Для этого разложим функции /Дхі, х2) и /2(хi, х2) в ряд Тейлора для функций двух переменных в окрест ностях точки (х'оъ х02) :
fi (x i’ -Ч) — f 1(-«oi. Л'о2) + (fa }jx - XmЛа’>+
4 / Л'з— Л'оа
+ ( s ', X « . Ajc= + F' <ü-I" ijcJi |
|
х3—л0а |
(7-38) |
|
fa ( Х і у х 2) = fa (^on л'оа) + (з ^ )л.І=¥о| ^ “I" |
|
лГа—Л'оа |
|
'* л'аV---—VЛ'02—
где Дхі=хі—л'оі и Дх2= х2—х02 — значения координат в приращениях от состояния равновесия; Fi(Axi, Дх2) и Р2(Ахь Лх2) — члены разложения ряда Тейлора степени
. выше первой относительно Дхі и Дх2.
Так как рассматривается поведение системы в окрест ностях равновесного состояния системы, т. е. при неболь ших значениях Д х і и Д х 2, то в выражениях (7 - 3 8 ) чле
нами Fi(Axi, |
Дх2) и F2(AX U Д х 2) высших порядков отно |
сительно ДХі и Дх2 можно пренебречь. |
функций (7-38) |
С учетом |
этого |
найдем |
|
значения |
в приращениях от точки равновесного состояния: |
|
|
fi (Длгц Дх2) = |
аДх,"+ 6Дха; |
\ |
(7-39) |
|
f„ (Дх,, Дх2)]= сАх{-\- dAx2, |
I |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
/і = (Дхь Дх2)= /і(хі, |
х2)—fi(x0i, х02); |
|
/г=(Дхь |
Дх2) = / 2(х!, х2)—/2(хоь х02); |
|
|
|
|
Хі—XQI |
|
b= (* L \ |
. |
|
|
|
|
|
\ д х 2) х,=.хт’ |
|
|
|
|
хл=Х(п |
|
|
|
|
|
С = |
|
|
d = |
|
|
|
|
|
Х\— Л’оі |
|
X \— Xoi |
|
|
|
|
*а=^Ѵ02 |
|
Хй—Х(п |
|
G учетом (7-39) и |
(7-37) выражения (7-35) в прира |
щениях от точки ( х о ь |
х о 2 ) равновесного состояния запи |
шутся как |
dДх,' |
|
|
|
|
|
|
-ЬАх2; |
|
|
|
[dt |
п' 'аДх, |
|
(7-40) |
|
dbx. |
= сДх, -f- dAx2 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
где |
|
|
|
|
|
dAx, _ d (х,—х0і) |
. Ух,, |
dhx2_d [х2— х02) __dx2 |
Ш |
Ш |
Ж ’ |
~di |
Ш |
ЖГ’ |
Таким образом, вместо нелинейной системы уравне ний (7-35) поведение системы в окрестностях равновес ного состояния приближенно определяется системой ли нейных уравнений (7-40).
' Система линейных однородных уравнений с постоян ными коэффициентами (7-40), которая описывает фазо вые траектории в окрестностях равновесного состояния, называется системой уравнений первого приближения.
Ляпунов доказал, что если для системы уравнений первого приближения все действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, то в этом случае устойчива не только линейная система, описывае мая этими уравнениями, но в окрестностях равновесного состояния устойчива и исходная нелинейная система.
Рассмотрим картины фазовых траекторий системы второго порядка в окрестностях возможных точек равно весного состояния.
Располагая начало координат на фазовой плоскости в точке равновесного состояния, запишем' систему урав
нений первого приближения |
(7-40) в виде |
dx1 |
i t . |
—1= а х , - \ - Ьх2\
(7-41)
Cl^ i = c x l j r d x 2.
Согласно (2-30) решение уравнения (7-41) имеет вид:
;с= Л / ,; + Л2еѵ , |
(7-42) |
где Лі и Л2 — постоянные интегрирования; !Хі и |
— кор |
ни характеристического уравнения. |
|
С учетом (7-42) и § 7-3 уравнения движения системы |
= |
I |
(7 43) |
х 2= A j l xe |
1 —|—А йХ2ѳ 2 ) |
|
определяют семейство фазовых траекторий на фазовой
ПЛОСКОСТИ ( Х і , х 2 ) .
При Л2=0 из (7-43) находим, что фазовой траектори ей будет прямая / (рис. 7-25), описываемая уравнением
х 2— 7»і-Ѵі = 0 . |
( 7 - 4 4 ) |
При Лі = 0 получим другую прямую II, которая также |
является одной из фазовых траекторий: |
|
х%—^2 X1 = 0 . |
(7-45) |
Если Хі и Хг отрицательные н вещественные, то прямые (7-44) и (7-45) проходят через начало координат и нахо дятся во втором II четвертом квадрантах.
На рис. 7-25 показано взаимное расположение этих прямых при I Ä.1 [ > I А.2 I -
Так как при Аі<0 и Аг<0 переходные процессы в си стеме затухают іи производные величины с течением вре мени стремятся к нулю, то при уменьшении абсолютной величины производной dxjd t — xz изображающая точка по фазовым траекториям (7-44) и (7-45) с течением вре мени будет как во втором, так и в четвертом квадрантах перемещаться к началу координат. При других значениях АіФО и А іФ 0 на фазовой плоскости получим семейство фазовых траекторий в соответствии с уравнением (7-43). Фазовый портрет системы при Аі< 0 и Хг<0 представлен на рис. 7-25,а.
Если корни вещественные отрицательные и равные, то вместо двух прямых (7-44) и (7-45) на фазовой плоско сти будем иметь одну прямую (рис. 7-25,6).
Если корни комплексные с отрицательной веществен ной частью, то система будет устойчивой и фазовые тра ектории имеют вид скручивающихся к началу координат спиралей (рис. 7-25,0 ). Если система имеет чисто мнимые корни и, следовательно, находится на границе устойчи вости, в системе будет иметь место установившийся ко лебательный процесс, а изображающая его точка на фа зовой плоскости будет двигаться по замкнутым траекто риям (рис. 7-25,ё—е), образующим семейство эллипсов (7-24). В этом случае при частоте колебаний ю>1 фазо вые траектории имеют вид, представленный на рис. 7-25,а, при (о=1 — на рис. 7-25,6, при со<1— па рис. 7-25,е.
Если характеристическое уравнение системы имеет комплексные корни и вещественная часть одного нз кор ней положительна, то система будет неустойчива и фа-
Söi-іые траектории riMeiof вид раскручивающихся спиралей (рис. 7-25,ж). Если корни вещественные положитель ные, то система будет с апериодической неустойчиво стью.' Фазовый портрет системы имеет вид, представлен ный на рис. 7-25,з в случае неодинаковых корней, на рис. 7-25,« — для случая равных корней. Если система имеет один положительный и один отрицательный ве щественные корпи, то фазовый портрет системы имеет вид, представленный па рис. 7-25,к—м, в случаях, когда
отрицательный корень по абсолютной |
величине мень |
ш е— рис. 7-25,к, равен — рис. 7-25,л |
и больше — |
рис. 7-25,,« положительного корня.
Если изображающие точки по всем фазовым траекто риям стремятся в точку равновесного состояния (особую точку), то в этом случае точка равновесного состояния
называется |
особой точкой типа устойчивый узел |
(рис. 7-'25,а) |
или просто устойчивый узел. |
Если изображающие точки удаляются от особой точ ки, то она называется устойчивым узлом (рис. 7-25,а).
Особые точки типа представленных на рис. 7-25,а на зываются устойчивым вырожденным узлом, а типа пред ставленных на рис. 7-25,« — неустойчивым вырожденным узлом.
Особые точки типа представленных на рис. 7-25,к—м называются седлом.
Особые точки типа представленных на рис. 7-25,в и ж называются соответственно устойчивым фокусом и неус тойчивым фокусом.
Если фазовые траектории имеют вид замкнутых кри вых, вложенных друг в друга и охватывающих особую точку, то она называется особой точкой типа центр или просто центром (рис. 7-25,а—е).
Как указывалось выше, устойчивость нелинейной си стемы «в малом» еще не гарантирует ее устойчивости при больших начальных отклонениях, т. е. устойчивость «в большом», так как при этом соответствие уравнений первого приближения (7-40) действительным нелинейным уравнениям (.7-35) системы нарушается.
Для суждения об устойчивости нелинейной системы в «большом» необходимо знать характер фазовых траек торий не только в окрестностях равновесного состояния системы (особых точках), но и на всей фазовой плоско сти.
Для нахождения полной фазовой картины системы важное значение имеют изолированные замкнутые тра ектории и особые траектории, разделяющие на фазовой плоскости области фазовых траекторий одного типа от областей траекторий другого типа.
Для примера рассмотрим систему, которая имеет в окрестностях какой-либо точки равновесного состояния особую точку типа неустойчивый фокус (рис. 7-25,з/с). При больших расстояниях от этой точки в системе воз никают движения по рис. 7-25,в, характерные для систе мы с устойчивым фокусом в этой же точке равновесного состояния
Таким образом, в системе при малых начальных от клонениях имеет место расходящийся • процесс, а при больших — сходящийся процесс ігодному и тому же фо кусу. Это приведет к возникновению в системе на грани це этих движений устойчивых периодических движений по замкнутой фазовой траектории.
Такие замкнутые траектории называются изолирован ными, так как в любых достаточно малых окрестностях этой траектории нет других замкнутых траекторий в от личие, например, от замкнутых траекторий вокруг осо бой точки типа центр (рис. 7-'25,г).
Изолированные замкнутые фазовые траектории назы ваются также предельными циклами.
В системах с устойчивым предельным циклом фазо вые траектории как изнутри, так и снаружи «наматыва ются» на предельный цикл. При этом в системе возни кают устойчивые автоколебания.
В качестве примера рассмотрим нелинейную АСР, линейная часть которой имеет передаточную функцию, 'представленную выра
жением (7-25), а нелинейный |
элем ент— релейную неоднозначную |
статическую характеристику |
без зоны нечувствительности (см. |
рис. 1-Tfi). Нелинейный элемент в этом случае имеет только два состояния и при переключении меняет ф азу напряжения, подводимо го к обмоткам электродвигателя. Только этим система и отличается от АСР, приведенной на рис. 7-20, переходный процесс в которой определяется тремя дифференциальными уравнениями (7-26). П оэто му переходный процесс в рассматриваемой системе будет характери зоваться одним из двух дифференциальных уравнений, отличающих
ся одно от |
другого только фазой (знаком) напряжения £/д, |
подаваемого к |
обмоткам электродвигателя; среднее из уравнений |
(7-26) к данной |
системе неприменимо. Вместе с тем каж дое из двух |
упомянутых дифференциальных уравнений будет применимо в диа
пазоне изменений регулируемой величины от —b до |
в зависи |
мости от знака производной dxfdt. |
|
Переходный процесс в рассматриваемой системе определяется дифференциальными уравнениями
т |
гі2х |
. dx |
= |
kuK |
при х < — b; |
1 |
dt- |
*- dt |
|
dH |
, dx |
— |
Ш д |
при Х ^ Ь ; |
Т dt 2 |
H i |
' |
tf2x |
. dx |
|
|
dx |
т |
d r - ' |
dt |
- Ш д |
при — b < X < 6 и |
|
d2x |
. dx |
|
|
dx |
T d r ' 1 dt = - Ш |
д при — b < |
X < |
6 н -JJ- |
|
Решения уравнений (7-46), т. е. уравнения фазовых |
траектории, |
даны выражениями (7-29) |
или (7-30) и имеют вид: |
|
х = |
— |
Т [(/ -(- / e t/ д |
Іи (у — / e t/ д ) ] |
+ |
С , |
при х < — |
6 ; |
X = |
Т [Ш д ln (у + |
Ш д) — у] + |
С2 при X $5 Ь) |
|
* = - |
т [у + Шд іи (у — а д |
+ с, |
|
|
|
|
при — b < |
dx |
|
|
|
|
|
|
X < о и -JJ- > |
0; |
|
(7-47) |
x = T [ k U a \n(y + |
kUR) - y ] + C 2 |
|
|
|
|
при — b < |
dx |
|
|
|
|
|
|
X < b и -JJ- <С 0. |
|
|
В этом случае моменты переключения релейного элемента при возрастании y=dx/dt будут сдвинуты вправо, а при убывании у — влево от начала координат на величину Ь. Ф азовая картина такой системы представлена на рис. 7-26. Если начальная амплитуда коле баний регулируемого параметра достаточно велика, то фазовые
траектории, так ж е |
как и на рис. 7-21, будут сходиться к центру. |
Если ж е начальная |
амплитуда колебаний регулируемого параметра |
небольшая, то фазовые траектории имеют вид спиралей, расходя щихся от центра. Следовательно, в системе имеют место устойчивые автоколебания.
На рис. 7-27 изображены как устойчивые автоколебания систе мы в функции времени, так и кривые, характеризующие поведение этой системы при амплитудах начальных колебаний, меньших (/11 )
и больших (Л2), чем амплитуда автоколебаний А.
Если амплитуда автоколебаний системы находится в пределах допустимых отклонений регулируемой величины и частота колеба ний также является допустимой, то система регулирования будет удовлетворять предъявленным к ней требованиям и, следовательно, такая система является практически, устойчивой.
Если амплитуда автоколебаний в системе превышает допусти мые отклонения регулируемой величины от заданного значения или если частота колебаний опасна для системы (возникают перенапря жения, вибрации и т. п.), такая система не пригодна для целей ре гулирования данного параметра и является практически неустой чивой.
Амплитуда и частота автоколебаний не зависят от внешних воз мущающих воздействий, а определяются только собственными пара метрами самой системы регулирования: ее инерционностью, зоной не чувствительности нелинейного элемента, коэффициентом передачи системы и т. п.
Рис. 7-26. Фазовые траектории с устойчивым предельным циклом нелинейной системы с неоднозначным релейным элементом без зоны нечувствительности.
Рис. 7-27. Переходные процессы в нелинейной си стеме с устойчивым предельным циклом.
Рассмотрим |
автоколебания |
нелинейной системы, |
|
изображенной |
на рис. 7-14. И з дифференциальных уравнений (7-14) |
этой системы |
найдем зависимости, определяющие фазовые траектории: |
|
У — — - f (X — ки) при |
X < |
6, |
а |
также |
— 6 < х < 6 |
и |
( / > 0 ; |
(7 -4 8 ) |
у — — - у - (х + |
ки) при |
х ^ Ь , |
а |
также |
— £ > < х < С 6 |
и |
( / < 0 . |
(7-49) |
В этих выражениях |
принято іi—dx/dt. Ф азовая |
|
картина |
пред |
ставлена на рис. 7-28,а. |
|
|
|
системе равна ±Ь. П ериод колеба |
Амплитуда |
автоколебаний |
в |
нии можно определить, исходя из устойчивости предельного цикла (рис. 7-28,а) с учетом выражений (7-17).
Рис. 7-28. Фазовые траектории и переходный процесс системы регулирования, приведенной на рис. 7-14.
Обозначим время изменения регулируемого параметра на уча стке 2—4 фазовой траектории от х = —b до х —Ь при у > 0 через t\\ напишем первое из выражений (7-17) для 'Конечного значения этого участка переходного процесса:
откуда |
b = |
ки (— е |
т — be |
т |
|
|
_ £і_ |
ки — b |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
~ku + b |
|
Прологарифмировав это выражение, получаем: |
|
|
*і = |
|
ku-\- b |
|
|
|
7* In ku— b' |
|
В течение |
этого |
времени |
изображаю щ ая |
точка пройдет участок |
4—6 фазовой траектории, соответствующий обратному изменению
регулируемого параметра |
от х=Ь до х —— Ь. С учетом |
этого период |
колебаний будет равен: |
|
2 Т In ku + b |
|
Т |
= |
(7-50) |
1К |
ки — b' |
|
Из выражения (7-50) следует, что чем больше инерционность объекта, характеризуемая постоянной времени Т, и чем больше зона неоднозначности Ь, тем больше период автоколебаний. Чем больше напряжение и, подводимое к объекту, тем период автоколебаний ■ меньше (рис. 7-28,6).
Рассмотренные выше .системы имеют устойчивый пре дельный цикл. Однако в нелинейных системах могут «меть место и неустойчивые предельные циклы.
В системах с неустойчивым предельным циклом фа зовые траектории «сматываются» изнутри, снаружи или изнутри и снаружи предельного цикла. В такой системе автоколебания возникнуть не могут, так как при любом достаточно малом случайном возмущающем воздействии на систему точка, изображающая движение системы, на чинает удаляться от предельного цикла. Так как на фа зовой плоскости может быть несколько особых точек с различным характером движения системы в ее окрест ностях, то из условия непересекаемости фазовых траек торий вне особых точек (иначе возникла бы неопреде-
.ленность в характере движения системы, что не может иметь места) и заполнения траекториями всей фазовой плоскости следует, что на фазовой плоскости должны быть особые траектории, разделяющие область траекто рий одного типа от областей траекторий другого типа. Физическая сущность возникновения таких траекторий, называемых сеператрисами, на границе двух видов дви жений такова же, как и рассмотренная выше причина об разования предельного цикла. К сепаратрисам с обеих сторон асимптотически приближаются фазовые траекто рии граничных областей фазовой плоскости.
В окрестностях особых точек типа «седло» сепаратри сы также называют «усами седел» (рис. 7-25,к—м).
Таким образом, исследовав по Ляпунову устойчивость нелинейной системы в окрестностях всех особых точек, 'определив предельные циклы и сепаратрисы, можно по лучить на фазовой плоскости полную качественную кар тину всевозможных движений в АСР.
в] Исследование автоколебаний в нелинейных системах
Условия возникновения автоколебаний в нелинейной системе и параметры предельных циклов можно исследо вать, используя частотные критерии устойчивости, рас смотренные в гл. 4.
