книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

Единицей магнитного поля В является 1 ньютон-секунда,

да, деленная на м2 —j- j . Ее называют тесла или вебер

на м2.

—>

Наряду с магнитным полем В используют величин}'

напряженности магнитного поля Н, равную

в системе единиц MKS.

1-3. Плотность электрического тока

Магнитные силы действуют на провода, по которым течет электрический ток. Последний состоит из движущих­ ся электронов (в общем случае из любых зарядов, образую­ щих результирующее движение или поток). Представим поток зарядов вектором, определяющим количество заря­ дов, которое проходит за единицу времени через единич­ ную площадку, перпендикулярную потоку, и назовем этот

вектор плотностью тока j. Этот вектор направлен вдоль движения зарядов. Электрический ток I представляет собой полный заряд, проходящий в единицу времени через поверхность 5. Он равен интегралу от нормальной состав­

s

Ток I из замкнутого объема V равен, очевидно, скоро­ сти, с которой заряды покидают этот объем. Из основного закона сохранения энергии (а электрический заряд пред­ ставляет собой один из ее видов) следует, что если через замкнутую поверхность течет электрический ток, то коли­ чество заряда должно уменьшаться. Поэтому закон сохра­ нения заряда может быть записан в следующем виде:

s

12

где Q — полный заряд в объеме V. Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плотности заряда

Используя соотношения (1-8) и (1-9) и применяя теорему Гаусса —Остроградского, находим

Рис. 1-1. К определению полного тока /

1-4. Магнитная сила

Определим силу, действующую на находящуюся в маг­ нитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, движущихся по проволоке со ско­

ростью V. На каждый заряд q действует поперечная сила

F = q C X B (см. рис. 1-2).

Если в единичном объеме таких зарядов N, то их число

в малом объеме проволоки A V равно NAV . Магнитная

>

сила F, действующая на объем ДУ, равна сумме сил, дей­ ствующих на отдельные заряды

AV~F= (NAV) (qCXB).

Произведение NqC, очевидно, равно плотности тока /, так что

AVF=^jXBAV.

13

Сила, действующая на единицу объема, равна

Магнитная сила является объемной силой, действие кото­ рой, как и гравитационной силы, распределено по всему объему.

1-5. Уравнения электродинамики Максвелла

Вся классическая электродинамика (без учета реляти­ вистских явлений) содержится в уравнениях Максвелла:

с помощью модели, в которой вакуум рассматривался как некое упругое тело. Несмотря на то, что в настоящее вре­ мя модель вакуума Максвелла устарела и не может быть принята, уравнения Максвелла остаются .справедливыми, так как они подтверждены огромным количеством экспе­ риментов. Эти уравнения позволяют свести воедино зако­ ны электричества и магнетизма.

14

Рассмотрим сначала последнее уравнение (1-15): дивер­ генция Е равна плотности заряда, деленной на &о. Э то уравнение представляет собой общий закон электростати­ ческого поля —закон Гаусса, справедливый как в динами­ ческих, так и статических полях. Чтобы показать, что уравнение (1-15) Максвелла представляет собой уравнения Гаусса в дифференциальной форме, проинтегрируем левую и правую части уравнения (1-15) по объему

J div s0 Е dv = J рэ dv.

V V

Воспользуемся формулой Остроградского —Гаусса и выра­ зим объемный интеграл в левой части уравнения через поверхностный интеграл, т. е.

| div г0Е dv = е0 j Е ■п dS.

Выражение в правой части равно полному заряду Q, заклю­ ченному в данном объеме. Следовательно, уравнение Макс­ велла (1-15) в интегральной форме представляет собой закон Гаусса, гласящий: результирующий поток, электриче­

Третье уравнение Максвелла (уравнение (1-14)) озна­ чает, что в природе не бывает магнитных зарядов, из кото­

рых могли бы исходить линии В. Линии векторного поля

В нигде не начинаются и нигде не оканчиваются. Магнит­ ные поля появляются в присутствии токов и образуют замкнутые линии вокруг токов.

Второе уравнение Максвелла (уравнение (1-13)) в пра-

»■>

вой части содержит два члена: плотность тока / и частную

производную от электрического поля по времени ——- .

Рассмотрим первоначально стационарные условия, т. е.

15

—0. В этом случае уравнение Максвелла представляет

dt

собой закон Ампера для магнитостатики. Покажем это.

Применим теорему Стокса, согласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормальной компонен­ ты ротора этого вектора. Используя эту теорему для век­

тора напряженности магнитного поля Н, получаем

ф Н d I = [ rot Н п dS, s

подставляя rotH из уравнения Максвелла, имеем

лить чему равно магнитное поле В вокруг длинного прямо­

16

Уравнение (1-18) удобно использовать для определения единицы тока: 1 ампер —это ток, создающий на расстоя-

о т-7 вебеР

нии в 1 м магнитное поле, равное 2-10 ' ----— ■

м2

Максвелл, анализируя закон Ампера, выраженный в форме

обратил внимание на следующее обстоятельство. Если взять дивергенцию от правой и левой части этого уравне­

ния, то левая сторона тождественно обратится в нуль, так как дивергенция от ротора всегда равна нулю.

Но это одновременно означает, что div/ также тожде­ ственно равна нулю и полный ток I через любую замкну­ тую поверхность тоже равен нулю. Однако последнее утверждение не может быть справедливо всегда, так как известно, что полный ток через поверхность равен умень­ шению заряда, заключенному внутри этой поверхности. Из уравнения (1-10) видно, что

Тождественное .равенство div/ нулю противоречило бы закону сохранения электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-либо заряда.

Чтобы ликвидировать указанное .противоречие, Макс­ велл добавил в правую часть уравнения (1-19) новый член

б-.;бг:а-\ о у с . С/

f I X - X T i n f Р

Си.

во ■——. Тогда он получил уравнение (1-13). Необходимость dt

добавочного члена в правой части уравнения легко пока­ зать, если взять дивергенцию от обеих частей уравнения

(1-13)

Подставляя это уравнение в последнее соотношение, полу­ чаем закон сохранения заряда (уравнение (1-10)), который всегда справедлив.

Согласно уравнению Максвелла (1-13) линейный инте­ грал напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равен электрическому току, охватываемому этим контуром. Плотность тока в правой части уравнения (1-13) равна

д Е

Y — 7 + е0 dt

т. е. под величиной /' следует понимать сумму токов про­ водимости и конвективного переноса, вызванных свобод­ ным движением заряженных частиц в проводнике (иони­ зированном газе) и плотности тока смещения, возникаю­ щего в переменном электрическом поле. При переменном электрическом поле ток смещения существует в частично ионизированном газе, но кроме того смещение возникает и в пустоте.

Эта идея, впервые высказанная Максвеллом, привела к созданию единой теории электромагнитного поля. Дейст­ вительно, согласно уравнениям Максвелла, всякое измене­ ние электрического поля даже в пустоте должно приво­ дить к появлению в этом же пространстве связанного с электрическим полем магнитного поля: образуется единое электромагнитное поле.

Рассмотрим первое уравнение Максвелла (1-12). Про­ интегрируем уравнение (1-12) по поверхности 5

18

рая согласно уравнению (1-4) равна разности электриче­

гласящий: электродвижущая сила U, индуцируемая в задан­ ном объеме, равна изменению магнитного потока через поверхность, ограничивающую этот объем.

1-6. Проводимость ионизированного газа и закон Ома

Выше мы рассматривали действие электромагнитных сил на заряженные частицы. Для того, чтобы результаты электромагнитной теории можно было использовать в магнитной гидрогазодинамике, необходимо применить урав­ нения Максвелла к проводящей среде, рассматриваемой в качестве непрерывной среды.

Широко известно, что металлы обладают достаточно хорошо изученным свойством — электропроводностью или, как принято называть, проводимостью. Проводимость ме­ таллов определяется наличием в них свободных электро­ нов, являющихся носителями тока. Газы при низких темпе­ ратурах практически не проводят тока. Однако при нагре­ ве (свыше 10'° К) нейтральные'молекулы газа распадаются

Существуют другие способы ионизации газа при помо­ щи сильных электрических полей, радиоактивного, рентге­ новского излучений и т. д.

Для определения электропроводности газа рассмотрим элементарный объем ДУ, содержащий положительно и отрицательно заряженные частицы, которые могут быть свободными и связанными (рис. 1-4).

jxA V = 2qu .

20

в целом, очевидно, должна находиться суммированием сил, действующих на отдельные заряженные частицы, т. е.

В уравнении (1-24) величины напряженности .электриче­

ского поля Е и магнитного поля В являются локальными сглаженными величинами, осредненными в окрестности заданной точки.

Рассмотрим движение заряженных частиц в проводнике. Пусть заряды обладают пренебрежимо малой инерцией.

По проводнику под действием полей Е и В дрейфуют свободные электроны, на которые действует сила Лоренца, равная (1-5)

q(E + CXB).

Эта сила уравновешивается силой сопротивления, возни­ кающей в результате столкновения с нейтральными моле­

кулами и пропорциональной скорости заряда С. Пренебре­ гая инерцией заряда, находим

q{E + CXB)=aC,

где а —постоянная для каждой частицы.

Суммируя по всем свободным зарядам в элементе про­

21