцениваются из

(8 . 14 ) и (8 . 15 ) ш

выбор­

ке

= Ф(^4) •

Очевидно, при

п,

— ^ - о о интервал

оокра-

щается до нуля,

так как

и

І-^є/

стремятся к конечным

величинам.

Отсюда

Л,

определяется

как

решение уравнения

Например,

при

Ф =10,

=0,5 и

Є =0,05 из таб-

лицыТГ имеем

П

6.

Пуассоновское распределение характеризуется одним па­

раметром - генеральным средним. Если в течение времени

t

зафиксировано

/V.

событий,

то

/V — N

э

,

а средняя

ин-

тенсивность

э

( И Л )

В качестве гр .ниц доверительного интервала,

определяю­

щих с уровнем

значимости

£

положение

среднего

N -

V£

по его оценке

/V,

. выбираем

два

числа .V,

* Na

к N < Na

,

Э

2

9

1

*

заданные

следующим

образом.

Построим

два распределения

со средними

N = N£

и

/V = /V, » потребовав,

чтобы вероятность наблюдения

значений

Л/^Л/З для первого

распределения не

превосходилв

Р

=

,

а вероятность

наблюдений

значений

N ^ N3

для

второго

распреде

ения

(с меньшим

значением

среднего

Л/= /V, <

Л/э

) -

была не

более

1 -

р

=

^

,

т . о .

P(N*N3

гьри Л / - Л/2 ) =

f>

=

%

;

( И . 2 )

p ( / V *

/V3

/гри

Л/ » Л/,) =

і -

Рг

«

% .

Тем самым мы устанавливаем

границы возможных отклонений

Л/от

Л/ ,

соответствующие

доверительной

вероятности

Р=

Р1

=

1 - Є

(см.рио.9).

Рис.9. Доверительный

интервал

для

оценки среднего

распределения

Пуассона

по

N. . Площадь

левой заштрихованной области равна вероятности

P(N*Na

при N = NZ),

правой -

P(N*N9

при /V = N1).

Граничные числа

Л/.

находятоя .как

решения

уравнений

5 4 ;

( I I . 4 )

Ыохно показать

также, что N. и N

выражаются

через

квантили

2

X

-распределения:

г

1

( П . 5 )

Очевидно,

границы несимметричны

относительно

Л/э

,

что следует из асимметрии распределения.

Значенні.

N

и

,

следующие

из ( I I . 4 ) ,

указаны

в таблице

1 (верхние

числа соответствуют

Є =0,3,

нижние -

Є = 0,05).

Таблица Ш.

Л/э !

о

г

т

т

т

, 1 0

3

1

5 і б , 8

N.

0,167

0,679

1,32

2,02

2,76

3,53

5,12

6,76

0,025

0,242

0,619

1,09

1,62

2,20

3,45

4,79

N.

1.9:

3,24

4,80

6,10

7,36

9,84

11,2

13,7

14,5

3,69

5,57

7,23

8,77

10,2

П , 7

13,1 15,8

18,4

Доверительные

границы для интенсивности событий равны

( И . 6 )

Нг первый взгляд вызывает удивление существование верхней

границы

N2fi

О

при

N " О . Однако

мы должны отда-

вать себе

отчет

в том, что о-сутствие

событий

за

промежуток

времени

£-

еще не гарантирует их невозможность

при боль­

шем времени

наблі^.;ения. Разумеется, верхнее допустимое зна­

чение интенсивности убывает с ростом

Ь

(например,

V *

1,91/ і

) .

Как следует

из таблицы И, с ростом

NB

размах

дове­

рительных

границ

| iV3 -

/ V f i | растет,

но относительная

неоп­

ределенность

^ V / V j

убывает.

Пример.

При измерениях космического

фона

в течение

100

>)

=

а

/ ±

* 0,08

ч/сек,

а доверительные

границы при

Є =0,05

>),

= 0,036

и

>)2 = 0,158.

Поэтому

>)

= 0,08

+

tgjgJJ

при

Є =0,05.

При

Л/э

fi

10 распределение

Пуассона

практически

совпадает с

нормальным с

параметрами

( N » N

) • В этом

случае

оценка среднего

упрощаетоя, поскольку мы можем вос­

пользоваться

квантилями

нормального

распределения.

Поэтому

записываем

( И . 7 )

где

Up

- квантили нормированного нормального распреде­

ления.

Полагая

P f

*= 1-

Р г

с

и решая

( I I . 7 ) отно-

оительно

N

, получаем

Значения

IX

сА -

квантилей при

Є = 0,3 и

0,05

указаны в последней столбце

таблицы']!'.

Сдвиг

центра

доверительного

интервала,

следующий из

( I I . 8 ) ,

обусловлен

зависимостью

дисперсии от ореднего.

Сравним результаты

( I I . 8 ) и данные таблицы

Ш. При

N3

=

10

из

(11,8)

следует (

Є

= 0,05)

М, =

18,5;

NF

=

5,38,

т . е . в пределах

уровня значимости границы сов­

падают.

Практически

вместо

( I I . 8 )

используют

упрощенную фор­

мулу

Так что средний квадратичный интервал для

N =

равен

NA * V^T

• а удвоенный -

N±2/N>-

Из данных таблицы Ш видно,

насколько

легкомысленна

"экстраполяция" последней оценки

в область

малых значений А/э .

З А Д А Ч И

і,

I .

Вычислить верхнюю границу

доверительного

интервала

в пуаоооновском процесое при

N.

=

0.

с

-/V

Решение. При

= 0 as

(ТІЛ)

имеем

е

* =

•

Отовда

N.-

вп

4- '

статистических критериев

сравнения -

л о указать прежде все­

го ннторв"і, в пределах

которого возможные значения испыты­

ваемого параметра встречаются о наибольшей вероятность».

Если теоретическое значение этого параметр

укладывается

в указанный интервал, то гипотеза не будет противоречить

иабжюдонмям, если вех, то гипо^еэа о

больной

вероятностью

мокет быть

отвергнута.

Подчеркнем еще раз, что выводи о противоречивости или

непротиворечивости

эмпирического

материала

и исходной гипо-

• ззы не имеї..: абсолютного характера,

а

покоятся

на

большей

или меньшей доле правдоподобия.

Например,

пусть мы сравниваем эмпирическое

среднее

rj

с предполагаемой величиной

г? =

уо

. Яоно,

что

если

разность у

-

tp

будет

достаточно

мала

(например,

меньше стандартного

отклонения

г>

) ,

то

естествопно

счи­

тать гипотезу

о совпадении

/р

и

?о

оправданной. В про­

тивном случае это предположение следует отбросить.

Чтобг придать этому критерию более точный математиче­

ский с.ысл,

уточним

ряд понятий.

окой величины, например,

р - р о

, достаточно

злшса,

на­

зывается областью

принятия гипотезы.

Область с малой вероятностью

наблюдения у

- j>e

на-

аываетоя областью непринятия гипотезы или кр. лической об­

ластью.

В качестве первого

шага в построении статистического

критерия устанавливают уровень значимости, т . е .

задают неко­

торое малое число

Є

и указывают критическую

область,

ве­

шает £

.

Если проверяемая гипотеза верна ( у >* уо

) , то кри­