книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

Вектор поверхностного напряжения складывается из двух составляющих: силы давления и напряжения вдоль магнитных линий —натяжения магнитных линий. Направ­ ление каждой силы видно из рис. 3-5. Таким образом, маг­

нитное давление Р,г= л //2 . Кроме силы магнитного дав­

ления на проводник в магнитном поле действуют растяги-

Рпс. 3-5. Вектор повсрхно стпого натяжения

вающие напряжения вдоль магнитных силовых линии рНпН. Если полная магнитная сила равна нулю (например •

/ и В параллельны), то сила давления должна уравнове­ шиваться составляющей натяжения магнитных линий на нормаль.

ixH2

Итак, мы установили, что величина ----- представляет

собой магнитное давление. Магнитное поле будет заметно влиять на течение, если Re„>l . Если R,, <<(1, то влиянием магнитного поля на течение можно пренебречь и имеем обычный случай газодинамического течения. Число маг­ нитного давления тесно связано с другим критерием — критерием Альрена.

Ро«о

62

Ф о J s

Следовательно, критерий Маха является мерой отношения реально возникающих изменений давления к модулю сжа­ тия и определяет порядок величины относительных объем­ ных деформаций.

Существует еще один аспект критерия Маха. Для иде­ ального газа статическое давление определяется как вели­

чина пропорциональная роСо2, где Со2 — средняя квадра­ тичная скорость молекул. Изменения давления в газе в свою очередь выражаются через квадрат скорости течения, умноженный на плотность роСо2. Следовательно, критерий сжимаемости приводится к виду

Так как кинетическая энергия роСо2 представляет в некотором масштабе изменение энтальпии движущегося газа, то критерий Маха представляет собой меру отноше­ ния энергии упорядоченного движения газа к энергии теплового движения молекул.

Отношения скорости течения к скорости распростра­ нения звука широко применяется не только в качестве критерия подобия, когда используются величины, заданные граничными условиями, но и в качестве безразмерной пере­

и сверхзвуковые течения реагируют на внешние воздей­ ствия одного знака диаметрально противоположным обра­ зом. Обратно, для непрерывного перехода из дозвуковой области течения в сверхзвуковую необходимо изменить знак внешнего воздействия. Этот закон, называемый зако­

63

ном обращения воздействий, впервые был сформулирован советским ученым Л. А. Вулисом. Подробнее закон обраще­ ния воздействии будет рассмотрен в гл. 4.

5. Критерий Алъфена характеризует деформацию ма нитных линий при взаимодействии движущихся провод­

ников с магнитным полем.

А1 =

Сн

волны Альфена.

Рассмотрим стационарное движение газа, параллельное магнитному полю (рис. 3-6). Воспользуемся уравнением Эйлера для этого

случая

ди _ - ± ^ + х м,

Рох

р .

где Хи— ——’ а Аз, —проекция магнитной силы F на ось х

Р

(единичная).

В этом уравнении пренебрегаем вязкостными силами. В общем случае из второго уравнения Максвелла

6*

Тогда имеем

Трудна

тока

Рис. 3-7. К выводу скорости волны Альфена

Рассмотрим движение плазмы в постоянном магнитном

Следовательно, напряженность магнитного поля зависит от плотности. Тогда

возмущений в электромагнитном поле равна скорости рас­ пространения возмущений в газе.

Если ро велико и р мало, то несмотря на большую вели­

бой меру отношения инерционных сил к силам магнитной вязкости

Re„ = C,L0 С0ЦойННо,

где vW|) = ------------- магнитная вязкость. GoPo^O

Магнитное число Рейнольдса определяет меру влияния движения газа на магнитное поле. Его можно рассматри­ вать как отношение линейного размера поля течения L к характерной длине L„, где

L , =

С0

66

либо как отношение скорости течения Со к характерной скорости Vo, где

Уо = -----!---- = — •

Длину Ь п можно рассматривать как характерную длину, на которую в проводящей жидкости распространяется маг­

с которой магнитное поле распространяется в проводящей жидкости. Если С )§> У0, т. е. Re0 )$> 1, то магнитное поле должно следовать за движением жидкости (вмороженное

Роль магнитного числа Рейнольдса становится более понятной из анализа диффузионного и конвективного движения вязкой жидкости вокруг нагретого цилиндра

(рис. 3-8).

Если движение медленное или коэффициент темпера­ туропроводности а велик (Ре<^1), то преобладает тепло­ проводность над конвективным переносом тепла и можно считать, что движение не оказывает влияния на темпера­

(Ре)§>1), то тепло в основном передается вблизи стенки в пределах пограничного слоя. Движение жидкости оказы­ вает большое влияние на температурное поле.

Аналогичная ситуация имеет место при анализе гидро­ динамического числа Рейнольдса. Когда число Re велико, эффект вязкости концентрируется в пограничном слое.

В магнитной газовой динамике при малых магнитных числах Рейнольдса (Rea<C 1) диффузия магнитного поля преобладает над конвекцией, и движение жидкости почти

не оказывает влияния на приложенное магнитное поле В0. Магнитное поле имеет практически такой же вид, который она имела бы в неподвижной жидкости, где нет индуциро­ ванных токов.

Физический смысл магнитного числа Рейнольдса стано­ вится ясным, если вспомнить, что при течении проводя­ щего газа в электромагнитном поле возникает индуциро­ ванное магнитное поле, равное аСВоЬ. Следовательно, маг­ нитное число Рейнольдса является мерой отношения инду­ цированного магнитного поля gCBqL к внешнему В0.

При малых ,числах Rea мы полностью игнорируем индуцированное магнитное поле и заменяем истинное значение В известным внешним полем Во. При больших числа Rea индуцированным магнитным полем пренебречь нельзя. В предельном случае, согласно закону Ома, имеет место соотношение идеально проводящей плазмы (а -*■ =°)

ряд новых критериев. Укажем еще на два критерия, поскольку они встречаются в магнитной гидрогазодина­

мике.

7. Число Гартмана На (учитывает влияние вязкостных сил или сил трения).

8. Магнитный параметр RM= V RnRee —отношение маг­ нитной силы к инерционной.

3-7. Частные случаи основной системы магнитной газодинамики

Из теории подобия хорошо известно, что критерии подобия обладают различной степенью влияния на разви­ тие данного процесса в зависимости от рассматриваемых конкретных условий. В некоторых случаях критерий подо­

68

бия чрезвычайно слабо влияет на процесс. В этих случаях критерий принято называть вырожденным. Однако надо иметь в виду, что критерий, который в некоторых условиях оказался вырожденным, в других условиях может оказы­ вать решающее влияние на процесс.

В случае вырожденных критериев основная система уравнений может быть упрощена. Рассмотрим некоторые важные случаи.

1. Магнитное число Рейнольдса мало. В этом случае

—>

магнитное поле В не зависит от движения жидкости и

можно считать, что в каждой точке потока В величина известная, заданная внешними условиями. Уравнения Макс­ велла не принимаются во внимание. Здесь имеет место газодинамическая система уравнений, которую нужно

решать относительно Р, р, С и Т. Гравитационной силой для простоты пренебрежем.

Основная система будет иметь вид

7 = о (Е + С X В).

Индуцированным магнитным полем можно пренебречь, так что В = Во. Этот случай имеет место, когда Во велико,

апроводимость газа мала.

2.Случай бесконечной электропроводности п -э- оо

(идеальная плазма). Будем считать плазму нетеплопровод­ ной и невязкой. Тогда магнитное число Рейнольдса равно

оо(так же, как и обычное число Рейнольдса). Джоулево

69

функция Рэлея Ф также равна 0. В этом случае система уравнений (3-27) принимает вид

малых величин Rn магнитное поле и газодинамические величины практически не зависят друг от друга. Система

Р = RpT.

Из уравнений Максвелла для этого случая имеет смысл только уравнение

= у х (с х я ) - v x w v х н)\,

dt

где vH—магнитная вязкость.

Оно решается после решения системы (3-37).

70