книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

и л и

dx

Приведем уравнение (4-18) к безразмерному виду

где

j 3“цВц

Безразмерная величина плотности тока /* по абсолют­ ной величине меньше единицы, так как

dB _ : 0 B = B0=rCOnst.

dx

Таким образом, при малых магнитных числах Рейнольд­ са магнитное поле в плазме не искажается и равно внеш­ нему магнитному полю В. Уравнения Максвелла в общей системе уравнений магнитной газовой динамики учитывать не нужно.

Система уравнений для потока плазмы —это обычные динамические уравнения установившегося течения с добав­ лением члена, учитывающего влияние магнитного поля на поток.

93

где h(x) —высота канала МГД-геператора.

Уравнения (4-19) —(4-23) представляют собой систему

уравнений с пятью неизвестными функциями: и, р, р, Т и /. Перепишем систему уравнений, использовав уравнения неразрывности, состояния для идеального газа и закон Ома. Для капала постоянной ширины, равной b= 1 м уравнения магнитной газовой динамики принимают вид

т = puli,

Исключая плотность p из уравнений импульса и энергии, при помощи уравнения неразрывности, находим

где а —общая длина генератора.

94

как при постоянном магнитном поле В и постоянном э. д. с.

ho — высота входного сечения в МГД-генератор.

Из уравнения (4-28) находим давление

Решаем совместно уравнение импульсов (4-27) и урав­ нение энергии (4-29) и находим искомое уравнение для

95

определения профиля МГД-генератора, обеспечивающего заданное распределение и { х ) .

(4-;ю)

Трансцендентное уравнение (4-30) представляет собой общее выражение для профиля канала МГДГ при произ­

уравнение (4-30) решается в квадратурах. Действительно,

Трансцендентное уравнение (4-33) также решается методом последовательных приближений, которые, однако, очень быстро сходятся. Как показали проведенные расчеты, уже третье приближение дает достаточно хороицчо сходи­ мость с ассимптотической величиной. Коэффициент перед квадратной скобкой может быть представлен в виде

96

Где А —величина постоянная для заданных а, В, г| и равна

пщ/оВ2.

После нахождения профиля канала h(x) находим изме­ нение плотности, температуры и числа М по длине канала МГДГ следующим образом:

плотность

и (X)

М( х ) = -

VKRT (х)

Впараграфе 4-3 было показано, что плотность генери­

Подставляя уравнение (4-30) для профиля МГД-генератора в последнее соотношение находим мощность генератора при заданной его длине или длину а при заданной мощ­

канала и поэтому в процессе преобразования не участвует. Следовательно, мощность активного преобразователя равна

Мощность может быть выражена также через давление на входе и выходе из МГД-генератора

После определения параметров потока и мощности, находим показатели эффективности МГД-генёраторов: внутренний относительный коэффициент полезного дей­ ствия rjoi и коэффициент полезного преобразования мощ­ ности rpv по уравнениям (4-38), (4-39).

Эффективность генератора можно наглядно проследить на примере МГД-преобразователя постоянного сечения ( h = const) при постоянном магнитном поле B = 5o= const и постоянной проводимости плазмы о= const. Для общно­ сти численный расчет выполнялся для безразмерных вели­ чин. В качестве безразмерных переменных использовались:

98

На рис. 4-12 показаны характеристики МГД-преобразо- вателя постоянного сечения, полученные в предположении постоянной проводимости плазмы, для дозвуковых и сверх­ звуковых потоков на входе в канал. Внутренний относи­ тельный к. п. д. г|о; и к. п. д. преобразования T]lV показаны как функции электрического к. п. д. Безразмерная длина канала задавалась: 6—0,3; 0,6; 1; 2; т)э изменялась от 0 (закороченная цепь) до 1 (разомкнутая цепь).

Анализ рис. 4-12,а для дозвукового режима на входе в канал М= 0,3 показывает, что при малых величинах 6 по мере уменьшения г)э от 1 до 0,5 т]0( падает, а к. п. д. преоб­ разования возрастает. При г|э, равном приблизительно 0,5 rjjV, достигает максимума, и при дальнейшем уменьше­

замыкания, и кинетическая энергия газа превращается в джоулево тепло. Для больших длин 6= 1 к. п. д. преобра­ зования ограничен сверху условием запирания, при кото­ ром поток становится сверхзвуковым на выходе из канала. В этом случае в канале или за его срезом возникает удар­ ная волна. Следовательно, для коротких каналов 6=1 электрический к. п. д. (параметр нагрузки) выбирается из условия минимальных джоулевых потерь, в то время как для более длинных каналов максимальный к. п. д. преобра­ зования определяется условием запирания.

Увеличение длины МГД-генератора при постоянной нагрузке (i]0 = const) приводит к увеличению к. п. д. пре­ образования i].v, причем преобразование энергии происхо­ дит с меньшей эффективностью (см. верхний рис. 4-12,а). Скорость потока в дозвуковом преобразователе возрастает

к. п. д. (постоянного параметра нагрузки) необходимо уве­ личить внутренний перепад напряжения.

В сверхзвуковом преобразователе (рис. 4-12,6) с увели­ чением длины генератора при Т]э= const возрастает как к. п. д. преобразования Г|л-, так и внутренний относитель­ ный коэффициент полезного действия МГД-генератора, так как в канале с увеличением его длины скорость потока падает, что вызывает уменьшение индуцируемой э. д. с. Еинд— 0- Следовательно, для соблюдения условия r)3=const необходимо меньшее падение внутреннего напряжения. Таким образом, в отличие от дозвукового генератора с

Рис. 4-12. Дозвуковые (а) и сверхзвуковые (б) рабочие характеристики МГД-преобразователя с постоянным сечением канала и s=const

ростом длины генератора возрастает к. п. д. преобразова­ теля т]л-, причем преобразование энергии происходит с большей эффективностью. Условия запирания, т. е. усло­

разования энергии как для дозвукового, так и сверхзвуко­ вого генератора имеет место при цэ приблизительно рав­ ном 0,70-т-О,5.

Для дозвукового канала (М = 0,3) газ можно принять несжимаемым (т. е. как твердый проводник). В этом слу­ чае максимум энергии имеет место при ц0 —0,5, т. е. когда энергия, подводимая к внешнему источнику, равна энергии, теряемой на омический нагрев газа в канале генератора. Для больших длин дозвукового генератора не удается достичь условия максимума г]л-, так как раньше наступает условие запирания. Кроме того, с возрастанием длины генератора возрастает число М на выходе из него и начи­ нает сказываться эффект сжимаемости газа, оптимальные условия при этом получаются более сложными при боль­ ших М.

В сверхзвуковом генераторе вследствие сжимаемости газов оптимальные условия для к. п. д. преобразования отличаются от условий для твердого проводника, и вели­ чины т}э0ПТ лежат в пределах 0,5-1-0,7.

4-5. Течение в канале МГД-генератора с переменной проводимостью газа

Электропроводность ионизированного газа зависит в первую очередь от его местных термодинамических пара­ метров (давления и температуры), которые в МГД-преоб- разователе достаточно быстро уменьшаются. Будем рас­ сматривать течение плазмы в канале МГД-генератора при тех же допущениях, что и в предыдущем параграфе за

(2-5).

Основные уравнения магнитной газовой динамики не изменяются и имеют такой же вид, что и уравнения (4-24). Однако в этих уравнениях величина а принималась зави­ сящей от местных величин давления и температуры по

101