Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Г л а в а 4

ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

4-1. Основные уравнения

Основные уравнения выводятся при следующих допу щениях:

а) движение газа считается установившимся (d/dt = 0); б) течение одномерное, хотя стро го говоря одномерность следует рас сматривать только к средним по се

чению параметрам; в) существует только одно внеш

нее поле — электромагнитное (грави тационным полем (Ггр= 0) пренебре гаем, пренебрегаем также силой вяз кости и теплопроводностью.

Исходными уравнениями являются

уравнения	неразрывности,	количества
движения, сохранения энергии, урав
нение состояния:		неразрывности
а)	уравнение
Fpu = const.

J _ dF_ ,	1 dp	+	da	=	0.	( 4 1 )
J _ dF_ ,	1 dp	, 1	da		n	( 4 1 )
F dx +	dx	и	dx

Рис. 4-1. Струйка то ка в магнитном поле

Скорость с имеет составляющую, на правленную вдоль оси х или с (и,0,0);

вектор магнитного поля В направлен

вдоль оси z, т. е. В (0, 0, В ) и вектор электрической напря

женности Е направлен вдоль оси у, т. е. Е { 0, Е, 0) (см. рис. 4-1);

6) уравнение импульсов для одномерного течения в электромагнитном поле

“ -7L + - - £ -			+ * . = о,
ах	р	dx
ХУ1—проекция Ры на	ось	ж. Пондермоторная сила равна

FM=.~JxB = ° 0 +~cXB\XB,

векторное произведение равно
с Х В	=	i	/	k				и 0 = -	и Bj,
с Х В	=	и	0	0	= ( - 1 П			и 0 = -	и Bj,
	0		0	В				0 В
	0		0	В
а плотность тока /		выражается как
Тогда				j = a[E — uB]j.
Тогда
					i		/	k
~РЛ = а [В — и В] j X В					0; а [Е — мВ]; 0 — аВ[Е — иВ] i,
					0		0	0
т. е. магнитная сила действует							в	направлении	оси х. Учи-
cl	д
тывая, что —	■— = 0, можно записать
ду	dz				dp
	du				dp	+ а[Е — иВ]В;			(4-2)
	ри ---- = -				dx	+ а[Е — иВ]В;			(4-2)
	dx				dx
в) уравнение энергии
PU~dv[i +								“ В^ Е '
Так как i— cpT, при c„=					const получаем
Со ои dx			+	ри2 dx =			а [Е — и В\ Е;		(4-3)

г) уравнение состояния. Считая газ совершенным, будем

использовать уравнение		Клапейрона p — pRT или в диффе
ренциальной форме
t	dp	1	dp	1	dT	(4-4)
р	dx	р	dx	Т	dx

В уравнении энергии (4-3) заменим теплоемкость с„ через газовую постоянную и показатель адиабаты. Изве стно, что

сР		си—i?,
или		tC
____	Т~)	tC	- •
Ср —	R		- •
		к —1

С учетом последнего выражения уравнение (4^3) прини мает вид

ри	R	+ риа ——— а[Е — иВ\ Е.	(4-5)
к — 1	dx	dx

Подставляя — из уравнения (4-4), находим

Тdx

ри

{

I d

7 .

“Г

;

к — I

+ pиг

= ст (E — и В) E.

Из уравнения движения (4-2)

выразим

подставим в

последнее выражение. Тогда имеем

к- D l l ----Р !LJ!lL + J - a(E — UB ) B +-

к — 1

= a[E -

и B\ E-

+ ри* —

, .

\ du

----------pu2

-|--------- p

----- = -----------pU—-----------

к —1

j dx

к — 1

■a (E — и В)

■uB — E ) .

к — 1

и2

. Л du

J _ dF_ _

к — 1

k R T +

) ~dx

к —■1

— a(E — uB)

u B — E^.

—

; -----!---- [JL i L

a(* ~

(E — uB) l

— E

уИа — 1

[ F dx

p к

Vк — 1

= — 1— Гл J L + ^

( * - - a) (a -

к -

\ E_

(4-6)

к В

Мг — 1 |_ F dx

p \ В

J \

Приведем уравнение (4-6)

безразмерному

виду. Так

как и= Ма,

то

л л

---- = М ------- b а ---- .

В свою очередь скорость звука

V k R T

a = V ' k R T и - j - =

da _

V k R T dT + V k R T dM

V T r t

V k R T dx

2 V k R T T dx

' dT

находим

Выражая —- —— t из уравнения

энергии (4-5),

к — 1 1 p ir

d'u

V k R T dx + 2 V k R T

к pu

к — 1 1

r „

„ , „

i +

.___ - —

-]—

a\E — u B \ E -

r____

2 V k R T

V k R T

P«a \

ЛГ— 1 £

— и

2p j

1 +

h: — 1

аг

—

, / .

4“ (л*

n r

k — 1

а, a

через

иг.

иоозначим — ---- — через

—

Тогда

имеем

К —1

м /

V k R T (■\ +

/Иа-- 1

F dx

аВ2 (и — и3) (и — Ui)

ай2 («з — u)u1 =

2 V k R T

1 +

к —1

--------/VI2

ай2

. ,

V k R T

М2 — 1

— —------------ (и — Из) (“ — Ui) —

F dx

М"-— 1

ofl2 (u3— ut) и,

* r i M.

об2	—-ы3)	и — ы.	/VI2 - 1
(и	—-ы3)	и — ы.	- к - 1М2
об2 (« — Ms)		1 +	- к - 1М2
об2 (« — Ms)		и — Ыг 1+	Ма — 1	1
				1

- — 1 Л'12 2

М2 —1	2 + /сМа - А12 + М2 — 1
1 + 2 + (к - 1) /И2	2 + (к - 1) М2

Обозначим

1 + к М2

2 + (/с — 1) Л'12

				Мо —		1+ к/И2		и*
					2 +	( к — О М 1
dM	_	1.+—2	М= Г Д-I		//б		об*	= (и — м3) (и — г/2) . (4-7)
d.v	_	Ма — 1		1	rf.v		p V k R T
				б	rf.v		p V k R T
Для простоты				будем рассматривать канал постоянного
сечения,		т. е.		dF	п
сечения,		т. е.	---- =		и
		1		dx
dM _		1		1+	Л4!		об2	(и — и3) (и — и.,). (4-7а)
dx ~		М* - 1		1+	Л4!			(и — и3) (и — и.,). (4-7а)
dx ~		М* - 1					Vк R T p

Анализ течения газа в электромагнитном поле

Течение можно разделить на дозвуковое и сверхзвуко вое. Рассмотрим уравнения (4-6) и (4-7,а).

В дозвуковой области	В сверхзвуковой области
(М <1),	(М>1),
112<11\<U3,	Ui<ii2<ii3,
1/1	при М — 1; U2 — u\,
при М — 0; U2 — — .	при М — 1; U2 — u\,
	п р и М = оо и? —> — - — и,
	к — 1

Движение газа в электромагнитном поле удобно анали зировать в диаграмме и, М. В зависимости от того, какой скоростью и и числом М обладает поток, течения можно

разбить	на 8 областей	(А \; А 2; 5i; В2;	С\; С2; D
Рассмотрим подробно эти области (рис. 4-2).
Область А\ (М >1)		Область А 2 (М <1)
	и > щ М >1.		и > и 3,
Из ур-ния (4-7,а)			> 0.
	dM/dx<0.
			dx
Поток тормозится.		Поток ускоряется.
	Зона В\	Зона В2
	112<и<Щ.	U \ < U < l l 3 ,
	Из ур-ния (4-6)	± ^ < 0	Ш < 0,
	dn/dx>0.	dx	dx
Из ур-ния (4-7,а)		поток тормозится.
	dM/dx>0,
поток ускоряется.
Переход через скорость звука в канале постоянного
сечения	в областях А\ и А 2 невозможен.		В областях В\ и

Рис. 4-2. Период через скорость звука при течении проводника в магнитном поле

В2 мы даже не можем приблизиться к скорости звука. Переход через скорость звука возможен только на стыке

областей В2 и А\ при	через особую точку. Имеем ана
логично с соплом.	Область С2
Область С1	Область С2
U \ < U < U 2.	u2< w< w1,

Из уравнения (4-6)	— >	0,
du/dx> 0.	dx
Из уравнения (4-7,а)	dM/dx<0.
dMjdx СО.
Б этих областях поток	ускоряется при	уменьшении

числа М. Здесь скорость звужа растет быстрее скорости потока, так как выделение тепла Джоуля приводит к росту

Т, а так как a—Y kRT, т о	а растет быстрее, чем с.
Область D\	Область £>2
U < U \ ,	и < u%
— < 0,	du/dx>0,
dx
dM/dx<0.	^dx- > 0.

Переход через скорость звука на границе D\ —£>2 невоз можен. Можно перейти через скорость звука в особой точке из области £>2 в .Вь Возможен также переход из области D 1 в С%

Полученные данные можно пояснить, если вспомнить, что воздействие электромагнитного поля на течение выра жается в силовом воздействии пондермоторной силы (Ём) и в выделении тепла <2ДШ. Отношение работы механиче ских сил £м-с к полной подводимой энергии в данном случае равно параметру нагрузки ц, выражаемому как

_ F и _ а (Е — иВ) Ви _ иВ _ и

а [Е — иВ) Е

«з

Если u>uz, то N<0; Fu<.0, т. е. механическая энергия при движении газа переходит в энергию электромагнитного поля. Если и<из, то энергия электромагнитного поля пере дается газу в виде тепловой и механической энергии. В последнем случае при и-*-из (т]-*-1) воздействие поля выражается в виде работы электромагнитной силы над газом, а при ц малом —в основном в виде подвода тепла.

Следовательно, изменение ц от величин больших еди ницы к величинам меньшим единицы соответствует изме нению воздействия магнитного поля на поток. Для того, чтобы в трубе постоянного сечения перейти из области дозвуковых скоростей в сверхзвуковую область, нужно

одновременно с изменением М изменить характеристику магнитного поля тр

Здесь уместно привлечь на помощь закон обращения воздействий газовой динамики, впервые сформулированный Л. А. Вулисом.

4-2. Закон обращения воздействий

Рассмотрим в общем случае канал, в котором движется газ. Канал не изолирован от внешней среды как в тепло вом отношении, так и в отношении технической работы. Стенки канала подвижны, т. е. подвержены геометриче скому' воздействию. Допустим также, что стенки канала проницаемы для газа, т. е. масса меняется вдоль оси х. Учитываем также силу трения, т. е. в канале вязкостные

силы совершают работу трения «dLTp».						привлечь:
Для анализа общего случая необходимо						привлечь:
1.	Уравнение	неразрывности			в	дифференциальной
форме
	dF	1	dp	1	dc __ q
	F dx	p	dx	2	dx
2.	Уравнение	сохранения		энергии		в форме первого

начала термодинамики, которое после			несложных преобра
зований имеет вид
J_JP_ ц _	~Ь	d Lmp +	d Lmex — 0.

рdx

3.Уравнение состояния идеального газа

п /г- 1	dp	1 dp	1 dT	=	n
p — p R T ------	dx----------------------------	p dx	T dx	=	0.
p	dx----------------------------	p dx	T dx

После несложных преобразований (совместных реше ний уфавнений состояния, энергии и неразрывности) с привлечением термодинамических дифференциальных

„

(

др

—

(

д Т \

находим

уравнении связи

----

j s

) р

d Lmex

d Lmp

к — l dQ

(4-8)

Уравнение (4-8) носит название уравнения воздействия.

Уравнение воздействия показывает, что обращение эффектов, обусловленных внешними воздействиями, проис ходит при М= 1. При М= 1 сумма всех элементарных воз действий должна быть равна нулю, т. е. эти воздействия

компенсируются.	При	переходе через скорость	звука
(М = 1) одно и	то же	воздействие оказывает на	поток

обратный эффект (например, подвод тепла к газу в дозву ковом потоке приводит к возрастанию скорости, а в сверх звуковой — к убыванию).

Закон обращения воздействий: для перехода через ско рость звука необходимо изменить знак внешнего воздей ствия.

Для изменения давления уравнение воздействия имеет вид:

(М2-	1) J - J E - -		-	к	М2	dF	1 й LmeK
4	р	dx			F	dx	a2 dx
к	dZmp	к — 1		dQ	1	dm	(4-8a)
a2	dx	as		dx	m	dx	(4-8a)
a2	dx	as		dx	m	dx
Для изменения плотности:
(Л42 -	1) -L-^P-			Г М 2	dF	1	d Lmex
	р	dx		[ F	dx	a2	dx
		к — 1	dQ		1 dm 1		(4-86)
		a2	dx		m	dx ]	(4-86)
		a2	dx		m	dx ]

Под a^"‘ex можно подразумевать любую техническую

работу (турбина, компрессор, работа магнитной силы). Частные случаи.

а) Движение газа при наличии одного геометрического воздействия (рис. 4-3).

	( М 2 _	1) _ L	J 0 .	1	dF .
		и	dx	F	dx ’
dti .					, . __ ,
----oo, но достаточно велика,			следовательно, M— 1, если
dx
		—	= 0.
		dx
6) Движение газа при наличии				теплообмена (рис. 4-4)
dF	_ dm	__ d L-mex __ ^ Lmp __ q
dx	dx		dx		dx

Существует только одно тепловое воздействие

(-'И*		1)	1	du	—	dx
			и	dx	аz	dx
В дозвуковом	потоке возрастание					скорости	связано с
подводом тепла	dQ	.	«			dQ	п
подводом тепла	----	> 0, а в сверхзвуковом ----					<*. U.
	dx					dx
	М <о				d£>o
	d x				d x

M‘l

W	/ У / У / , ' / / / / / / /
М>/			M <f
W	7	' \	\ \ \
0 > о			с& * 0
dec		-	с& * 0

Рис. 4-4. Тепловое сопло

Следует обратить внимание на множитель, стоящий перед тепловым воздействием: он очень мал (для воздуха

к = 1,4)

^ 0,4-10-3.

6 -5 9 9

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202313.35 Mб19Дегтяренко, В. Н. Транспортные узлы промышленных районов учебник.pdf
#
19.10.20234.82 Mб11Дедков, В. Л. Техника безопасности при эксплуатации грузоподъемных кранов в строительстве.pdf
#
19.10.20231.9 Mб24Дезент, Г. М. Мороженое.pdf
#
22.10.202317.38 Mб2Действие физиологически активных соединений на биологические мембраны [коллективная монография]..pdf
#
21.10.20239.02 Mб9Действительные члены Всесоюзного минералогического общества справочник..pdf
#
23.10.20234.12 Mб14Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf
#
19.10.20232.15 Mб10Дементей, Т. Н. Как читать баланс.pdf
#
23.10.20237.44 Mб7Демидов Ю.М. Измельчение древесины для производства древесностружечных плит.pdf
#
20.10.20238.7 Mб7Демидов, В. Е. Магистрали пяти измерений.pdf
#
29.10.20236.86 Mб9Демин В.М. Авиационная картография лекции.pdf
#
29.10.20231.72 Mб7Демин И.А. Что надо знать механизатору.pdf