книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

Тогда уравнения импульсов (3-8), (3-9), (3-10) можно за­ писать в такой форме:

3-3. Уравнение энергии

Уравнение энергии представляет собой первый закон термодинамики, примененный к конечному движущемуся объему жидкости. Этот закон можно сформулировать следующим образом: изменение полной энергии данного объема газа (внутренней и кинетической) происходит под действием подводимого (отводимого) к веществу тепла и работы внешних объемных и поверхностных сил. Измене­ ние полной энергии равно

где U —внутренняя энергия единицы массы газа.

52

Из уравнения неразрывности следует

d Р dV ___ у

dt

и соотношение (3-14) принимает вид

|'|> (у + - f ) ^ ' = ] ' р Т ±{и + -у -) ■ (3-5)

V

Работа внешних поверхностных сил в общем случае описывается некоторым тензором Е, который для вязкого газа имеет вид

Е = 2р5—(Р+ — pclivcj, 3

где 5 —тензор скоростей деформации, равный

53

В плазме важную роль играет тепловое излучение, однако для простоты анализа мы будем им пренебрегать.

Так как изменение полной энергии равно сумме работ внешних (поверхностных и объемных) сил и количеству подведенного извне тепла, то уравнение энергии в инте­ гральной форме имеет вид

\v

Учитывая произвольность выбора объема V, ' ы можем записать уравнение энергии в дифференциалы mil форме

Заметим, что

DivEC = Div[2pS — — pdivC] —divPC. 3

Следовательно, работа, совершаемая поверхностными си­ лами, состоит из работы давления плюс работы сил трения. Для краткости вязкий член в уравнении энергии обозна­ чают буквой Ф, называемой диссипативной функцией Рэлея. Полностью вид диссипативной функции подробно рассматривается в курсах теоретической гидромеханики.

Напряжения давления совершают над газом работу, равную

Но из уравнения неразрывности следует

— -I- divp С:—0;

д(

— + р div С -\~Сgrad р = — + р div С — 0

или

div С —------

(IP

о at

54

Подставляя последнее соотношение в (3-21), получаем

Для того, чтобы уяснить принцип, приводящий к рас­ сеянию энергии, необходимо найти, какие причины приво­ дят к рост}' энтропии системы. Для этой цели домножим скалярно уравнение количества движения в виде:

3

так как

/ • p — — ;2-i- с (7 x в)

65

В уравнении (3-25) вязкая диссипация так же, как и омический нагрев, всегда положительны. Уравнение опи­ сывает влияние теплопроводности и диссипации на энтро­ пию движущегося элемента газа.

Если тепловой поток q равен нулю, то очевидно, что

— >0, т. е. уравнение (3-25) выражает тот факт, что dT

омическая проводимость и вязкость приводят к необрати­ мому увеличению энтропии.

3-4. Уравнение состояния ионизированного газа

Уравнение состояния в общем случае имеет вид

F(P, р, Т) = 0 .

Однако в большинстве случаев достаточно точно плазму можно описать уравнением Клапейрона для совершенного газа

В некоторых случаях, когда вязкий тепловой и магнитный пограничные слои малы так же, как и омический нагрев плазмы, то для областей, удаленных от пограничных слоев, течение можно считать изоэнтропическим. В этом случае давление Р и плотность р непосредственно без уравнения энергии связываются между собой. В этом случае в основу решения кладется не уравнение состояния, а уравнение изоэнтропического процесса в виде

— = const,

Рк

где k —показатель изоэнтропы, равный для совершенного газа отношению теплоемкости при постоянном давлении СР к теплоемкости при постоянном объеме Cv-

56

3-5. Система уравнений магнитной газодинамики

Неизвестными величинами в магнитной газодина­

мике являются: Р, р, С, Т, Е, Н, рэ и /. Для нахождения этих восьми неизвестных рассматривается система газо­ динамических уравнений ((3-5) —(3-26)) совместно с урав­ нениями Максвелла и законом Ома. Система уравнений магнитной газовой динамики имеет вид

dive0£ = р5,

1 — о (Е + С X В).

Эта система состоит из нелинейных уравнений, поэтому в общем случае решения этой системы возможно только численным путем. Однако, чтобы найти существенные свойства течения плазмы в магнитном поле, можно не прибегать к численному решению, а определить основные безразмерные величины, характеризующие это течение.

Существуют два метода получения безразмерных пере­ менных: обобщенный анализ в теории подобия и анализ размерностей. В теории подобия основная система урав­ нений приводится к безразмерной форме и выявляются безразмерные переменные —комплексы, характерные для рассматриваемых процессов. Переход от размерных вели­ чин к комплексам, называемым критериями подобия, при­ водит, во-первых, к уменьшению числа переменных и, во-вторых, отражает внутренние связи для подобной груп­

57

пы явлений. Это значит, что при анализе задачи в безраз­ мерных переменных исследуется не единичный случай, а множество различных случаев, объединенных общностью свойств и процессов.

При анализе задачи методом размерностей безразмер­ ные параметры определяются путем преобразования раз­ мерностей, когда все показатели в формуле размерностей для искомой величины обращаются в нуль. Искомая вели­ чина в этом случае имеет нулевую размерность, т. е. яв­ ляется безразмерной. В настоящей главе будут рассмот­ рены основные физические обобщенные переменные, полу­ ченные методом теории подобия.

3-6. Критерии подобия магнитной газодинамики

Критерии подобия, как следует из теории подобия, составляются из величин различной физической природы, заданных граничными и начальными условиями, и харак­ теризуют меру отношения интенсивности двух сил или в общем случае эффектов. Численные значения критериев подобия характеризуют с количественной стороны вклад, вносимый тем или иным эффектом.

Рассмотрим основные критерии подобия, встречаю­ щиеся в магнитной газовой динамике.

где vo —кинематическая вязкость.

Инерционные силы извне вносят в поток возмущения, нарушающие упорядоченную форму движения в соответ­ ствии с заданной геометрией канала. При больших внеш­ них возмущениях течение становится турбулентным.

Возникают пульсации параметров потока (скорости, температуры и т. д.), связанные с движением самого раз­ личного направления конечных масс жидкости (так назы­ ваемых молей). В турбулентном потоке все величины, определяющие состояние движущейся жидкости, пульси­ руют около своих средних значений, заданных, например, постоянством расхода.

Силы внутреннего трения оказывают на течение упоря­ дочивающее действие, стремясь привести его в возможно спокойные ламинарные формы движения. Силы трения

58

чая развития, локализуются и затухают. Наоборот, если

нарный режим теряет устойчивость, движение становится турбулентным. Если Re<ReKP, то любое возмущение лока­ лизуется и исчезает. При Re>Re,;p ламинарный режим теряет устойчивость, движение становится турбулентным.

Критические значения Re определяются из опыта. Для цилиндрической трубы критическое значение критерия

где «о —коэффициент температуропроводности.

Критерий Пекле представляет собой меру отношения интенсивности переноса тепла конвекцией к интенсив­ ности переноса тепла теплопроводностью, или критерий Ре есть мера относительного влияния молярного и молеку­ лярного механизма переноса тепла. Критерий Ре по своей физической сущности очень сходен с критерием Рей­ нольдса. Числители обоих критериев одинаковы, а в зна­ менателях стоят физические константы: у числа Re в зна­ менателе стоит кинематическая вязкость, а у числа Ре — коэффициент температуропроводности. Число Re выра­ жает меру отношения потоков количества движения в процессе молярного (конвективного) и молекулярного (диффузионного) механизмов переноса, в то время как число Ре представляет меру отношения переноса тепла посредством молярного и молекулярного процессов.

Из теории подобия известно, что любая комбинация критериев есть также критерий. Возьмем отношение

состоит только из физических констант, и поэтому сам является физической константой. Для газов число Прандт-

59

ля меньше единицы. Для капельных жидкостей Рг больше единицы и в случае очень вязких жидкостей может прини­ мать очень большие значения. Жидкие металлы чрезвы­ чайно теплопроводны, вследствие чего Рг~ 10_2-У-10-3.

как меры отношения толщины динамического погранич­ ного слоя к толщине теплового слоя. Из теории погранич­

тепловой пограничный слой совпадает с гидродинамиче­ ским.

в жидкости контрольный объем V (рис. 3-4). При сумми­ ровании по объему равные и противоположно направлен­ ные силы, действующие на стороны, общие прилегающим элементам, уничтожаются и остаются только напряжения, действующие на поверхность, ограничивающую заданный объем. Следовательно, результирующая магнитная сила,

действующая на объем V и равная j fxBdV, равна резуль-

г

тирующей всех поверхностных напряжений. Воспользуемся уравнением (1-13) Максвелла для стационарного электро­

60

ФЕ магнитного поля О для выражения пондермотор-

~~дГ

ной силы

F=~j XВ = го Ш Х ц Е

Воспользуемся формулой (0-7) векторного анализа

F = (Hgrad)pH —-у gradpH2.

П роинтегрируем это уравнение по объему

|' FdV = ^ { Н grad) р Н d V ---- j* grad p H adV

Рис. 3-4. К определению числа магнитного давления

и воспользуемся формулой Гаусса —Остроградского

Первый интеграл в правой части выражения S (3-28) пре­ образуется следующим образом:

Таким образом, результирующая объемная сила равна

^ . FdV — (j) pH,, Ff dS----pH2ndS — (j) Т dS,

v s s s

— ->

где T — результирующее поверхностное напряжение.

61