книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

ра. Можно привести еще много примеров, в частности пробле­ му магнетизма, где задачи без малого параметра ждут -своего решения. Имеющиеся работы в этом направлении связаны либо с довольно грубыми модельными представлениями, либо с произвольной интерполяцией результатов, полученных в пре­ дельных случаях. Как правило, такая интерполяция бездоказа­ тельна.

В качестве примера можно привести упоминавшуюся в пре­ дыдущей главе работу Вигнера, предложившего довольно произ­

Внастоящей главе рассмотрим попытку оценки энергии си­ стемы многих частиц, когда задача не содержит малого пара­ метра. Сравнительно недавно Лёвдин предложил метод систе­ матических оценок энергетических уровней сверху и снизу, правда, не для макроскопически больших систем [3]. Им же была продемонстрирована эффективность этого метода в теории атомов и молекул. Так, для атома гелия метод приводит к оценке энергии основного состояния сверху и снизу со спектро­ скопической точностью. Прямое распространение этого метода па системы многих частиц (макроскопически большие систе­ мы), как показано ниже, невозможно. Однако сама идея стро­ гих оценок физических величин сверху и снизу, по-видимому, плодотворна.

Внастоящее время не существует даже последовательных вариационных оценок сверху для макроскопически больших си­ стем. Поэтому весьма актуальна разработка метода оценки ма­ кроскопических величин с заданной точностью в проблеме мно­ гих тел без малого параметра.

Внастоящей главе мы попытаемся предложить достаточно общий подход к решению такой задачи и проиллюстрируем этот

подход на примере вычисления энергии основного состояния си­ стемы электронов, которую можно рассматривать как на фоне компенсирующего положительного заряда, так и в периодиче­ ском внешнем поле. При этом не будем делать ограничений на плотность системы. Электронную жидкость по-прежнему будем считать нормальной. Электрон-фононное взаимодействие при этом не будем рассматривать, так что эффекты, связанные с парными корреляциями в проблеме сверхпроводимости, не бу­ дем затрагивать.

Предлагаемый подход может быть использован в широком классе задач без малого параметра в проблеме многих тел. Это касается задач как с дальнодействующим, так и с короткодей­ ствующим взаимодействием. Предлагаемый подход допускает обобщение на конечные температуры, что особенно интересно при исследовании фазовых переходов, а также уравнения со­ стояния плотной плазмы.

280

§27. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК ДЛЯ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

ВЗАДАЧАХ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ. ТРУДНОСТИ ОБОБЩЕНИЯ НА СЛУЧАЙ N->-oo

Верхние оценки для энергии основного состояния атома или молекулы получают обычно вариационными методами. Удобен и хорошо известен вариационный метод Релея — Ритца. Пусть Ео, Еи Е2, ... — собственные значения стационарного уравнения Шредингера

дает верхнюю границу для Еа в случае произвольных волновых функций Ф. Эта же величина является верхней границей для Еи если ортогональны (Л и Ч'о и т. д. Для наших целей, однако,

удобнее ввести несколько другой математический язык.

/Ч

оператор О проектирует гильбертово пространство данной си-

281

Действительно, согласно вариационному принципу

fli — < ui I А | U l> ^ < u, | A | « ! > —

= < « i 1 О х Л О | u x > = < « ! | Л - 1 ых > = аг.

При этом использованы соотношения (27.6). Рассмотрим вспо­ могательную функцию ф= гг 1р1+ Й2Р2, удовлетворяющую усло­ виям

что и доказывает сделанное выше утверждение.

282

всех возможных ср. Тогда верно и неравенство для собствен­

то

А ',г = 2k а,‘к,г | ик> < и к |.

Неравенства (27.8) вытекают из положительной определенно-

-— ч

сти проекционного оператора О. Действительно,

< Ф | О | ф > = < 0 | О2 | ф > = < ф | 0+0 | ф > = < 0 ф | 0 ф > > 0.

Аналогичное рассмотрение матричных элементов от опера-

что и доказывает утверждение (27.8).

Это свойство внутренней проекции оператора находит при­ менение в методе промежуточных гамильтонианов. Если

приводит к соответствующему расположению собственных зна­ чений:

что обеспечивает систему нижних оценок, сходящихся к точно­ му значению Eh. Соответственно при построении внешних про­

283

екций для гамильтониана Н получаем верхние оценки для энер­

гии Eh.

Если представить гамильтониан системы в виде

н = н 0 + и,

где U> 0 (положительно определенный оператор взаимодейст­ вия), то в качестве промежуточных гамильтонианов можно вы­ брать операторы вида

энергетических уровней гелиеподобных ионов. При этом вычис­

дит к значению энергии, отличающемуся от точного менее чем

—7,279910 ат. ед. для нижней оценки полной энергии. Можно, по-видимому, утверждать, что в случае систем с конечным (не­ большим) числом частиц метод построения внешних и внут­

Этот оператор проектирует гильбертово пространство векторов состояний системы на подпространство Ш1, натянутое на базис­ ные векторы {|фг>}) причем <фг |фк> = 6г,„. Система функций {|ф,->}, вообще говоря, неполна. Добавляя к ней новые конфи­ гурации |фк> , будем получать все более полные системы. Та­ ким путем и получается последовательность проекционных

операторов 0 <">, которая стремится к единичному оператору, когда система приближается к полной.

284

Удобно говорить о полноте системы {I Фг>} по отношению к некоторому вектору состояний |Ч/ > (это может быть, напри-

мер, основное состояние, описываемое гамильтонианом Н). Тогда степень полноты системы по отношению к |ЧТ> можно характеризовать параметром

видно, что собственное значение промежуточного гамильтониа­

Мы не умеем точно вычислять параметр у эд.

Простая порядковая оценка показывает трудности, возни­ кающие при попытке использовать метод внешней и внутренней

проекций (Я и Н) в случае систем с большим числом частиц Nv

N -*■ оо, У^ - оо , п = N/V = const.

Чтобы уравнение Шредингера с промежуточным гамильтониа­

ном Жп) можно было решить точно,- собственные функции это­ го гамильтониана должны иметь достаточно простую структу­ ру. Это может быть суперпозиция некоторого исходного одиочастичного состояния (например, волновой функции в прибли­ жении Хартри — Фока) и состояний, отличающихся от исходно­ го возбуждением нескольких пар частиц. Примером такой про­ стой функции может служить функция вида

q , Р . р2

Волновая функция |ЧГ> записана здесь в импульсном пред­ ставлении; |Оп> — волновая функция системы в приближении

ные возбужденные состояния над системой одночастичных со­ стояний, описываемых волновой функцией |Оп> .

285

Чрезвычайно важно, что скалярное произведение < 0 11|Чго> в случае макроскопически, больших систем оказывается экспо­

Поэтому введенный выше параметр у®г близок к единице. Ины­

ми словами, подпространство (27.15) практически пусто. Это легко попять, если учесть, что функция (27.14) соответствует возбуждению всего лишь двух пар па всю бесконечную систе­ му. Поэтому функции типа (27.14) не имеют ничего общего с истинной функцией основного состояния для достаточно про­ тяженной системы.

По этой причине среднее значение гамильтониана системы по состоянию (27.14) в пределе N—^oo равно энергии Хартри — Фока и не зависит от конкретного вида cDq (рь Рг). Эта функция

•определяет лишь вклад в < lF |# |xF > , не зависящий от числа

•частиц N. Нас же интересуют аддитивные свойства системы.

§ 28. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ПОЛЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ЯЧЕИСТОГО БАЗИСА

Обсудим построение верхних и нижних оценок для энергии системы на примере электронного газа. Эта конкретная задача не умаляет общности рассуждений для системы многих частиц с положительно определенным оператором взаимодействия.

Рассмотрим метод построения систематических оценок свер­ ху и снизу для энергии основного состояния электронного газа в периодическом внешнем поле. Гамильтониан такой системы

тде Mi — масса; pi — импульс i-й частицы; U(г,)— потенциаль­

2 8 6

лемие позволяет определить энергию системы при любых зна­ чениях плотности частиц. Обобщение на случай конечных тем­ ператур позволило бы получить уравнение состояния систем с кулоновским взаимодействием без ограничений плотности.

Здесь следует сделать оговорку, что изложенные в предыду­

/ч

вкачестве V выступает оператор взаимодействия. Действи­

тельно, тогда указанное ограничение исключает рассмотрение систем с силами притяжения н не позволяет рассматривать связанные состояния системы. Поэтому было бы очень жела­ тельно доказательство аналогичных теорем для отрицательно определенных операторов. Это позволило бы существенно рас­ ширить класс задач, которые можно было бы рассматривать предлагаемым методом.

Однако оператор V не обязательно является оператором взаимодействия. В общем случае это лишь часть полного га­

мильтониана и никто не запрещает разбивать Н на Я0 и U произвольным способом. Поэтому часто оказывается возмож­ ным путем вычитания и добавления одинаковых членов в га­

мильтониан выделить в качестве U подходящий положительно -определенный оператор. В случае рассматриваемой задачи об электронном газе такого вопроса не возникает, так как опера­ тор взаимодействия для этой системы является положительно определенным. Как показано в § 27, для атома или иона, га­

ти трудности построения внешней и внутренней проекций в за­ даче мнргих тел, о которых говорилось в § 27. Упомянутые трудности связаны с тем, что число частиц системы N макро­ скопически велико. Этих трудностей можно избежать, если вы­ делить из системы некоторую ее часть, например некоторый

•объем Ко, содержащий конечное число частиц, и изучать этот объем с помощью методов, изложенных выше. Эта процедура допустима, если энергия взаимодействия выделенной области с остальной частью системы достаточно мала по сравнению с внутренней энергией выделенной подсистемы, и это «поверх­ ностное» взаимодействие можно учесть по теории возмущений.

Последнее означает, вообще говоря, что выделенная подси­ стема содержит достаточно много частиц. В то же время фор­ мальный аппарат для изучения этой выделенной области не

288

случае (промежуточные rs) размер ячейки определяется усло­ вием оптимизации, т. е. так, чтобы число частиц в ячейке было бы не очень большим (иначе возникают большие вычислитель­

в ячеистом базисе.

Построение ячеистого базиса. Разобьем большой ящик объ­ емом V, в который заключена система, на кубические ячейки объемом У0Положение каждой ячейки будем определять век­ тором RnУдобно выбирать ячейки так, чтобы каждая из них содержала в себе целое число периодов внешнего поля, т. е. чтобы выполнялось условие:

Здесь п определяет ячейку, внутри которой данная функция от­ лична от нуля, а значения к выбираются из условия периодич­

С учетом условия (28.7) система функций (28.6) ортонормиро-

Покажем, что система (28.6) полна в большом ящике. Пол­ нота системы функций по определению означает, что для лю­ бой функции /(г), определенной и непрерывной внутри п-й ячейки, ее ряд Фурье по функциям ф п.к (г ) сходится в сред­ нем к /(г):