Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

- п о -

где ^ » л. - / .

Иногда в серии наблюдений имеется несколько сомнитель

ных точек. Тогда их анализ проводится путем последователь

ного отбора.

Сначала оотавляют наименьший из "подозрительных" выб

росов и рассматривают усеченную выборку, в которую включа ются точки, не вызывающие сомнения, и наименьшее из резких

отклонений.

Если проверка,базирующаяся на этой ограниченной ииоо|>-

ке,позволяет забраковать сомнительный результат,то, «отестион-

но, отбраоываютоя и другие большие отклонения. Напротив,в случав благоприятного исхода, анализ продолжается; в вы

борку включается следующий по величине, выброс, и т . д .

З А Д А Ч А

При измерении температуры плазмы дугового разряда получены значения: (1,0; 1,2; 1,4; 1,0; 0,8; 2,3 ) • Ю3 К. Можно ли отбросить последний результат как ошибочный?

			ГЛАВА ІУ
		РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
	§ 19.	Стохастическая		зависимость •
	До сих	пор мы рассматривали задачи,				прототипом которых
являлись эксперименты, проводимые при неизменных условиях
наблюдения. Однако существует					также более широкий класс			ис
следований,		в которых изучаемое			явление	наблюдается при		раз
личных внешних			условиях.
	В общих чертах такой эксперимент можно рассматривать
как	попытку	установления		зависимости некоторой			величины	у
от	независимой		переменной	X .
	Нетрудно		видеть, что	здесь	мы встречаемся		о новым типом

зависимости, которую нельзя интерпретировать как функциональ ную зависимость.

Действительно, для каждой оовокупнооти опытных условий


неизбежно		следует	ожидать		рассеяния результатов измерений.
Поэтому,		переходя	от	одной		"точки" независимой			переменной
	к другой,		мы будем		наблюдать не			строго	детермкнизо-
ванные	значения исследуемой					величины		у	, а лишь набор
данных,	в той или иной степени						характеризующих генеральные
совокупности значений				у		,	соответствующих конкретным

условиям опыта. Но, хонечно, параметры генеральных совокупностей могут изменяться в зависимости от условий наблюдение, как показано, например,на рио. 13.

У»:

У,пЛ

Рио. 13. Уоловия опыта Х,,Х„ . . . , X результаты наблюдений ул> у ,

Такая зависимость, при которой изменение одной перемен ной меняет распределение другой, нооит название стохастиче ской зависимости.

Изучение стохастической зависимости затрагивает весьма обширный круг проблем. Заметны, например, что не всегда сто хастическая зависимость четко указывает на первопричинную связь. Поучительным примером в этом отношении являются опыты

- из -

Беккереля, который обнаружил, что интенсивность рентгеновских лучей теи выше, чей ярче люминесцентное свечение катодной трубки, испускающей эти лучи. Это послужило основанием для

ошибочного предположения, что люминесцентное свечение явля

ется причиной рентгеновского излучения.

Проблема усложняется вдвойне, еолн значения независи мого аргумента определяются не точно, а о некоторой неопре деленностью, т . е . независимый аргумент также является случай

ной величиной.

Мы ограничимся рассмотрением наиболее важного аспекта

анализа стохастической зависимости: установлением функцио

нальной зависимости между		средним значением генеральных с о
вокупностей	^ X t ^	" а Р г У м е н * ° и	x t .

§ 20. Регрессионный анализ. Метод наименьших .

квадратов

Кривая

г) = у(Х)

носит название кривой регрессии.

Различают теоретическую линию регрвсоии, подразумевая под таковой истинную функциональную зависимость, существующую в

природе, и эмпирическую линию регрессии, инея в виду соотно

шение, устанавливаемое с помощью конкретного опытного мате

риала. Последнюю	мы будем обозначать как	р	«	ф(х)-
Проведение	кривых через экспериментальные			точки и их
уравновешивание	относятоя к так называемому		регрессионному
анализу. Такой анализ мы будем развивать,		опираясь на прин
цип максимального правдоподобия.

- т -

Итак, предположим, что в результате серии иеэаиисимых

		п.
измерений	получено	£21-	эмпиричеоких			точек		,
соответствующих		п. '"'значениям		независимой переменной				Х;
( і S ї ї	N. ) , причем результаты				у.^	при /	s X «;	%i
относятся к каждой из точек			X f •
Мы будем подразумевать,			что	общий характер			гено)>альноИ

совокупности результатов известен, т . е . известно Функциональ

ное выражение для вероятности наблюдения				измеряемых значе
ний,	которое мы будем обозначать		кок
	Р(У)Р(УІАІ	?і	і * J •		(20.1)
	Неизвестными остаются	лишь	параметры	этих	распределений,
определение которых и составляет один из				этапов	регрессион
ного	анализа.

Вообще говоря, априорное знание вида распределения ге

неральных совокупностей значений во многом предопределяет

характер	проведения	измерений.	Дело в том, что помимо знания
средних	значений у.	= y(*L)	крайне желательно такие

иметь представление о достоверности (точности) их определе ния. Только таким образом, оценивая достоверность вклада от дельных точек, мы и можем с наибольшим правдоподобием пост роить итоговую кривую регрессии.

Достоверность определения у.ш^(\.) мы можем оценить,

располагая значением генеральной дисперсии. Для пуассоновского процесса дисперсия совпадает со значением генерального среднего. Поэтому определение среднего уже позволяет оценить достоверность измерений. Напротив, для нормального распреде-

линия дисперсия находитоя с помощью специальных	оценок, от
личных ит используемых для вычисления генерального
среднего. Следовательно, измерения величин с пуассоновским
и нормальным распределениями носят различный характер.
Поясним сказанное на следующем примере. Допустим, что
мы наблюдаем угловое рассеяние частиц на мииени.	Измерения

для некоторого фиксированного угла мы можем проводить непре рывно в течение всего выделенного времени 4. , поскольку

есть все основания ожидать, что процесс рассеяния является

иуиссоновскиы.		Коли в течение	этого времени	£.j	прибор
отметил	Л/.	частиц, то,	используя это число, мы можем
определить интенсивность рассеяния и его дисперсию.
Однако, если появились сомнения, что характер распреде
ления в силу каких-то причин			не является уже	пуассоновоким,
то ми р'КіОии'івн полное время			tL наблюдения на ряд		интерва
лов		и производим	П в	независимых из

мерений, на основании которых и оцениваем среднюю интенсив ность рассеяния и его дисперсию.

Располагая	совокупностью			эмпирических точек,				составляем
функцию правдоподобия
L	=<	P f y d і ? * * * * ) -					-	( 2 0 . 2 )
	< #i * It
Оптимизируя		функцию	L	по	. р .	, б1 . ,	получаем
для каждого из	параметров			п,	уравнений,		о помощью
к о т о р и х иокно наИти оценки значений этих параметров. Од
нако, если нас	интересует		установление			функциональных со от-

ношений, например		n = tjf(X)		,	то целесообразно				избрать
иной путь. Мы постулируем,			исходя		из каких-то		теоретических
или практических соображений, что зависимость								у=у(Х)		опи
сывается,по крайней мере,в пределах коридора							X, <		X 4	У-п
кривой
									(20.3)
т параметров которой, называемых коэффициентами регрессии,
мы определим с помощью оптимизации					функции правдоподобия.
	В дальнейшем,	за исключением			особых случаев, мы будем
считать, что распределение			величин		у . д		близко		к нормаль
ному. Помимо соображений,			высказанных			при обсуждении централь
ной	предельной теоремы (§ 2),			мы учтем		также	то	обстоятельст
во,	что, как доказывается		в теории		информации,			нормальное
распределение содержит минимум информации по сравнению										с лю
бым распределением		с той же дисперсией. Поэтому						замена		неко
торого распределения на эквивалентное нормальное не может
привести к переоценке точности наблюдений.
	Таким образом,	записываем

где /?. <=	и Є*-	генеральные среднее и дисперсия
в каждой из точек.
При исследовании зависимости типа (20.3)			мы будем опе
рировать с первой	из. сумм в	(20.'і), содержащей	квадраты от-

клонений	эмпирических значений от средних. Потребовав для
установления наиболее		правдоподобного	описания	ушу(х)
максимума	функции	, мы приходим к выводу,		что такое
описание	вытекает из	решения уравнения
м ' Г . П ^ ^ Ї = т і г			і -	( 2 о - 5 )

Следовательно, принцип максимального правдоподобия приводит к методу наименьших квадратов.

Введем эмпирические средние групп наблюдения для каждой из точек Х- •'

(20.6)

A*=V

которые,

как известно

(

совпадают

с выборочными средни

ми),

являются несмещенными

оценками

генеральных средних ^ .

Представляя

( ^

у.)

» (у^-

у.)

* (у.

- ?

. )

, мы

разбиваем

сумму

на две

1 sC< п.

где

б £ / п р е д с т а в л я е т

днсперсив

эмпирического

Зі

среднего

^. .

Сумма

М,

включает

рассеяние наблюдения

относитель

но эмпирических

средних

и не зависит

ох вида

кривой

J?»p(XJ«

Напротив,

Мг

представляет хинь сумму квадратов отклоне

ний

эмпирических

средних от

этой кривой.

В этой сумме величины і/б

играют роль статисти

ці.

чвских весов. Действительно, достоверность вклада отдель ных эмпирических точек тем выше, чем меньшей дисперсией они обладают. Поэтому для удобства описания целесообразно ввести нормированные статистические веса, определив послед,- ыие как

Ч = п

* — •

- (20.8)

Умножив все квадратичные формы (20.7) на постоянно* «мело Є* ,где в соответствии с (20.8)

б'

(20.9)

записываем

Нетрудно видеть, что такое	преобразование		никоим образом
не влияет на окончательные результаты.
Величины статистических весов вычисляются по теоретиче-
ским значениям дисперсий	С	. Однако	л практических

расчетах обычно используют их эмпирические оценки, при необ ходимости уточняя эти оценки в следующих приближениях.

§ 21. Оценка линии регрессии

Предположим, что кривая регрессии может быть представле-

на как

				т-1
			?1Х)-1*кЬкМ			>	.	( 2 I . I )
				Km О
где	BJx),.. . , &к (х\|система				базисных функций, выбираемых на
основании		тех или иных предпосылок. В частности, кривая
г> = у(Х)		может		быть разложена		по системе полиномов. Тог
да	число	т	- {	будет совпадать с максимальной степенью
X	, присутствующей в описании					=	ffx)'
	Заметим,		что	вид аргумента,также			как и функции	у	,
выбирается		подчас		из соображения		практического удобства или
в силу УСТАНОВИВШИХСЯ традиций. Так, если известно,								что раз
ложение ведется по косинусам угла						\Я	, полагают
X = Cos \?			или	X = (1-CosV)/2		. Аналогично поступают			с
функцией		у	. Например,		при изучении констант радиоактив
ного распада			целесообразно		оперировать		о логарифмами	интен-
сивностей.
	Вообще говоря, выбор (21,1) может противоречить исходно
му предположению о нормальном раопределении наблюдаемых
величин. Для приближенных оценок						можно	пойти, на такой компро

мисс, учитывая, что небольшое отклонение от нормального га-

кона не повлечет за собой больших неточноотей. Однако".там,

где можно провести точный расчет, не следует избегать этой

возможности, стараясь придать функции правдоподобия наибо лее корректный вид.

Заменяя в (21.I) коэффициенты регрессии их оценками & к , имеем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ