книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

Елачит ли э ю , что из ч-х мячей вратарь

обязательно

отразит

один?

Какова

вероятность того,

что он на самом

деле

возьмет

хотя

бы один

мяч?

Ч-. Вероятность выхода

из строя одного мотора равна

р .

При каких значениях

р

двухмоторный

самолет

следует

пред­

почесть четырехмоторному- (полет продолжается, если

работает

не менее

половины

моторов)?

5. Счетчии регистрирует в среднем

2 ч/сек .

С какой

веро­

ятностью

он будет

молчать в течение

I сек, 2 сек, 3 сек?

Решение. Ближайший

отсчет

произойдет между

моментами

t

и І + dt

,

если

в

течение

времени

t

не

будет

1.И одного

отсчета,

а затем

в течение

di

произойдет

один отсчет.

Вергятность

обоих

(независимых)

событий

равна

е

и

idt ,

а вероятность первого отсчета в интервале £t,

t + dt]

^

равна

. Искомая

вероятность р(1) = )е

Подставляя

'

=2 и

Ь =1,2,3,

получим

значения:

p(I)=0,27I; j9(2)=0,037; JB(3)=0,007. Используя полученное

со ­

отношение, оценим среднее аначение длительности интервала

'молчания":

i. =

ftpdt

• 1/у

. Дисперсия

интервалов:.

<D(t}m

V)*

» Очевидно,

разброс интервалов

может быть

о^ень

большим.

предельная теорема

2 . 1 . Функции случайных величин

Используя понятие с."учайной переменной,

введенной

в § I , мы можем описать сколь угодно сложные множества

слу­

чайных событий, рассматривая последние как системы

или

ансамб­

ли случайных величин,в той или иной степени

взаимосвязанных

между собой.

Такие системы случайных величин у ( , у г

, у а

(

П -

число произвольное) будем рассматривать как функции случай­

ных переменных, функпи случайны.: п е р е м е н н ы х ф ^ , . . .

-

( І У І ) "

( 2 . D

Для

доказательства

(2.1)

достаточно убедиться

в

справед­

ливости

утверждения HF

+

-

yt

+ LJ2

. ймееы

где p f ^ / ' J / j J

~ вероятность

того,

что

случайные

величины

у, и уг

принимают определенные

значения

у^

и

Но поскольку функции У/эс/уа'

и

fp^yl

определяют

распределения

величин

Ц

и

и

,

то дальнейшее

доказа

( Пи.) = П ( й )

(2.2)

L

3 «•

I

О1-

Справедливость

(2.2)

следует

из того факта,

что дня не­

{/г'Уі''*'

Р 8 3 " 8

произведению вероятностей

появления каждого

из значений

у[

, т . е . pty . ', ^ , . . .) =

Пр(^) .

I

Дисперсия суммы независимых случайных величин

ц

I

I

равна сумме их дисперсий:

II

которая называется ковариацией гля смешанным

вторым

моментэм переменных

^.

и

^

,

Нормированная ковариация

О = J l i £ -

,

(2.5)

где

)

-

среднее

квадратичное

отклонение

рас­

пределения у.

,

называется

коэффициентом

корреляции

слу-

аргумента, т . е . ^

х Ф ( ^ р )

•.

Для

монотонно

.уО'пішккце.! уункциа Р{у < y f ) = Р(Ф

> Фіу,)}

или

5 ( 9 )

= і '

Fly)

Отсюда

WW

рассмотрим т е п е р ь Функции нескольких случайных

а р г у м е н ­

тов.

Очевидно,

дли получения

плотности р;іспродйленаи

такой

функции

Ф = Ф(у,і • * •> ул ) ну>.:но

ваять

интеграл

(просуммиро ­

вать) по всем

значения!', не, емснных,

при которкх

расомитриііае-

мая

функция

Ф

имеет

фиксированное

з н а ч е н и е :

где

$

- дельта-функция Дирака, р(<^', . . . )

-

вероят­

ность

одновременного

наблюдения

значений

. . -

случай­

ных аргументов. Для независимых

велччин

эта вероятность с о в ­

падает с произведением плотностей вероятностей каждой на

величин

в этих

точках:

р . .

П р ( ^ ) .

При вычислении

интегралов

следует п о л ь з о в а т ь с я

соотно­

шением

S(Ziy)=

j - ^ " ^ ' ^ ' ( ^ . l l

» г Де суммирование

ведется

по всем к-рням уравнения

Z ( y p = 0

. Например,

для сум­

мы ДВУХ

НеЗаВИСИМЫХ

ПеремеННЫХ

Ф г ^ + ^ ,

ГДЄ-оо< у <оо

из (2.13) следует, что плотность

р а с п р е д е л и л

Ф

опреде­

ляется

соотношением: