книги из ГПНТБ / Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие

не. Результаты расчета для случая канала постоянного сечения представлены на рис. 4-13. Расчет был выполнен

генератор равно 0,1 атм.

На рис. 4-13 представлены зависимости внутреннего относительного к. п. д. r|0i и коэффициента полезного пре-

Рпс. 4-13. Дозвуковые рабочие характеристики МГДпреобразователя с каналом постоянного сечения, но проводимостью, изменяющейся по длине канала

образования энергии T)lY о т т)э Д л я различных относитель­ ных длин генератора

m

На графике пунктиром для сравнения даны аналогич­ ные характеристики для постоянной проводимости. Для М= 0,3 скорость газа возрастает вдоль длины канала гене­ ратора, при этом его температура падает. Уменьшение тем­

102

пературы плазмы является причиной уменьшения местной проводимости плазмы вдоль канала и ухудшения рабочих характеристик генератора. Так же как в случае постоянной проводимости к. п. д. преобразования Г|* ограничен усло­ вием запирания (кривая 1). Величина т]а, при которой т]*

0 1 Z 3 8 5 6 7 8 3

Безразмерная длина канала

Рис. 4-14. Зависимость плотности мощности от безразмерной длины канала о

достигает максимума, больше для переменной а, чем для случая а= const.

Для канала постоянного сечения средняя плотность мощности N может быть определена в соответствии с

или заменяя расход т через безразмерную длину б

B q GO III

получаем

На рис. 4-14 показана зависимость средней плотности мощности от безразмерной длины канала 6. Видно, что

103

для кривой с постоянной проводимостью а = const макси­ мальная плотность мощности выбрана для максимальной величины г|Л' для каждой б из кривых рис. 4-13. Для случая переменной проводимости характеристики существенно ухудшаются.

Следует особенно остановиться на анализе зависимости плотности мощности от входного числа М. Для малых температур торможения (7о~2000°К) с ростом Мо резко падает статическая температура потока и уменьшение про­ водимости оказывается настолько большой, что для около­ звуковой и сверхзвуковой областей течения плазмы вели­

чины N близки к нулю. Максимальная величина N имеет место для Т0 = 2000оК при М= 0,4 (рис. 4-15). Возрастание

Рис. 4-15. Максимальная плотность мощно­ сти при 7'о=2000°К

удельной мощности до точки максимума объясняется тем, что к. п. д. преобразования цлувеличивается быстрее, чем уменьшается По-

Однако, если входное число М будет возрастать и далее, то удельная мощность достигнет максимума и начнет

104

Сравнение расчетных кривых для постоянной и пере­ менной проводимости показывает, что максимальная плот­ ность мощ ности при с г = const на 404-50 % превыш ает соот­ ветствующую величину для переменной проводимости.

Оптимальное входное число М возрастает с увеличе­ нием начальной температуры То. На рис. 4-16 показаны зависимости плотности мощности для постоянной и пере­ менной проводимости при То= 5000°К. Видно, во-первых, что резко вырос уровень удельной мощности из-за увели­

Во-вторых, оптимальное число Мо, при котором достигается

максимальная величина N, возрастает. При Го= 5000°К МОПт= 0,9. При сверхзвуковых режимах (Мо<11,5) еще имеет место достаточно высокий уровень мощности.

О 0,5 1,0 /,5 2,0 2,5 3,0

Рис. 4-16. Максимальная плотность мощности при Го=5000°К

В-третьих, сравнение расчетных кривых с постоянной и переменной проводимостями показывает, что при высоких температурах допущение о постоянстве проводимости не вносит серьезной ошибки в характеристики преобразо­ вателя.

На основании проведенного анализа можно сделать вы­ вод, что для представляющей интерес области температур Го= 20004-5000° К оптимальный МГД-генератор должен быть дозвуковым. Расчет такого преобразователя в первом приближении можно выполнять по уравнениям (4-304-4-34) для постоянной проводимости, причем с ростом темпера­

105

туры торможения на входе в преобразователь неточность расчетных характеристик будет уменьшаться.

4-6. Частные случаи движения газа

вэлектромагнитном поле

1.Движение вязкого газа в магнитном поле

Если отсутствует внешнее электрическое поле (£ = 0), то полная энтальпия газа сохраняется постоянной вдоль

Так как to=const, то можно использовать уравнение энер­ гии в форме

106

Анализ уравнения (4-38)

На основании уравнения (4-38) можно определить, если известно F(x) и принять £ = const.

Два последних члена отрицательны. Следовательно, влияние магнитного поля при Е — 0 качественно такое же, как и влияние сил трения.

(4-38) имеет вид

107

Умножим все члены на 2D/X2

где .v =

О ’

так как X

где

Х{ Х ) = ± - \ п Х * - ,

?Ч —скорость на входе в канал.

Уравнение (4-40) дает возможность рассчитать распре­ деление скоростей вдоль канала постоянного течения в магнитном поле.

Итак, на поток в канале постоянного сечения действу­ ют силы трения и магнитное поле, причем магнитное поле воздействует на поток так же, как и силы трения.

В дозвуковом потоке (Х<1, X2—1<0) ---- >0, т. е. dx

внешнее магнитное поле в канале МГД (г|>1) ускоряет дозвуковое течение.

В сверхзвуковом потоке (А>1, X2—1>0) и ■----<0, т. е. dx

сверхзвуковой поток тормозится под действием магнитной силы и трения.

2. МГД-генератор с постоянным числом М

Рассмотрим МГД-преобразователь, состоящий из каме­ ры сгорания, сопла для ускорения газа и канала для гене­ рирования электрической энергии. Для исключения эффек­ та Холла электроды выполнены секционированными, т. е. каждая пара противоположных электродов имеет собствен­ ную нагрузку.

108

Исследуем оптимальные условия работы МГД-генера- тора, т. е. такие условия, при которых в заданном объеме генерируется максимальная мощность. Если рассматривать канал постоянной ширины, то это равносильно генерации максимальной мощности на заданной длине канала. Опти­ мальные условия, очевидно, можно сформулировать и другим образом: генератор называется оптимальным, если заданная мощность генерируется в минимальном объеме (а при постоянной ширине канала на минимальной его длине).

Оптимальным условиям соответствуют минимальные потери, так как больший объем канала требует больших затрат на магниты для создания магнитного поля. Тепло­ отвод от стенок МГД-канала тем больше, чем больше сум­ марная поверхность его стенок, окружающих данный объем. Кроме того, в оптимальном канале гидродинамиче­ ские потери в пограничном слое будут минимальны.

Задача об оптимальном МГД-генераторе может быть решена двумя путями: точным вариационным методом и приближенным.

В вариационном методе мощность, снимаемая с данного

дится максимальное значение функционала методом мно­ жителей Лагранжа. Экстремум ищется как по числу М, так и по параметру нагрузки. Вариационная задача в настоящее время разрабатывается и не может считаться законченной.

В приближенном анализе также находится закон изме­ нения числа М по длине канала, при котором на заданной длине генератора снимается максимальная электрическая мощность. Такой закон называется оптимальным, а соот­ ветствующее число М оптимальным.

Анализ проводится при следующих основных допу­ щениях:

1. Показатель адиабаты у по длине канала меняется незначительно, т. е. у const.

2.Квазиодномерное приближение магнитной газовой динамики считаем справедливым даже при сравнительно больших изменениях площади F/F\.

3.Принимаем степенной закон для проводимости а (ниже будет показано, что результаты существенно изме­

109

нятся, если проводимость а определять по уравнению Чэпмена —Каулинга).

Оптимальное число М не зависит от нагрузки генера­ тора, т. е. принимаем постоянным.

Оптимизацию можно проводить по дифференциалу электрической мощности dN0, генерируемой на элементар­ ной длине канала dx. В этом случае мы найдем оптималь­ ные условия в каждой точке канала.

Запишем электрическую мощность dN3 как

dN3 — ап2В2г) э (1 —цэ) Fdx,

или электрическая мощность, генерируемая в единице дли­ ны в любой точке канала равна

Используя местные параметры торможения, выразим пра­ вую часть уравнения (4-41) через число М. Из газодина­ мики известно, что

Т2

Электропроводимость термически ионизированного газа является функцией температуры и давления. В рассматри­ ваемой задаче удобно использовать простое приближение для проводимости в виде степенного закона

a = ( S T ) vp :,

где 5 —безразмерная постоянная.

У— 1d(\na)/d(\nT) )

z = ( d(lncr)/d(lnp)

Экспериментальные значения для аргона у, z и S пока­ заны в таблице.

Из приведенной таблицы видно, что показатели г, у в

(4-43)

j- = ( £ r ( t ) " = ( £ r

110

Найдем оптимальное число М, при котором правая часть уравнения имеет максимум. Для этого проведем логариф­ мическое дифференцирование уравнения (4-45), в резуль­ тате которого находим

а определяется, главным образом, физическими свойствами газа. Для постоянного заданного показателя адиабаты у число М0пт, очевидно, остается постоянным. Следовательно, канал генератора можно считать оптимальным, если в каж­ дой его точке выдерживать постоянное число М, опреде­ ляемое в соответствии с уравнением (4-46).

На рис. 4-17 представлена зависимость оптимального числа от показателя адиабаты у для типичных значений

111