книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

а оптимальное число М, соответствующее максимальному значению функции F\, имеет вид

любой точки канала генератора с заданными параметрами торможения ро и То, в которой имеет место максимум функции F\, а следовательно, и максимум локальной мощ­ ности, отнесенной на единицу длины (а при постоянной единичной ширине канала и удельной объемной мощ­ ности). На рис. 4-22 даются зависимости оптимального

числа М от Т0 для слабоионизированиой плазмы с добав­ ками цезия и калия при у=1,66. Приводится также кривая для присадки калия и у=1,3.

Из приведенных на рис. 4-22 графиков можно сделать вывод, что максимальная локальная мощность достигается во всех практически интересных случаях в дозвуковой области движения плазмы от чисел М, равных 0,4 до 0,8, причем с увеличением температуры То и уменьшением показателя адиабаты у оптимальное число М увеличи­ вается.

Здесь уместно отметить, что при использовании уравне­ ния для электропроводности плазмы с присадками допус­

122

калось, что между компонентами плазмы равновесие в каждой точке канала достигается мгновенно, т. е. время, затрачиваемое на рекомбинацию при столкновении ионов с электронами на несколько порядков меньше времени пребывания частиц в генераторе.

Приведенный в данном параграфе анализ носит при­ ближенный характер. Кроме того, мы рассмотрели только одну прямую задачу: в канале заданной длины с произ­ вольным заданным изменением сечения найти оптимальные величины чисел М для заданных известных параметров торможения 7’о и роПоказатель адиабаты также считается известным. Однако, при проектировании МГД-преобразо- вателя часто необходимо найти оптимальную форму канала преобразователя, обеспечивающую при заданных начальных параметрах газа наибольшую выработку мощ­ ности. Решение задачи выполняется, как правило, вариацио!':Iыми методами.

3. Изотермическое движение газа в электромагнитном поле

Часто в практике встречаются случаи движения иони­ зированного газа (жидкости) в магнитном поле при посто­

ская энергия генерируется за счет изменения кинетической энергии жидкости.

Прежде всего запишем уравнения сохранения для изо­ термического одномерного установившегося потока в маг­ нитном поле

риА — т — уравнение неразрывности;

dx

р — р R Т — уравнение состояния;

123

Так как температура газа остается постоянной, то прово­ димость в соответствии с уравнением (4-42) зависит толь­ ко от давления

Ф 1 = (PiPi)~* ■

Для слабоиопизпрованного газа 2—0,5. т. е. проводимость равна

Подставляя проводимость из уравнения (4-80) и плотность

и трением на стенке генератора можно пренебречь. Кроме того, считаем, что коэффициент нагрузки генератора т)п

Уравнение (4-85) дает зависимость между длиной генера­ тора х, на которой скорость изменяется от и\ до г/2, и ре­ жимными параметрами. В качестве базовой длины выбрано расстояние х\, полностью определяемое из входных усло­ вий (p\U\ — приведенный массовый расход газа через еди­ ницу площади, щ задано начальным давлением и темпера­ турой, магнитная индукция считается заданной). Тогда длина генератора л: определяется при помощи базовой ве­

124

дением давления по длине канала (обычно близок у к 1). На рис. 4-23 представлено изменение базовой длины х\ от проводимости газа ai для различных величин магнит­

ной индукции. Из графика видно, что с ростом проводи­ мости газа и возрастанием магнитной индукции длина Х \ уменьшается.

Коэффициент Q определяется следующим образом. Исключим из уравнений энергии и импульса плотность тока /. Тогда получаем выражение

125

Интеграл (4-90) определяется в основном величиной при верхнем пределе, так что нижний предел мал и может быть принят равным нулю. Физически это означает, что для полного превращения кинетической энергии в электриче­ скую (срабатывании скорости до нуля) необходима не­ большая дополнительная длина по сравнению с длиной

Интеграл (4-91) не представляется в виде элементарных

Для малых величин a последнее неравенство может быть заменено на неравенство вида

1 —2a>Qmax> \ — а.

126

Такой вывод может быть получен при прямом интегриро­ вании первого уравнения системы (4-92).

Для больших величин a Qmax равно

о

При а-> QmaX -»■ 0, так что соответствующие коэффи­ циенты нагрузки г) также стремятся к нулю. Остается открытым вопрос о том, к чему стремится произведение

нагрузки т)л- молсет быть выражен через величину коэффи­ циента а

3к A4j

Тогда коэффициент перед длиной х\ лежит в пределах

Минимальная величинa Q 1—4a имеет место при больших

удивительным является результат, что минимальная длина характеризуется нулевым значением, т. е. нулевой напря­ женностью электрического поля Е и нулевой мощностью, генерируемой в единице объема. Однако при стремлении т)э к нулю стремится к бесконечности объем, так что мощ­ ность на единицу объема остается конечной не нулевой величиной, равной в точности изменению кинетической энергии. Здесь уместно отметить, что при малых значениях очень быстро возрастает площадь проходного сечения канала, и одномерное приближение становится несправед­ ливым. Однако минимальной длиной при т] -*-0 удобно пользоваться как первым достаточно грубым приближе-

127

нием, дающим нижнюю границу для длины канала. Следо­

Уравнение (4-93) для минимальной длины генератора может быть представлено в виде зависимости от началь­ ных параметров торможения (Т0, ро) и числа М|. При ана­ лизе считаем, что разгонное сопло генератора адиабатное, что дает возможность вычислить р\ и Т\ через ро и Т0. Так как проводимость газа может быть выражена в виде степенной функции от температуры и давления, то послед­ нее уравнение легко преобразуется к следзчощему виду:

xmtn^ 2 p l \ 3 S T y UiB ^

где

x0 = 2j3pl*ISTj'+'*B*(2cpy »;

Как видно из уравнения (4-94), минимальная длина генератора выражается в виде произведения некоторой функции .то, зависящей от параметров торможения перед генератором (р0, То), на функцию от числа Mi на входе в генератор.

128

На рис. 4-24 представлена зависимость функции хо от Го. для различных давлений торможения ро. С возрастанием начальной температуры длина %o, па которой срабаты­ вается заданная кинетическая энергия, превращаемая в

электрическую энергию, уменьшается. Увеличение давле­ ния приводит к обратному эффекту, а именно, с ростом ро хо уменьшается.

Для заданных начальных параметров ро и То длина

для у= 4/3. Из графика видно, что минимум имеет место

будет очень низким (для у= 4/3, г)Y=6,7%). Следователь­ но, для оптимального, с точки зрения генератора, мы полу­ чим очень низкую эффективность. Поэтому следует пере­ ходить на большие длины канала, приемлемые как с точки зрения сжатия мощности, так и к. п. д. генератора.

При изотермическом движении газа в магнитном поле в канале постоянного сечения из уравнения количества движения и энергии можно легко вывести соотношение

Выражая и -^ - при помощи уравнения энергии

^dx

В случае постоянства произведения сгВ2 имеем

Для M[ = l число М изменяется по длине канала по сле­ дующему закону:

/VI = ] / — — а .

УТ

9*