книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

-----V Iqu

Здесь ]= — -----ток проводимости, возникающий вслед­

ствие дрейфа свободных зарядов, р0 —свободный заряд на единицу объема.

Экспериментально было показано, что правая часть

уравнения (1-25) пропорциональна плотности тока /. Уравнение (1-25) тогда приобретает вид

Если магнитное поле отсутствует (5 = 0), то соотношение (1-26) превращается в закон Ома.

В уравнении (1-26) член jXB/p характеризует так назы­ ваемый эффект Холла. Уравнение (1-26) можно пред­ ставить

7 = or£ -f — /' X В.

РЭ

Плотность заряда р может быть выражена через заряд электрона —е и концентрации электронов в единице объема пе\ р— —епс. Тогда

7 — о Е ----- — 7 X В.

епе

Если вектор Е действует в направлении оси у, a B = BZ= B,

то результирующий ток / будет равен

Ток называют током Холла. Он возникает благодаря боковой магнитной силе, действующей на свободные заря­ ды. Для уравновешивания этой силы появляется электриче­ ское поле, направленное вдоль оси %, против действия магнитной силы.

то суммируя по всем зарядам в проводнике имеем выра­ жение для тока !/

22

Первый член в уравнении (1-27) рС представляет собой ток конвекции, возникающий вследствие свободного пере­

гаемых: из тока проводимости, возникающего вследствие относительного движения зарядов относительно жидкости, и тока поляризации из-за движения связанных зарядов (например, в случае молекулярных диполей) под дейст­ вием переменного электрического поля. Если пренебречь эффектом Холла, то для объема ДУ уравнение равновесия сил можно записать в виде

Последнее уравнение называют обобщенным законом Ома. Из закона Ома в данной форме видно, что электрическое поле складывается из 2 слагаемых: внешнего поля Е и инду­ цированного поля Ет1Я= С Х В . Тогда закон Ома можно записать в обычной форме

j ==E Сум • и,

где

Есум-- Е + Е1шд.

1-7. Плотность и поток энергии электромагнитного поля (теорема Умова —Пойнтинга)

Рассмотрим некоторый объем плазмы У, движущейся в электромагнитном поле. Плазму можно рассматривать как систему, состоящую из произвольного числа источников и приемников энергии. В электромагнитном поле эту систему описывают уравнениями Максвелла. Возьмем замкнутую по­ верхность 5, ограничивающую объем У. Внутри этого объема могут оказаться частично или полностью источники или приемники энергий в любых сочетаниях, так что мгно­ венная мощность, потребляемая внутри рассматриваемого объема, может в общем случае не равняться мгновенной мощности, отдаваемой отдельными элементами этого же объема. В балансе мощности должна быть учтена соответ­ ствующая избыточная мощность, которая отдается из объема во внешнее пространство или получается оттуда.

23

Чтобы составить уравнение баланса мощности из взятого объема, следует обратиться к первому и второму уравне­ ниям Максвелла. Первое уравнение Максвелл'а умножим векторно на Н, второе —на Е, и вычтем из первого урав­ нения второе.

24

рС на напряженность электрического поля Е равно работе, совершаемой электрической объемной силой над газом. Этот член несущественен и в магнитной газовой динамике обычно опускается.

Как отмечалось выше, при анализе уравнения (1-27) ток

плазмы в магнитном поле обычно мал и в магнитной газо­ вой динамике не рассматривается.

Основной составляющей тока в магнитной газовой динамике является ток проводимости. Используя закон Ома, найдем энергию электромагнитного поля, отданную в единицу времени объему А V

В уравнении (1-31) предполагается, что ток Холла равен

нулю. Первый член в правой части уравнения (1-31) равен омическому нагреву данного объема газа или, как принято

Смысл второго члена — j1j ( CXB) dV становится более

v

25

очевидным, если изменить порядок произведения в подын­ тегральном выражении

- 7 ( с х в ) = с- (Тхв).

По уравнению (1-11) магнитная сила, действующая на еди­ ницу объема, равна

7=1хв.

Тогда | F ■CdV представляет собой полную мощность маг-

v

нит.ной силы, снимаемую с заданного объема плазмы У, т. е.

У -CdV.

v

Мощность N может иметь положительное и отрицательное значение. Условимся считать мощность положительной, если работа совершается плазмой над электромагнитным

запасенную в электрическом и магнитном полях. Эта энер­ гия всегда положительна, но производная по времени от этой энергии, выражающая мощность «зарядки» или «раз­ рядки» электромагнитного поля, может быть положитель­ ной, если количество энергии увеличивается (мощность потребляется) и отрицательной, если количество энергии уменьшается (мощность отдается). В магнитной газовой динамике электрическая энергия —-— в единице объема

мала и ею обычно пренебрегают. Магнитная энергия харак­ теризуется объемной плотностью — .

Выяснив физический смысл всех членов в правой части уравнения Умова —Пойнтинга, перепишем его, пренебрегая электрической энергией

- j ) E X H d S = j ^ - dV + ^ F - C d V + ^ -

V V V

26

Г л а в а 2

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ

2-1. Термическая ионизация

Отличительной особенностью магнитной газовой дина­ мики по сравнению с обычной газовой динамикой является то, что в ней рассматривается движение электрически про­ водящего газа. Газ становится электропроводным при воздействии на него высокой температуры, под влиянием которой нейтральные молекулы газа распадаются на поло­ жительно заряженные ионы и электроны. Большинство обычных газов, таких, как воздух, СОг, СО, N2, Нс, Аг, ионизируются довольно трудно: для этих газов для отрыва одного электрона от атома требуется большее количество энергии или, как принято называть, эти газы обладают высоким потенциалом ионизации. Естественно, что пере­ численные газы не ионизируются до тех пор, пока не будет достигнута достаточно высокая температура газа ( > 10'°К). Однако, если к газу добавить малые количества (0,1 —1% по весу) легко ионизируемых веществ, например, пары щелочных металлов, то можно получить достаточно элек­ тропроводный газ даже при низких температурах.

Существуют другие способы ионизации газа, например, экстратермический, при котором ионизация происходит при газовом разряде при низких давлениях, радиоактивный, рентгеновский и т. д.

Электропроводность ионизированного газа можно при­ ближенно рассчитать 'следующим образом. Будем рассмат­

ривать плотность тока / как сумму плотностей электрон­ ного и ионного токов

j — ji + je

28

— j. - 4 .

С,-; Сс —скорость ионов и электронов соответственно;

щ; пс — концентрации ионов и электронов в единице объема соответственно;

е — заряд электрона.

Если плазма в целом электрически (нейтральна, то rii— Пс. Кроме того, предположим для простоты, что движение ионов и электронов идет лишь по оси а: -навстречу друг

другу, т. е. Ci=u,i\ Сс— —ие. Тогда ток / равен

При наложении электрического поля напряженностью Е электрон движется по направлению к аноду, а положитель­ но заряженный ион — по направлению к катоду. Во время движения они (электроны и ионы) испытывают соударения -с нейтральными атомами, .находящимися в беспорядочном хаотическом движении. (В общем случае возможно столк­ новение электрона с другим электроном, однако, вероят­ ность столкновения типа электрон-электрон ничтожно мала.)

В промежутке между столкновениями изменение скоро­ сти заряженной частицы происходит под действием элек­

трического поля Е, которое воздействует на частичку силой

F — eE.

Уравнение сохранения количества движения для заряда в промежутке времени т между столкновениями его с нейт­ ральными частицами имеет вид

Ет= + еЕх—т С,

где т —масса заряженной частицы, а средняя скорость движения частицы равна

С = еЕх

т

Средняя скорость движения электрона, очевидно, будет равна

еЕх

те

29

Средняя скорость движения ионов равна

е Е X

С, — +

tlli

Так как /п,->(«,,, то | Се|>|С,-|. Тогда плотность тока в соответствии с уравнением (2-1) может быть записано

т*

Так как по закону Ома j = aE, то, следовательно, электропроводность газа равна

те

Уравнение (2-2) дает физически обоснованное представ­ ление о механизме электропроводности: чем больше кон­ центрация электронов пс, тем большую электропроводность имеет плазма. Масса те уменьшает ускорение частицы. Очевидно также влияние концентрации частиц пс. Рассмот­ рим от каких факторов зависит время т между соударения­ ми. т может быть определено как

х

где л —длина свободного пробега для электрона; Ст — скорость теплового движения.

N — число тяжелых частиц в 1 см5;

Q —эффективное сечение столкновений; Г\ — радиус снаряда; Гг — радиус мишени.

Тогда проводимость ст равна

Средняя скорость движения нейтральных частиц Ст определяется на основании кинетической теории газов.

30

В общем случае вместо общей для всех скорости молекул Ст нужно подставить наиболее вероятностную скорость

V С2, найденную из закона Максвелла для распределения скоростей. Для фактического распределения по скоростям этого случая имеем формулу для проводимости

является функцией температуры газа, а представляет собой отношение концентрации электронов к концентрации моле­ кул (атомов) газа. В термически ионизированном газе вели­ чину а можно найти при помощи методов статистической механики. Такой расчет был выполнен французским уче­ ным Саха и представляется уравнением

где nr, пи N — концентрации электронов, ионов и нейтраль­ ных частиц в 1л 3, gi, g0—статистические веса ионов и нейт­ ральных частиц, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, Т — температура газа в 0 К, q —энергия ионизации

{эв).

Как видно из уравнения (2-4), степень ионизации очень сильно меняется с изменением температуры, входящей в

31