книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й

260общие касательные плоскости. Линия пере­ сечения поверхностей распадается на две кривые второго порядка, которые проходят через точки прикосновения 1 Г и 22 и через точки пересечения образующих их фрон­ тальной плоскости симметрии.

На рис. 373 показан пример пересечения

поверхностей второго порядка. Здесь ци­ линдр вращения, ось которого перпендику­ лярна к профильной плоскости проекций, пересекается с конусом.

Заданные поверхности в их общих точ­ ках аа' и ЬѴ имеют общие касательные плос­ кости RAW и RBW , перпендикулярные к

профильной плоскости проекций. Линиями пересечения рассматриваемых поверхностей являются эллипсы, расположенные во фрон­ тально-проецирующих плоскостях My и Міу.

Теорема о двойном соприкосновении применяется и для решения задач на построе­ ние круговых сечений тех поверхностей вто­ рого порядка, которые их имеют. При этом пользуются сферой, имеющей двойное со­ прикосновение с данной поверхностью.

Например, чтобы определить круговые сечения эллиптического цилиндра, следует выбрать сферу с центром на оси цилиндра и соприкасающуюся с цилиндром (рис. 374).

Согласно теореме, линия пересечения ци­ линдра сферой распадается на пару плоских кривых, лежащих во фронтально-проеци­ рующих плоскостях My. Такими кривыми линиями являются окружности. Любая плос­ кость, параллельная плоскости My, пересе­ кает цилиндр по окружности.

На рис. 375 показан пример применения

теоремы о двойном прикосновении к опре­ делению круговых сечений конуса второго порядка с нормальным эллиптическим се­ чением.

Вспомогательную сферу выбираем с цент­ ром на оси конуса так, чтобы она соприкаса­ лась с конусом. Например, сфера с цент­ ром оо' касается конуса в двух точках 11' и 22'. В этих точках у конуса и сферы имеются общие касательные плоскости Tw.

Г л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й

2 62 На рис. 376 пересекающиеся конусы опи­ саны около сферы. Они касаются сферы по окружностям с диаметрами 12 и 34. Здесь линиями пересечения двух конических по­ верхностей являются эллипс и парабола — кривые второго порядка, плоскости которых перпендикулярны к плоскости, определяемой осями конусов.

Теорема Монжа является частным случа­ ем теоремы о двойном соприкосновении. Ею обычно пользуются, когда имеется пересе­ чение поверхностей вращения второго по­ рядка, описанных около общей сферы или вписанных в сферу, например, при конструи­ ровании трубопроводов из листового ма­ териала.

Проекцией пространственной кривой ли­ нии пересечения двух цилиндров вращения с пересекающимися осями (рис. 377) на плос­ кость, параллельную плоскости симметрии поверхностей, является гипербола.

На рис. 378 методом вспомогательных сфер построена линия пересечения двух ко­ нусов вращения, оси которых пересекаются и параллельны фронтальной плоскости про­ екций.

Проекцией линии пересечения конусов на фронтальную плоскость проекций явля­ ется гипербола.

Пространственная кривая линия пересе­ чения поверхностей конуса и цилиндра вра-

Г л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й

2 64 около сферы. Лотки пересекаются по двум плоским кривым.

На рис. 382, а показан лотковый свод с четырьмя щеками. На рис. 382, б показан открытый лотковый свод.

Плоские кривые пересечения поверхно­ стей второго порядка применяются и при

конструировании поверхностей ледорезов. Такая поверхность может быть образована поверхностями трех конусов, попарно опи­ санных около одной и той же сферы.

На рис. 383 показаны различные примеры конструирования переходов труб с пересе­ кающимися осями.

Поверхности второго порядка очень час­ то задаются на чертеже их очерками. Боль­ шое значение имеет следующая теорема.

Доказательство этой теоремы простое. Проведем из некоторой точки вне по­

Представим, что выбранная точка явля- 2 6 5 ется вершиной конуса второго порядка, а ли­ ния сечения — направляющей линией этого конуса.

Замечаем, что у поверхности и у конуса имеются общие касательные плоскости.

Данная поверхность и конус имеют трой­ ное прикосновение.

Здесь проецирующий конус пересекается любой плоскостью по кривой второго по­ рядка и дает очерк поверхности на этой плоскости.

идр.

Пр я м у ю линию, проходящую через точ­ ку касания и перпендикулярную к касатель­ ной плоскости, называют нормалью поверх­

ности в данной точке. Нормаль поверхности в данной точке определяет, следовательно, направление плоскости, касательной к по­ верхности в этой точке.

Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну общую точку. В этом случае все линии поверхности, пересекаю­ щиеся в рассматриваемой точке, находятся по одну сторону касательной плоскости. Такие точки поверхности называют эллип­

тическими.

Поверхности, у которых все точки эллип­ тические, являются выпуклыми криволиней­ ными поверхностями. К ним относятся сфе­ ра, эллипсоид вращения, параболоид вра­ щения и др.

Касательная плоскость, как известно, ка­ сается торса вдоль его производящей пря­ мой линии. Она является, следовательно, касательной плоскостью этой поверхности для всех ее точек, расположенных на произ­ водящей прямой линии. Точки поверхности, удовлетворяющие этому условию, называют параболическими. Параболическими, напри­ мер, являются точки на цилиндрах, конусах и поверхностях с ребром возврата.

Касательная плоскость к поверхности в данной ее точке может пересекать эту по­ верхность. В пересечении получаются: или две пересекающиеся в данной точке кривые линии, или две пересекающиеся прямые ли­

нии, или пересекающиеся в данной точке 267 прямая и кривая линии.

Две пересекающиеся прямые линии полу­ чаются в том случае, когда поверхность ли­ нейчатая и имеет две производящие прямые линии, например, однополостный гипербо­ лоид вращения.

Пересекающиеся прямая и кривая линии получаются в случае линейчатой неразвертывающейся поверхности, имеющей одну про­ изводящую прямую линию. К таким по­ верхностям относятся все геликоиды, кроме торса-геликоида.

Касательные плоскости неразвертывающейся линейчатой поверхности (однополост­ ный гиперболоид вращения, геликоид и др.), в отличие от торса, в различных точках про­ изводящей линии имеют различные направ­ ления.

Точку поверхности, касательная плос­ кость в которой пересекает поверхность, называют гиперболической. Каждый отсек поверхности, все точки которой являются гиперболическими, имеет седлообразную форму.

Прямые линии, касательные к кривым линиям пересечения поверхности касатель­ ной плоскостью, называют главными каса­ тельными поверхностями в данной точке.

Касательную плоскость к заданной по­ верхности можно построить в соответствии с видом поверхности, если она: касается по­ верхности в данной ее точке; проходит через данную точку, лежащую вне поверхности; параллельна заданной прямой линии; имеет заданное направление; проходит через дан­ ную прямую линию.

Рассмотрим построение касательных пло­ скостей к торсам — поверхностям с парабо­ лическими точками. Касательные плоскости касаются этих поверхностей вдоль их обра­ зующих.

Как указывалось выше, касательную плоскость к поверхности в заданной ее точке определяют двумя прямыми, касательными

к двум пересекающимся в этой точке кривым линиям поверхности. Поэтому касательную плоскость в заданной точке поверхности с параболическими точками можно опреде­ лить двумя пересекающимися прямыми, из которых одна является образующей, про­ ходящей через заданную точку, а другая прямая может быть касательной к любой