Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

приблизительно описывается

' L - распределением с числом

f степеней свободы, которое определяется из соотношения;

~ з. ~ а 2

~2 2

(ІбЛО)

Поэтому,	если	при	р^ і	р^ =	с/	значение	"£с ^ или
7 ~ > І . ,	^,	» то	гипотеза		р^ ±	р^ = с/	опровергается
о уровнем	значимости Є			.
В заключение			рассмотрим		вопрос о сравнении нескольких

средних. Гипотеза о равенстве нескольких генеральных средних проверяется с помощью оценки усредненных выборочных данных*

Ограничимся случаем, когда генеральные дисперсии каждой из выборок различаются между собой незначимо.

	Располагая выборками Ґ і і		} / г а 5	. . с	выборочными		сред-
лИНИ И ДИСПерсИЯМИ Pf ,f^7 • • - у ^ к И Gf,				6^, • • • у		СОСТЭВЛЯ-
ем сЗъедяненную дисперсию
		к
		- — ^ т -	- *	1		c i 6 . l i )
где	б"*-	генеральная дисперсия выборок;			£ ( =	У	(ttL-1).
	С другой	стороны, если гипотеза		о равенстве		всех	ге

неральных оредних справедлива, то можно составить объединен-

ное выборочное ореднее	р	, рассматривая всю совокуп
ность эмпирических данных,		как единую выборку:

	ґ л	(16.12)
7	ґ л
	i~1
И так как величина	~	2
	~	2

распределена нормально с параметрами (0,1), то оценка дис персии

. *

(16.13)

связана

^-распределением

^ » к - 1

. Таким

образом,

отношение

величин

~ л

ЄГ .

ОС.

= у*(к-1

f t

)

(16.14)

« С .

имеет

V~распределение

t t

» к' - І

н / д *

J ~ ( f l y ~ ^ J •

Очевидно,

среднее

значение

оценки

равно

6 , так

как

У-2

= ^

. Если же гипотеза

о равенстве средних не-

верна, то можно

показать,

что среднее значение

боль

ше,

чем

6* .

Из оказанного немедленно следует критерії ора«нения

средних. Гипотеза равенства средних ^неверна", если

\Щ

значимо

превышает

, т . е .

К > v * ( « ' H * * ) -

( 1 6 Л 5 )

	Напротив, при обратном неравенстве можно считать, что
генеральные			средние		совпадают. Тогда			для оценки		генерального
среднего		следует избрать значение						,	вычисляемое по
(16.12), а достоверность этой оценки								характеризовать			с по
		яс г
мощью		б	из	(16.13).
					З А Д А Ч И
	I .	Указать		объединенную		оценку		ip	и р	в	случае
их	незначимого			различия.
	Решение. Пусть				г> ж	ж у		. Составляя функцию прав
доподобия наблюдения					оценок	^	и	^	и	максимизируя
ее,	находим		(см. также пример из § 23)

Это несмещенная оценка с дисперсией

2.Измерения эффективного сечения реакции по двум ме тодикам дали результаты: (6,4; 7,2; 7,0; 6,8) бврн и (7,4; 7,5; 6,5; 7,0) барн. Можно ли быть уверенным, что методики неравноправны?

3.При изучении времени жизни странной частицы X. в

трех	научлых группах получены значения:		(1,50;	1,45.;	1,55;1,6).
• Ю ~ 1 0	сек;	(1,62; 1,60; I.65-; I , 6 0 ) « i 0 " 1 0	сек;	(1,60;	1,59;
1,60). 1 0 " ^		сек. Совпадают ли эти результаты?

§ 17. Сравнение средних при бедной	статистике
В экспериментальных исследованиях	подчас складывается

ситуация, когда число наблюдаемых событий невелико. Распре деление редких событий весьма существенно отличается от нор мального. Поэтому результаты серий наблюдений с бедной ста тистикой нельзя сравнивать, опираясь на критерии, рассмотрен

ные в предыдущем разделе.

Мы предположим, что распределения исследуемых редких

событий являются пуассоновскими. Тогда сравнение параметров

изучаемых генеральных совокупностей можно провести о по

мощью еле? ющего условного критерия.

Допустим, что в результате двух серий наблюдений было зафиксировано A/f и Nt событий соответственно. Если

средние	каждой		из	генеральной	совокупностей равны между со
бой, т . е .		Ni	= Nz = N , то		вероятность	отметить	в	этих се
риях	К1	и	К2	событий	равна
P(K<,«J=			P(Kt)f>(Kj=		{ N ) k ,	*	•	(І7.І)"

Введем в качестве новой величины оумму X * Kt + Кг

Согласно теореме сложения пуассоновских распределений наб людаемое значение X имеет вероятность

х /

Поэтому условная вероятность того, что ми зафиксируем /^событий в первой серии при общем числе событий равном X ,

описывается соотношением

	'	*	Р(х)	І 2 /	к,!ка!
	Проверяя	гипотегу	N1 = N£	при альтернативной гипоте
зе	> N	, иы вычислим условную			вероятность
			N	N
P(,>.N\HN.-H)-(i)					k I ( N ! K ) I

Если эта воронтность не превосходит избранного уровня зна чимости £ , то пр іеряемая гипотеза отвергается.

Можно показать, что соотношение (17.5) эквивалентно условию

P ( K ^ N l N ) , 1 - P ( V ' { f l , f , ) < 7 ^ r )

* (17.5)

где

Ф,= 2(Ыл+1);

W / V , .

Поскольку

то критической для исходной гипотезы является область

При двусторонней альтернативной гипотезе Є следует заменить на Є/2 .

Пример. Пр. чсследовании первичного компонента космиче ских лучей за сеанс было обнаружено 2 частицы с ультрареля тивистской энергией.В следующий с^анс прибор зарегистриро

вал 7 частиц этого сорта. Есть ли повод для заключения, что
интенсивность космического потока не постоянна?
Согласно (17.6)		вычисляем	отношение		N1/(Ni	+ l)	=
=7/3=2,33. Так как		Voars^6;	^ =	3 , 5 0	> 2 ' 3 3 '	1 0
проверка с 5%-ныи уровнем значимости				не подтверждает			наае
сомнени^.
Если	проверка не указывает на значимое различие между
средними,	заключение	об истинном	значении		среднего ґ'аЩ		= Мг
делается	(см. § I I ) на основании		величины		^1/i-(N1->-Ni)/2-
Таким же образом, используя условный					критерий,	сравни

ваются интенсивности пуассоновских потоков, когда измерения

характеристик потоков происходят в течение					различных ин
тервалов времени.
Пусть в первом измерении пуассоновского потока							в те э -
ние времени	t i	зарегистрировано	N1		событий,		а во вто
ром измерении за интервал времени			£ 4	отмечено			Nt	со
бытий.
Если интенсивности потоков равны VY					и	У»	• 1 0
вероятность	отметить за те же промежутки			времени		Kf		и Кг
событий равна
F(KtlKj*		„ І ^ І	Є			•	( П . ^

Повторяя далее процедуру построения условного критерия, находим вероятность

Р ^ ^ ^ 1 ^ Ч - ^ - ^ 7 ? ^ * ^ - ^

( 1 ? - 8 )

где

Для проверки

исходной

гипотезы ^ <

/ V l =

А 0

при альте -

нативной

гипотезе

^ / ^

> А

мы вычисляем

(17.8)

при

(Ао )

Если

оказывается, что

Р ( Ч *

NilN)\^*

е>

( 1 7 Л 0 )

то с уровнен

значимости

исходная

гипотеза отвергается.

Как и в случае t =* t-r

квантили

соотношения

(17.10)

выражаются

через

квантили

V -распределения. Поэтому

критическое

для исходной

гипотезы областью будет

При сравнении с двухсторонней конкурирующей гипотезой

^/ti

Ф \9уровень

значимости

выбирается в два раза

меньше

значения

£ .

Так,

если в рассмотренном

примере время

первого

сеанса

в полтора раза превосходит время второго, то гипотеза о посто
янстве интенсивностей космических потоков отпадает, так как
1,8 . 7/3 = 3,5 *	V*a?s(6;	ІМ).
	З А Д А Ч А
Показать, что в случае		незначимого отличия	средних интен-
сивностей,т.е. і) »	її ш v ,	их оценка находится	как у)ж^*^і	.

і,* і.

§ 18. Анализ грубых ошибок

Одним из условий получения наиболее достоверных выво дов является однородность эмпирического материала, которая

заключается,в частности,в том, что среди результатов отсут ствуют грубые ошибки. Последние могут появлятися, напримзр, вследствие сбоя в работе экспериментального оборудования.

Поэтому все грубые ошибки должны быть выявлены и исключены из рассмотрения.

Однако здесь исследователя подстерегает, пожалуй, одна из самых коварных ошибок, которые он может совершить

в овоей работе. Это происходит, когда желаемое принимается

за действительное. Не случайно весьма распространено мне

ние, что из статистического материала можно получить любой результат. Предвзятое отсеивание материала, подчао подстре

каемое затаенным желанием экспериментатора сделать оеноа-

ционное открытие, неоднократно являлось причиной глубочайших

научных конфузов.

Сложность анализа грубых ошибок заключается.в,казалось бы,парадоксальном выводе, что чем больше объем выборки,

тем с большей вероятностью				следует ожидать резких "выбросов".
Действительно,		если	вероятность отклонения			\| ^ - ^ \| < Д
равна ^0	, где	^	-	один	из результатов,	- ге
неральное среднее, т . е .
	Р(\уГ%\< А ) *				р >	( І 8 . І )

то вероятность того, что все П, измерений будут откло-

							п-
няться от	р	не более,	чем на	А	, равна		р .
И как бы близка		к единице	ни была	величина		уО ,	при
П—ос	эта	вероятность	стремится к		нулю,	т . е .
	Pl^mc*-?^		Л ) =			>	(18.2)
где и	- максимальное		среди	наблюдаемых		значений в
О max

данной выборке. Таким образом, появление больших отклоне ний - не аномальность, а статистическая закономерность.

Поэтому статистический критерий отбрасывания грубых ошибок (резких выбросов) строится с учетом этой особенности всей совокупности наблюдений. Если для отдельного наблюде ния

то согласно (18. 2 )

воли пЫ « 1.
Полагая далее, что максимальное отклонение	в выборке
может превышать некоторое предельно допустимое	А , _ £	с
вероятностью не более Є , имеем

Отсюда

PflVmo.-?!

1-Є

(18.5)

г Д в

^1 ~ є/п. к в а н

т и л ь »

определяющая границу

критичвоков

области отклонений для отдельных наблюдений.

Следовательно, когда оказывается, что максимальное

отклонение

в выборке

? I »

61-у,и

(18.6)

то

с уровнем

значимости

такое

отклонение

может быть

забраковано

как ошибочное.

Квантили

д„

є/

вычисляются, исходя

из распределе-

~ /к

ний случайной

величины

. Боли среднее

значение

и диоперсия

€Г

известны,

то для нормально

распределен

ных величин амплитуда предельного допустимого отклонения

•равна

т°*

(18.7)

где

Мнквантили

нормированного

распределения.

Однако

обычно

сравнивают U

с выборочным

сред-

tnox

ним

располагая

лишь выборочной

оценкой дисперсии

Є. В этом случае границу критической области следует

сдвинуть в область больших значений (дань неопределенности

в знании

р и б " ) :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ