книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра паровых и газовых турбин
М. Е. ДЕЙЧ, Г. В. ЦИКААУРИ
Утверждено Учебно-методическим управлением МЭИ
в качестве учебного пособия для студентов
ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Конспект лекций
Под редакцией В. В. ФРОЛОВА.
В В Е Д Е Н И Е
Настоящий конспект по «Элементам магнитной газо динамики» составлен на базе лекций, читаемых профессо ром М. Е. Дейчем на третьем курсе Энергомашинострои тельного факультета Московского энергетического инсти тута с 1964 г. по 1968 г. Курс рассчитан на 32 лекционных часа и 16 часов практических занятий. В середине семестра проводится контрольная работа с решением задач, а в кон це семестра — зачет.
Предлагаемый конспект лекций не является полным изложением курса магнитной газовой динамики. Авторы попытались рассмотреть лишь некоторые вопросы магнит ной газодинамики с позиций физической газодинамики. Так, здесь наряду с некоторыми критериями подобия маг нитной газовой динамики рассматриваются тепловые и обычные газодинамические критерии. В связи с тем, что студенты специальности «Парогенераторостроение» до настоящего курса лекций прослушали курс «Гидродинами ки», авторы считали необходимым остановиться более подробно на некоторых специальных вопросах газодина мики, таких как переход через скорость звука в потоке для произвольного случая внешних воздействий (так назы ваемый закон обращения воздействий). Авторы подробно остановились на выводе уравнения энергии для потока, так как существующие курсы гидродинамики, газовой динамики и термодинамики обычно ограничиваются про стыми одномерными уравнениями.
Конспекту лекций предшествует краткий раздел, где даются некоторые сведения из векторного анализа.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
В магнитной газовой динамике имеют дело с такими векторами, как скорость С, напряженность электрического поля Е, напряженность магнитного поля Н (магнитная индукция В), плотность электрического тока' / и т. д.:
а) сложение и вычитание векторов производится по правилу параллелограмма;
б) умножение: скалярное произведение и векторное. Скалярное произведение двух векторов есть скаляр
a-b=abcos а,
(X| Q-xO-yClz}j
ь (М А К
a-b= axbx+ayby+azbz. |
(0-1) |
Пример. Если к некоторому элементу жидкости, движу щейся в направлении В, приложена сила F, то скалярное произведение F -В есть работа силы F на участке В.
Скалярное произведение не зависит от порядка сомно жителей a-b = b-a. Произведение двух взаимно перпенди кулярных векторов а и b равно 0.
Векторное произведение: вектор, направленный перпен дикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Величина этого вектора равна площади паралле лограмма, построенного на перемножаемых векторах,
анаправление определяется правилом винта
С= А Х В , C=ABsm а.
5
Пример. Сила F, действующая на ток I, протекающий
в магнитном поле В, равна
f = 7 x b .
При перестановке сомножителей знак произведения ме няется на обратный.
Л Х 5 = -5 Х А .
Векторное произведение через проекции на оси коор динат находится с помощью определителя:
i |
j k |
— (АуВг — AzBy) i — (AJCBZ — AZBX) j -f- |
|
А X В = К |
Ay Аг |
||
В, |
в у Вг |
+ (AxBy - AUBX) k. |
(0-2) |
Произведение 3-х векторов —скаляр, равный объему парал лелепипеда, построенного на векторах.
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
(А Х В )-С = А -(В Х С )= В (С Х А ). |
(0-3) |
|||||
___*. > — >. |
|
|
|
|
— > — > |
|
(А Х В ) ХС —вектор, лежащий в плоскости А и В. |
|
|||||
Нам часто придется пользоваться формулой |
|
|||||
(АХВ) Х С = В ■( С - А )-А (В -С ). |
(0-4) |
|||||
Градиент функции — вектор, |
определяемый |
соотноше |
||||
нием |
|
|
|
|
|
|
йф - |
|
Лр -♦ |
дф - |
|
||
g r a d c p ^ |
|
|
оу |
h — |
k |
|
и вектор „набла“ |
|
|
|
|
|
|
-* |
д |
|
д |
-* |
|
|
д |
|
|
||||
дх |
‘ + |
~щГ3' + |
~ W k' |
|
||
grad ср = Vср.
Дивергенция вектора. Рассмотрим некоторое поле век тора. Выделим объем V, ограниченный поверхностью S.
Поток вектора А через поверхность 5 равен J AdS. Если
S
в рассматриваемом объеме отсутствуют источники или
6
стоки (или они взаимно компенсируют друг друга), то эта величина равна нулю, больше нуля — если источник, и меньше нуля —если стоки.
Если объем V->0, т. е. стягивается в точку а, то предел рассматриваемого выражения будет характеризовать нали чие источников (стоков) в точке а.
Дивергенцией вектора называют предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замк нутую поверхность к величине объема, ограниченного этой
{ * dS
поверхностью — ---- ----- .
Через составляющую дивергенция выражается
div А =
divA = VA —скаляр.
дА г , |
дАу |
, дА, |
||
дх |
+ |
ду |
+ |
dz |
|
|
|||
Ротор вектора характеризует степень завихренности поля вектора в данной точке.
Если жидкость течет с постоянной скоростью, то цир куляция вектора скорости, взятая по любому контуру
^ Cdl, будет равна нулю. Поле является безвихревым.
Если скорость непостоянна, то циркуляция скорости отлична от нуля.
Циркуляция вектора, взятая по некоторому контуру, отнесенная к площади поверхности, ограниченной конту ром обхода, даст при бесконечном ее уменьшении проек цию ротора в данной точке на направление, перпендику лярное площадке.
С помощью вектора «набла» ротор записывается в виде векторного произведения
i |
1 |
k |
|
|
rot А — у X А = д |
0 |
д |
дАг ^ |
дАу \ |
дх |
ду |
dz |
ду |
дг ) 1 ' |
К |
А у |
|
|
|
( |
дАх |
дАг\-Г , |
+ |
дг |
~дГ)] + |
дАу |
дАх \ |
(0-5) |
дх |
k . |
|
|
|
7
Дивергенг^ия ротора всегда равна нулю.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divrotA — 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
Векторное произведение а X rot а |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а X rota = |
i |
|
|
] |
|
k |
= i (ау rot., а — az roty а) + |
||||||||||
а. |
|
|
|
а , |
|||||||||||||
|
|
|
rotv a; rotya; rot2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
7 {az rotv a — ax rot, a) |
+ k (ал. rot,, a — az rot, a) ; |
|||||||||||||||
так' как |
|
|
|
|
|
|
|
|
dax |
|
daz \ |
~ l dav |
dax \ |
||||
- |
|
т / daz |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rota = |
' |
|
- з г 1 + |
> |
dz |
|
~STJ + |
Й \ “d*Ox |
ду I ' |
||||||||
a \ |
rot a = |
t |
|
даи |
|
dax |
|
|
|
( дау |
|
да. |
+ |
||||
|
l. дл- |
|
dy |
|
|
|
U |
|
|
|
|||||||
|
|
+7 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|||||
|
|
daz |
|
^ L \ - |
a, № |
|
|
|
дах |
|
|||||||
|
|
ду |
|
|
|
|
~ду |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
дг |
) |
д |
I дх |
|
|
||||||
|
|
-1- ^ |
дах. |
|
|
daz |
|
«v |
“ Г*- — |
дау |
|
||||||
|
|
дг |
|
|
|
дх |
|
дг |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у 1 ду |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а,, |
дау |
|
дах |
+ |
|
|
дд? 1 |
+ |
|||
|
|
|
2 |
а* |
|
—1---- ау |
дг |
|
|
2 |
дх |
||||||
|
|
|
|
|
J |
ду |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
д“г |
|
|
|
да,, |
|
да,, |
|
I |
|
|
|
||
|
|
|
|
г |
|
а_ —- |
Н----------- |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
ду |
|
|
дг |
|
v |
d.v |
|
|
2 |
|
diy |
|
|
|
+ |
k |
1 |
дах2 ^ |
|
|
да^ |
|
дя, |
- |
. |
1 |
дау |
|
|||
|
~2 |
~дг |
|
йх |
дх |
|
av — |
-\----------- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
y |
df/ |
|
|
2 |
дг |
|
||||||
|
|
|
да2 |
|
|
v) ax |
1 |
|
da2 |
|
r* |
, |
+ |
||||
|
|
------------(a, |
|
2 |
------ (a, |
y )a y |
|||||||||||
|
|
2 |
d.v |
|
|
|
|
л |
|
д</ |
|
|
|
|
|||
-f- k |
1 |
do2 |
(a, |
y )a 2 = |
-i- grad я2 — (а, у) « |
||||||||||||
2 |
dz |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a X tot a = |
— |
grad a2 — (a, |
v) a. |
( 0-6) |
||||||||||
8
Теорема Гаусса — Остроградского
Если У — любая конечная область в векторном поле
а= а(Р), ограниченная поверхностью «5», а п — единичный вектор внешней нормали к «5», то
(0-7)
здесь Р —точка в пространстве, т. е. интеграл по области «У» от дивергенции векторного поля равен потоку вектора
а(Р) изнутри поверхности «5», ограничивающей область
« У » .
Субстанциональная производная
Пусть имеется поток жидкости или газа с полем ско
рости С(Р), где Р — точка в пространстве. Тогда всякая величина Ф = Ф(Р, /), связанная с частицей движущейся жидкости или газа, изменяется со временем не только в силу прямой зависимости от «/» при фиксированной точке «Р», но и в силу того, что эта частица переносится пото ком, т. е. в силу того, что координаты х, у, z точки Р изменяются с течением времени. Если x = x(t), y — y{t) и z = z(i) —уравнения траектории частицы, то
— и'2
ИЛИ
(0-8)
Г л а в а 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1-1. Напряженность электрического поля
Электромагнитное поле в любой точке пространства в каждый момент времени характеризуется двумя векторами:
напряженностью электрического поля Е и напряженностью
магнитного поля Н. На заряженную частицу зарядом q\ действует со стороны другого заряда <72 сила, направленная по прямой от одного заряда к другому и равная по закону Кулона
_ ± _ Л Е К - |
|
(I-D |
|
4л е0 |
г2 |
|
|
|
|
||
где F —сила, г — расстояние |
между зарядами <71 |
и щ>, е — |
|
единичный вектор, направленный от q\ |
к qo и ео —постоян- |
||
ный множитель, равный в системе MKS |
8,854-10- 12 |
кулон |
|
------ |
|||
|
|
|
в• м |
Из закона К}'лона удобно ввести понятие о напряженности
—>■
электрического поля Е, равной
Е - — — ■е. |
( 1- 2) |
4я Eg г2 |
|
Напряженность Е, следовательно, это сила, действую щая со стороны прочих зарядов на единицу заряда q\. Если зарядов много и они распределены в заданном объеме (например, электроны, протоны), то вводят понятие плот ности заряда рэ(х, у, z), определяемой как
где q —распределенный заряд,
10
Пользуясь законом Кулона при непрерывном распреде лении заряда, можно определять напряженность электри ческого поля ,в точке безотносительно того, есть в ней заряд или нет в виде
Е = |
Р> е |
dv. |
(1-3) |
|
4л е„ |
|
|
Другими словами, Е характеризует |
силовое |
воздействие |
|
электрического поля. |
|
|
|
Пользуясь напряженностью электрического поля, легко ввести понятие электрического потенциала ф. Пусть имеет ся какое-то распределение зарядов, создающее электриче
ское поле напряженностью Е. Тогда работа, затраченная на перенос единичного заряда против действия электриче ских сил из точки а к точке Ь, равна минус компоненте
напряженности Е в направлении движения, проинтегриро ванной по этому пути. Разность электрических потенциа лов в точках а и Ь, следовательно, равна
ь
U=cp(a) — ср(Ь) = — J EdS, |
(1-4) |
а |
|
где dS —дифференциал вектора перемещения вдоль траек тории.
1-2. Магнитное поле В
Сила, действующая на электрический заряд, зависит также и от скорости движения заряда. Как было показано
выше, имеется электрическая сила Е, не зависящая от
движения заряда. Но кроме Е возникает добавочная ком понента силы —магнитная сила, зависящая от скорости движения заряда.
Для характеристики магнитной силы введем еще один
вектор —магнитное поле В или, как его называют, магнит ная индукция. Полная магнитная сила в любой точке про странства и в каждый момент времени, действующая на
заряд q, перпендикулярна вектору скорости С и равна
F= q(E + CXB). |
(1-5) |
Она называется силой Лоренца.
11