книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

орегресоионным (из книги

Н.П.Кле­

пикова и С.Н.Соколова

[Ч] ) .

§ 25.

Дополнительные

замечания

2 5 Л .

Систематические

ошибки

всякого

рода констант,

значения которых необходимы для вычис­

ления измеряемой величины. Так, при исследовании

раосеяния

частиц расчетными параметрами являются плотность

(толщина)

мишени,

интенсивность

потока частиц, эффективность счетчика

и т . д .

выборок рабочей гипотезы.

В измерениях рассеяния

частиц та­

кие ошибки возникают, если

толщина

мишени оказывается

боль­

ше длины рассеяния частиц. В этом случае частицы могут

по­

пасть в детектор после вторичного

рассеяния.

В итоге теоретическая кривая

регрессии будет

отклонять­

<ЧҐ

7с) tyj - ? , - ) ' <

- К % +

' (25.1)

где

С у

-

случайные

независимые

ошибки,

б,.(р)

-

ошибки,

обусловленные систематическими

причинами.

Поэтому

квадратичная

форма, минимизация которой

позво­

ляет найти оптимальную форму описания,

выглядит

тепорь как

і

а

где

Ц,'

" г г

>

*

=

і/

Полагая

т-1

? М Ж

jT**,

Э?„(х) >

(25.4)

<-0

мы, как и ранее, варьированием по

Ык

получаем

оценки

коэффициентов регреооии, которые записываются в наиболее

простой форме, если

функции . оС

удовлетворяют

обобщенно­

му условию

ортогональности:

н.

а . " £ > Л г Л У Ч •

с г 5 -6 )

Оценки

стохастически независимы ( т . е . опиоание

наиболее экономно)

и имеют дисперсию

e > 4 / / V K .

(25.7)

2

Для оценки

б" можно избрать соотношение

(25.3)

(первая оценка

Si

) или соотношение S = М /(Л-Гп) .

Как видим,

корректный учет систематических

ошибок з а ­

мерительных устройств (например, недостаточное угловое

раз ­

решение детектора

и связанная о ним плохая геометрия

опыта,

-

ш

-

оать, волн ввести некоторую функцию

£ ( ' Х - х )

» характери­

зующую эффективность регистрации прибора. Тогда измеренное

сглаженное значение величины

у

моано представить

как

(функция

£

-

нормирована)

<УМ>

- fy(x)e(*-Xt)c/x.

( 2 5 > 9 )

Иотинное значение

меньше или больше усредненного,

смотря

по тому,

на пике или

впадине кривой лежит эта точка.

Еоли известна

функция

€(X

-

X )

, то

необходимую

поправку

Ли.

можно

вычислить,

используя

в качестве

(о)

исходного

приближения

кривую регрессии

г> (к)

,

пост­

роенную на основании

усредненных

данных

(^y(xjy

by. *J*f*{*) Є(Х-Х.)СІХ .

(25.10)

Разумеется,

если

окажется,

что найденная

поправка

Д у

сравнима

по величине

с

\Ц(Х-))

> следует

вычислить

оледующее

приближение.

Располагай

значениями

чисел

наблюдаемых событий

N1(Xf)t.

, NK(xJ,

определяем

функцию

правдоподобия

L

-

П е

ь

/V. /

(25.11)

ІЧ

в которой

\)

- предполагаемые значения средней интен­

сивности

событий

для каждого из йначений аргумента

X ;

времена

отдельных измерений.

Постулируя

далее

теоретический вид кривой регрессии

N.

-

С

I А

*

У-о.

(25.13)

к.о

j

Эта система

- нелинейная

и точное ее решение -

весьма

трудоемкий процесс (вдвойне усложненный, если числа

/V.

сравнимы

с фоном). Здесь также

можно использовать

метод по­

няются

сначала на эмпиричеокие значения средних

в Л ^ . / і 4 ,

а затем

- на вычисленные с помощью

^ " о ? ^ 0 * f X 4 )

*

т . д . Но следует иметь ввиду, что при бедной

статистике отно­

сительные расхождения

П.,

могут

быть до -

- 148

-

Представление об истинном

значении величины Y

и ее

и

(26,3)

где

У.

-

предполагаемые истинные

(средние)

значения

вспомогательных величин,

-

их диоперсии.

Значение

дисперсии

2) (У)

характеризует

"погреш­

ность"

в определении

Y,

и очевидным

ответом на поставленный

вопрос

о

получении

максимальной

достоверности

в опенке У

будет

требование минимальности

дисперсий 2)(У)

. При этом

оценка

у

по

ее

эмпиричеоким

средним

^

также

будет

обладать

максимальной достоверностью.

Вообще говоря, при бесконечном времени измерения каж­

дого иэ эмпирических

средних

у,

их дисперсии стремятся

к нулю.

Напомним,

что

если

ij.

определяется

как

выборочное

среднее диокретных

измерений:

1<

так как число

Т {

отдельных

измерений

в каждой ив

точек,

в конечном

счете,пропорционально

полному

времени

£ .

,

потраченному на

операцию измерения у. .

Для непрерывных

измерений

Л/.

диспероия

^

также убывает

о увеличением времена

наблю­

дения

Таким образом,

мы можем представить дисперсию намерен­

ных величин

Lj,

как

Здесь

/ і .

- некоторая конечная величина (совпадает

о

дисперсией

С?

при

{.. =1), называемая функцией

трудности

измерений

в отдельных

точках. Если величины Ои

I

«

ІІ

неизвестны, то

функция трудности

измерения составляется по '