книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

При этом условная нелинейная часть системы будет иметь характеристику

устойчивости в угле (0, /г] системы с неустойчивой линей­ ной частью свелась к задаче исследования абсолютной устойчивости в угле [0, k—йу] системы с устойчивой ли­ нейной частью (рис. 7-35,6).

В результате условие абсолютной устойчивости По­ пова нелинейной системы с неустойчивой линейной частью может быть сформулировано следующим об­ разом.

Для абсолютной устойчивости системы с нелинейноностью в угле [0, к] и неустойчивой линейной частью достаточно, чтобы в плоскости видоизмененной харак­ теристики ТУ*л.у(р) можно было провести прямую через точку действительной оси с абсциссой — ll(k —/гу), от­ носительно которой W*„,y(p) вся лежала бы справа.

д) Прямой метод Ляпунова

Известно, что равновесие любой системы будет устойчивым, если в точке равновесного состояния ее по­ тенциальная энергия имеет минимум. Вокруг равновес­ ного состояния системы в фазовом пространстве имеют­ ся эквипотенциальные поверхности. По мере удаления от начала координат энергетические уровни этих поверх­ ностей возрастают.

Следовательно, если при движении изображающей точки системы в фазовом пространстве она последова­ тельно перемещается с поверхностей высокого энергети­ ческого уровня к поверхностям более низкого уровня, то система при своем движении будет стремиться к устой­ чивому равновесному состоянию.

Это положение использовано Ляпуновым для сужде­ ния о некоторых достаточных условиях устойчивости системы.

Им предложено для исследования устойчивости си­ стемы использовать вспомогательные функции координат фазового пространства хі, х%*.., хп вида

Функция (7-71) называется У-функцией или функци­ ей Ляпунова.

350

Функция Ляпунова должна быть однозначной, непре­ рывной, -положительной и в начале координат обращать­

ся в нуль.

При некотором постоянном значении С ф 0 в фазовом пространстве функция Ляпунова представляет замкнуную поверхность, охватывающую точку равновесного со­

стояния системы.

При различных постоянных значениях С получим семейство вложенных друг в друга поверхностей, причем поверхности с меньшими значениями С вложены внутрь поверхностей с большими значениями С.

При уменьшении С поверхности стягиваются к нача­

лу координат.

При С— Н) поверхность сжимается в точку равновес­ ного состояния.

Рис. 7-36. Примеры геометрической интерпретации исследования устойчивости системы по прямому методу Ляпунова.

В качестве примера на рис. 7-36 показаны некоторые функции Ляпунова на фазовой плоскости.

Если при перемещении изображающей точки вдоль фазовой траектории из некоторого начального положе­ ния а точка перемещается последовательно от поверхно­ стей с большим значением С к поверхностям с меньши­ ми их значениями, т. е. при производной dVjdt< 0 , то система при своем движении будет стремиться к равно­ весному состоянию (см. рис. 7-35)'. Таким образом, если из любого начального положения фазового пространства изображающая точка, перемещаясь вдоль фазовой тра­ ектории, пронизывает поверхности семейства Ѵ-функций в направлении снаружи внутрь, обеспечивая тем самым условие dV/dt<.0, то это является достаточным условием устойчивости системы в «большом».

351

Оценка устойчивости с помощью фукций Ляпунова называется прямым методом Ляпунова или вторым ме­ тодом Ляпунова.

Условия устойчивости по прямому методу Ляпунова являются достаточными, но не необходимыми. Так, на рис. 7-36,6 представлена фазовая траектория устойчи­

метода Ляпунова не соблюдается в связи с тем, что на отдельных участках движения изображающей точки вдоль фазовой траектории кривые Ѵ-функций пронизы­ ваются изнутри наружу, т. е. на этих участках значения Ѵ-функций возрастают и dV/dt>0. В таких случаях не­ обходимо дополнительно исследовать систему на устой­ чивость, задавшись новым видом Ѵ-функций, или при­ менить другой метод.

Прямой метод Ляпунова мо5кно распространить и на случай, когда имеется не точка равновесного состояния системы, а семейство таких точек, образующих отрезок равновесия (см., например, рис. 7-21,а) или в общем случае пространство равновесия в окрестностях начала координат в «-мерном пространстве.

При этом поверхности семейства (7-71) при уменьше­ нии С стягиваются к отрезку или области равновесия.

Трудности практического использования прямого ме­ тода Ляпунова состоят в том, что отсутствуют строгие рекомендации по подбору Ѵ-функций. Наиболее простой

рывна и в начале координат обращается в нуль. Следо­ вательно, она удовлетворяет всем требованиям, предъяв­

352

Однако с помощью Ѵ-функций такого вида можно установить факт устойчивости только для относительно

функцию Ляпунова рекомендуется выбирать в виде (см., например, [Л. 10])

АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

8-1. ПОНЯТИЕ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ

■Выше рассматривались АСР с постоянной структурой. Эта структура выбиралась, исходя из требуемого каче­ ства регулирования, с использованием различных кор­ ректирующих устройств, улучшающих динамические свойства системы.

После же синтеза системы в процессе работы ее структура оставалась неизменной. Однако такое реше­ ние поставленной технической задачи по оптимальному функционированию системы не является единственно возможным. Эту же задачу можно решить путем проек­ тирования такой системы, которая в зависимости от ха­ рактера изменения тех или иных внутренних или внеш­ них воздействий на систему, характера изменения регу­ лируемой или какой-либо промежуточной величины меняла бы свою структуру, а следовательно, и динами­ ческие свойства, обеспечивая оптимальное функционирвание системы в конкретных условиях.

Системы, в которых связи между ее функциональны­ ми элементами меняются тем или иным образом в зави­ симости от состояния системы, принято называть систе-

35?

мамис переменной структурой (СПС). В таких системах изменение структуры может, например, осуществляться с помощью логических ключевых элементов, которые разрывают или восстанавливают связи между различны­ ми функциональными элементами системы, изменяя тем самым каналы прохождения сигналов, а также динами­ ческие и статические характеристики системы.

Так как каждая структура СПС должна обеспечи­ вать оптимальное функционирование системы только в конкретных случаях, т. е. решать частные задачи при определенном состоянии системы (другим состояниям) будет соответствовать другая структура системы), то СПС могут быть реализованы с помощью достаточно простых средств.

Так, даже для простейшей статической АСР третьего порядка имеет место известное противоречие между тре­ бованием уменьшения установившейся ошибки регули­ рования и степенью устойчивости системы. Для умень­ шения установившейся ошибки необходимо увеличивать коэффициент передачи системы (5-2), но при этом будет уменьшаться запас устойчивости системы. Чем больше коэффициент передачи системы, тем ближе АФХ разом­ кнутой системы подходит к точке (—1, /0). При увели­ чении коэффициента передачи сверх некоторого крити­ ческого значения система даже может потерять устой­ чивость и оказаться неработоспособной (4-47).

Если в этом случае не представляется возможным найти удовлетворительное компромиссное решение, то приходится применять специальные корректирующие устройства, улучшающие динамические свойства систе­ мы при коэффиценте ее передачи, выбранном исходя из требований технологии к точности регулирования. Однако при этом структура системы существенно услож­ няется. Порядок системы с третьего повышается до чет­ вертого или более высокого порядка.

В классе СПС эта задача может быть решена значи­ тельно проще. Для этого в статической АСР коэффици­ ент ее передачи выбирается исходя из требований техно­ логии в части величины установившейся ошибки. Кроме того, в системе предусматривается переключающее устройство, которое уменьшает коэффициент передачи системы до величины, обеспечивающей требуемый запас устойчивости системы в переходных режимах при по­ ступлении на систему возмущающего воздействия. ^

354

Таким образом, мы будем иметь простейшую СПС с'двумя структурами. Каждая структура в динамичеческом отношении описывается дифференциальным урав­ нением третьего порядка, но их коэффициенты передачи будут разными.

Или, например, имеется статическая АСР второго порядка. Требуется обеспечить ее большое быстродейст­

СПС можно решить поставленную задачу с помощью простейшего логического двухпозиционного переключаю­ щего устройства, без усложнения функциональных эле­ ментов системы.

Первая структура СПС должна иметь минимально возможное по конструктивным соображениям отноше­ ние 7’і/Г2<2, а вторая структура — 7УГ2>2.

'Предположим для первой структуры TJTz—Oß, а для

лучить переходный процесс в системе с требуемым быст­ родействием и без перерегулирования. Таким образом, в системах с переменной структурой можно использо­ вать в определенное время полезные свойства каждой структуры и в результате получить новые свойства системы в целом, не присущие ни одной отдельной ее структуре.

355

Из изложенного следует, что в общем случае система регулирования с переменной структурой (рис. 8-2) дол­ жна иметь следующие элементы: объект регулирования ОР, регулирующие устройства РУі, РУг, ■■■, РУп, клю­ чевой элемент КЭ, блок изменения структуры БИС и исполнительное устройство ИУ.

Рис. 8-2. 'Функциональная схема системы с переменной структурой.

В зависимости от характера изменения регулируемой величины x(t), возмущающего воздействия f(t), задаю­ щего воздействия g(t) или промежуточной величины, на­ пример y(t), в определенные моменты БИ С, воздействуя на КЭ, производит переключение структуры, вводя в ка­ нал регулирования то или иное РУ с определенными динамическими свойствами, формирующее требуемое регулирующее воздействие u(t) на ИУ.

Система может иметь также несколько КЭ, форми­ руя необходимое регулирующее воздействие на ИУ по раздельным каналам для различных входных воздейст­ вий на систему и отдельно по отклонению регулируемой величины и возмущению.

Система может иметь также переменную структуру только по отношению к одной из переменных с исполь­ зованием, например, принципа построения инвариантных систем по отношению к другим переменным.

356

8-2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

В § 7-3 показано, что переходные процессы в системе можно рассматривать как движение изображающей точки по фазовым траекториям в фазовом пространстве. Так как движение точки по фазовым траекториям являет­ ся геометрической интерпретацией функционирования системы, то общие принципы построения СПС наиболее наглядно можно изложить на примере системы второго порядка на основе метода фазовых представлений.

Сущность синтеза АСР методом фазовых траекторий состоит в том, чтобы точка, изображающая движение системы (ее переходный процесс), перемещалась бы на фазовой плоскости из некоторого допустимого началь­ ного положения в заданную область, соответствующую заданному значению регулируемой величины. Так, для стабилизирующих систем необходимо, чтобы по оконча­ нии переходного процесса отклонение регулируемой вели­ чины от заданного значения было бы равно нулю. Это на фазовой плоскости соответствует перемещению изоб­ ражающей точки в начало координат из любого началь­ ного ее положения. Соответственно сущность синтеза СПС методом фазовых траекторий состоит в том, чтобы выбрать такие структуры системы и такие условия их переключения, которые обеспечивали бы перемещение изображающей точки в начало координат (или задан­ ную область) из любого начального ее положения на фа­ зовой плоскости.

Рассмотрим некоторые принципы построения СПС методом фазовых траекторий.

а] Метод использования вырожденного движения системы

Предположим, мы имеем две структуры, фазовые траек­ тории которых изображены на рис. 7-25,ж (первая струк­ тура) и на рис. 7-25,к (вторая структура). Обе структуры соответствуют неустойчивым системам, так как первая структура имеет оба корня комплексные с положитель­ ными вещественными частями, а вторая структура имеет один отрицательный и один положительный корень.

Из фазовых портретов неустойчивых систем, но имею­ щих по одному отрицательному корню, следует, что такие системы имеют одну фазовую траекторию в виде

357

НряМоп, двигаясь по которой изображающая точка при­ ходит в начало координат.

Это соответствует тому, что регулируемая величина в системе при таком единственном режиме будет стре­ миться к заданному значению, хотя в общем система и является неустончпвои. Существование такого режима объясняется тем, что наличие одного отри­ цательного корня обес­ печивает сохранение одной из прямых (7-44)

пли (7-45) на фазовой плоскости, соответству­ ющей траекториям устойчивой системы.

Таким образо'м, если обеспечить вывод на эту траекторию изобра­ жающей точки из раз­ личных ее положений на фазовой плоскости, в целом можно полу­ чить устойчивую систе­ му.

В нашем примере вывод системы на един­ ственную траекторию фазовой плоскости, соответствую­

щую устойчивому движению в системе при второй ее структуре, можно обеспечить с помощью первой неустой­ чивой структуры. Так если переключения структур про­ изводить на прямой устойчивого движения системы и на оси Хі, а система имеет первую структуру в области I и вторую структуру в области // (рис. 8-3), то где бы ни было начальное положение изображающей точки на фа­ зовой плоскости, при своем движении она обязательно придет на устойчивую фазовую прямую 5.

этом она обязательно придет на прямую 5 (в точке 2). В этот момент происходит изменение структуры, с пер­ вой на вторую, и изображающая точка будет переме­ щаться по прямой 5 в начало координат.

3 5 8

Если начальное положение изображающей точки бу­ дет в области II (в точке 1* фазовой плоскости), то она будет перемещаться по одной из фазовых траекторий структуры II до оси х2} на этой оси (в точке 2*) прои­ зойдет переключение структуры и далее изображающая точка будет перемещаться по расходящейся спирали базовой траектории первой структуры.

При этом она обязательно придет на прямую 5 (в точке 3*), где произойдет переключение структуры, и это обеспечит перемещение изображающей точки в на­ чало координат.

Движение изображающей точки к началу координат по устойчивой траектории 5 неустойчивой системы на­ зывается выроэісденным.

б) Метод «сшивания» фазовых траекторий

Этот метод применяется в-том случае, когда струк­ туры не имеют вырожденных движений. Однако соответ­ ствующим выбором условий переключения представ­

в) Метод искусственного вырожденного Движения

Сущность этого метода состоит в том, что переключе­ ние структур производится при переходе некоторой условной прямой в область структуры, фазовые траекто-

359