книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие
.pdf
|
|
- зо |
- |
|
|
З А Д А Ч И |
|
|
|
1. |
Найти формулу для оценки дисперсії.. - |
|||
а) |
логарифма |
интенсивности |
излучения |
у = in ^/-fc ; |
б) |
функции |
ty-к...• |
ул)/(г4-2£...zK). |
|
2. |
Показать, |
что распределение суммы |
независимых вели |
|
чин с нормальными распределениями является также нормальным. 3. Убедиться, что плотность распределения суммы неотри
цательных случайных величин равна
о
Указание: Для неотрицательных величин уравнение Ф=^+ ^г
определяет пределы их возможных значений, |
как |
0 і <,'„,« |
Я°- |
|||||||
4. |
Радиоактивный |
уЗ -источник состоит из смеси двух |
||||||||
изотопов со |
средними |
интенсивкостями |
*іі |
и |
^ 2 |
|
||||
Каким распределением описываются флюктуации интенсив |
||||||||||
ности |
потока |
|
уЗ |
-частиц? |
|
|
|
|
|
|
Указание. Воспользоваться соотношениями |
|
|
||||||||
5. |
Источник |
|
|
"у -излучения |
изготовлен |
из смеси изо |
||||
топов, каждый і.з которых имеет собственное |
энергетическое |
|
||||||||
респределение |
pi(Ej) |
. Каково |
общее энергетическое |
рас |
||||||
пределение |
р(Е^) |
радиоактивного |
источника? |
|
|
|||||
Решение: Здесь мы встречаемся о распространенным видом задачи по изучению распределения, оуммарной "продукции по
качествам изделий". В то время |
как флюктуации |
общей интен |
|
сивности излучения подчиняются |
статистике Пуассона, распре-, |
||
деление |
"у -частиц по энергетическим интервалам^E+dE] |
||
определяется |
суммарным потоком |
"у -частиц, |
испускаемых |
каждым из изотопов в данном интервале энергии. Таким обра зом, итоговый энергетический спеыр ^ -источника нахо дится наложением спектров каждого из изотопов с соответст вующими "весовыми"коэффициентами, т . е .
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
- средние |
интенсивности |
изотопов. |
|
|
|
|||||||||
|
Заметим, |
что статистика |
числа |
|
|
|
-частиц, |
регистри |
|||||||||
руемых в любом энергетическом интервале |
|
E + |
dE] |
|
|||||||||||||
за какой-либо |
промежуток |
времени |
£ |
|
, |
является |
пуассонов- |
||||||||||
ской |
со |
средним |
значением |
і |
^Г$%-і~р,(Е). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
3. Некоторые |
специальные распределения • |
|
|
||||||||||||
|
3 . 1 . |
|
/ |
- распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уассмотрим |
П |
|
независимых |
случайных |
величин |
Ы г . . . |
||||||||||
. - . , U ^ , каждая |
из |
ксторых распределена |
нормально |
с параметра |
|||||||||||||
ми (0,1) . Сумма квадратов этих случайных |
величин |
называется |
|||||||||||||||
~f-( |
- суммой: |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>v= |
L |
U |
L |
» |
|
|
|
|
|
(з.і) |
||
а |
^ |
называется |
числом |
степеней |
свободы |
% |
. Функ- |
||||||||||
ни я |
* |
f |
обладает |
распределением, |
которое |
в силу |
норми- |
||||||||||
рованности |
U . |
|
зависит |
только |
от |
|
^ |
. |
Плотность |
||||||||
~)L - распределения, представляющая вероятность обнаруже |
|||||||||||||||||
ния |
значений |
в интервале |
£У, |
|
)t- + d~f- |
J , |
имеет |
вид |
(Пирсон): |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
J- V 2 |
c / * \ |
(3.2) |
|||
|
|
|
|
1 / Г - |
|
Г(*/І) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
- |
гамма-функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Соотношение |
(3.2) |
нетрудно |
доказать |
методом |
индукции |
|||||||||
с помощью |
(2.14), |
установив его |
скачала |
для |
4 |
=1 |
|
|||||||
(см. (2.12 |
) ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кривые |
плотности |
|
- |
распределения для |
различных 4 |
|||||||||
показаны на рисі*. Согласно (3.2) |
jL2=*f-t |
|
) = |
. |
||||||||||
При / |
» |
|
I (практически при |
/ |
> |
30) распределение |
пе |
|||||||
реходит |
в |
нормальное |
с |
параметрами |
( |
4 |
> 2 4 |
|
) • Очевидно, |
|||||
величина |
|
' i |
-—— 1 , |
так как ее |
дисперсия стремитсь к |
нулю, |
||||||||
|
|
f -»і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для вычисления квантилей |
существует |
ряд |
приближенных |
|||||||||||
формул, среди которых следует отдать предпочтение соотноше
нию: |
|
|
|
|
|
|
. |
|
з |
|
|
|
|
< • |
' [ |
* |
- • ? ? * т ' - и > ) ' |
|
(з.» |
||||
І. де |
U p |
- |
квантили |
|
нормированн го нормального распределе |
||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длт |
|
"j~ - |
распределения справедлива |
теорема |
сложения, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. г |
согласно |
которой |
сумма |
П |
стохастически |
независимых |
f-L |
|||||
|
|
|
і* |
|
|
|
|
|
|
|
|
величин имеет |
У- - |
распределение со |
степенью свободы, |
рав |
|||||||
ной сумме степеней свободы каждой из величин: |
|
|
|||||||||
|
Существует, также |
|
обратная теорема |
разложения |
> |
- |
|||||
распределения на суммы квадратов величин, линейно связанных со случайным!' переменными U - :
|
Пусть |
имеются |
суммы квадратов: |
|
|
|
|
|
||||
где |
А |
|
случайных величин |
|
являются |
линейными |
|
|||||
функциями |
П |
стохастически независимых |
переменных |
П. |
, |
|||||||
распределенных нормально с параметр1».!!» (0,1) |
каждая. Если |
|||||||||||
имеется |
т |
|
линейных соотношений |
(связей) |
менду |
Z- |
, |
|||||
то |
число |
степеней |
свободы |
Q |
-сумкы |
определяется как |
||||||
|
Х-т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, |
если в результате линейных преобразований сумма |
||||||||||
квадратов |
|
П |
случайшх |
величин |
l / t , . . , , 1 1 ^ |
разбита |
на |
|||||
К |
сумм квадратов |
Qv . . . |
, QK |
с |
f t , |
. . . y |
{ |
степеня |
||||
ми свободы |
соответственно, |
т . е . |
|
|
|
|
|
|
||||
і
то необходимым и достаточным условием того, чтобы величины Qt>- • •і QK оказались стохастически независимыми и описыва лись -)С распределениями с степенями свободы,
является выполнение равенства:
4, * *г + - • • + £с - л •
Теорема разложения оказывается чрезвычайно пользной длч различных статистических оценок.
3.2. У*- распределен»/'!
Рассмотрим случайную величину
(3.4)
где |
Д у а |
определена согласно (3,1) и (3.2). |
Плотности распределении |
If |
оиксивиетсн соотношением |
(Фишер): |
|
^ |
которое можно |
получить |
о помощью (2.13), |
используя |
О . 2 ) . |
||||
|
Кривые плотности |
I / -распределении |
для различных ft |
|||||
и ^ |
указаны на рис.б. Согласно |
(5.5) |
|
среднее |
значение |
|||
|
ивантили |
V |
-распределения |
Vp |
= |
tfp(f,,-f2) |
свя |
|
заны |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
в соответствии с |
(3.4) |
V |
(4i,fi) |
= |
/Vi(filf1)' |
V |
- распределение |
включает, |
на.; |
частные |
случаи, |
|
другие распределения. |
2 |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, поскольку уС |
|
. 2 |
X |
. |
||
где |
£ |
- переменная Стьюдента. |
3.3. Ь - распределение
Случайная величина
t = |
г |
(-oo < t < o o ) |
|
/ |
|
|
(3.8) |
имеет распределение |
|
(Сть:сдоь"п): |
£ + |
которое может |
быть получено |
непосредственно из |
(3.5) |
преоб |
|
разованием |
І |
= ± rU^(1,f) |
• |
|
|
і. - распределение симметрично относительно нуля. |
|||||
При 4 |
*" 0 0 |
распределение стремится к нормальному с па |
|||
раметрами |
(0,1) (см.рис.7). |
|
|
|
|
Вследствие симметричности распределения, |
для |
"fcp - |
|||
квантилеЛ |
справедливо: |
|
|
|
|
Учитывая связь между V- и Z- величинами, можно установить следующие соотношения между квантилями этих рас-
Х - , Vr и t. - распределения широко приме.гаигоя при ста
тистическом анализе эксперимелтальных данных.
|
|
|
|
З А Д А Ч И |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Установить, что |
распределение p((J>) |
величины^=/xJ" |
||||||
(О |
£ у |
< |
оо) |
имеет |
вид: |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f-i |
-У/г |
|
|
|
|
|
|
2* |
-Г(§) |
|
|
|
|
|
|
Проанализировать случаи |
о |
=1,2. Совпадает |
ли рас |
||||||
пределение |
р(у) |
П Р И |
f |
-3 с |
распределением |
кіаксвелла? |
||||
|
2. |
Убедиться |
в справедливости |
соотношений: а) |
( З . б ) , |
|||||
б) |
(ЗЛО) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
квантилей' Р(\/< * |
V) 2, = Р |
|||||
|
а) |
Согласно |
определению |
|||||||
|
Р(р >Р) |
- Р . |
му |
|
|
Но |
поскольку \r'(f„ft)* |
*о последнее 8K- |
вивалентно утверждению
Отсюда _ ^
б) |
Длп |
V(1,f)-itt) |
|
|
|
|
|
|
|
уоноше |
РГУ |
< i t |
) - р |
равнозначно соотношению |
P(-YV* |
4 І |
< ^J/"*) = Р |
• |
||
Учитывая |
симметричность |
і - |
распределений, |
>.»*еем |
|
|
СледовательноT
или |
' |
Л |
|
|
|
2 |
|
|
|
г |
2 |
Поскольку i p = - £ |
, то |
Vp (1,4) - |
~ІЛ_р- |
|
|
|
~2~ |
Г Л А В А П
ЭКСПЕРИМЕНТ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 4. Эксперимент и достоверность наблюдений
Как уже отмечалось,на результаты экспериментов оказы вают влияние случайные воздействия, возникающие в процессе измерений и обработки. Совокупность внешних возмущений уве личивает разбрсо результатов. Последнее обстоятельство усугубляется действием целого ряда систематических причин ("сдвинутая" шкала приборов, плохая геометрии опыта и т . д . ) .
Помимо внешних случайных и систематических воздействий, разброс измеряемых значений может быть обусловлен такие ста тистической (вероятное.ной) природой самого наблюдаемого явления. Так, по существу, во всех экспериментах, связанных с исследованиями процессов микромира, необходимо учитывать статистическую природу этих явлений. Такого рода особенности проявляются іі при изучении чисто "классических" объектов (многочастичные системы, например, плазма и т . д . ) .
Витоге, эмпирический материал по своему характеру яв ляется случ 1ЙНЫМ.
Вопыте разброс значений часто интерпретируется как результат несовершенства экспериментальной методики, а откло
нение значений от- |
некоего среднего - как ошибка измерений. |
При этом различают |
случайные и систематические ошибки, свя- |
занные,соответственно,со случайными и систематическими при чинами. Однако понятием "ошибка измерений" следует пользо ваться с известной осторожностью.