книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

ски подводимого к нагревательному элементу, от напряжения Ч3,

постоянная времени объекта.

П редположим, что напряжение, подводимое к нагревательному элементу, в 2 раза больше напряжения, которое требуется для обес­ печения заданного значения температуры, т. е. lh=2Ua.

Н иж е даны значения AUU в зависимости от величины отклоне­ ния температуры ДѲ

310

на рис. 7-14 примять отклонение температуры от заданной ДѲ, а за выходную — абсолютное значение <Ua напряжения, подводимого к нагревательному элементу, то характеристика релейного элемента является несимметричной и имеет вид, изображенный в правом ниж­ нем углу на рис. 7-10,г. Если же за выходную величину принять AU „, то характеристика релейного элемента будет симметричной без зоны нечувствительности (рис. 7-7,а) и с зоной неоднозначности

2 (-©г—Ѳ31= 2]Ѳ)—Ѳз I.

Для перехода к относительным величинам примем за базовые величины напряжение U и максимальное установившееся значение температуры Ѳ уСт при достаточно длительной подаче этого напряже­

Подставив в это уравнение значения АUu/U из формул (7-13), получим систему дифференциальных уравнении:

„ dx

даваемого на нагревательный элемент, от напряжения, необходимого

ду которыми определяют относительные переключающие значения выходной величины х (относительное отклонение температуры от заданного значения): Хі = — Ь, х2= Ь.

При решении дифференциальных уравнений на каж­ дом участке за начальные условия принимаются конеч­ ные значения переменных величин на предыдущем участке. Такой метод нахождения переходного процесса в системе путем решения дифференциальных уравнений на отдельных участках изменения исследуемого парамет­ ра X при условии согласования между собой значений са­ мого параметра х и его производных dx/dt в конце пре­ дыдущего и начале последующего участков называется

методом припасовывания или сшивания.

гласно формуле (2-37) общее решение однородного дифференциаль­

ного уравнения (7-14) в таком случае имеет вид: __ і_

x(t) — Cte Т.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения при подаче напряжения на нагревательный элемент, т. е. при £/„=.£/,

можно найти как установившееся значение параметра, т. е. прини­ мая, что dxjdt—0. Тогда х п.Уст = ки.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

312

Обозначив х = — л'оіі при 1=0 и при Un = U, получим:

С 1= ----Von— k lL .

Таким образом, переходный -процесс в системе при \Ua=iU опре­ деляется выражением

dx/dt>0. Частное решение неоднородного дифференциального урав­ нения при U,1 = 0

Хоуст = —

Обозначив через Хоо начальное значение параметра х в диффе­

Этим выражением процесс регулирования определяется на уча­ стках, где х ^ Ь и — Ь<х<Ь при dxjdt<0.

зависимостей.

Полная кривая процесса регулирования, построенная по урав­

313

кліочемIіо рслеішого элемента произойдет только при .ѵ = 6. С этого момента начнется второй участок переходного процесса, который определяется выражением (7-16). Начальное значение параметра для второго участка ,ѵ0о=Ь. Так как в конце первого участка реле Рі срабатывает (см. рис. 7-14) и подача энергии в объект прекращается, то температура сушильного шкафа начнет уменьшаться и dxjdt<Si. Следовательно, процесс регулирования будет определяться выраже­

лейный элемент, отключается реле Р\ и возобновляется подача энер­ гии в объект. С этого момента начнется третий участок, опреде­ ляемый, как II первый, выражением (7-15), но при начальном зн а­ чении параметра х —— Ь.

Третий участок закончится при ,ѵ=6.

Затем начнется четвертый участок, который полностью аналоги­ чен второму. Пятый участок аналогичен третьему н т. д.

Таким образом, начиная со второго участка в нелинейной си­

срабатываниями н отпусканиями релейного элемента. Из приведен­ ного примера следует, что метод припасовывания основан на том положении, что по существу на протяжении отрезка времени меж ду двумя смежными переключениями релейного элемента нелинейная система мож ет рассматриваться как линейная и на этом участке для исследования системы применимы обычные методы исследования ли­ нейных систем. За счет переключений релейного элемента от участка

6) Метод гармонической линеаризации

При подаче на вход линейной системы устойчивых гармонических колебаний *ВХ=А sin af на выходе си­ стемы также возникают гармонические колебания, но с другой амплитудой и фазой лгВых= ^і sin (co^+ ept). Отно­ шение выходной гармонической величины к входной, вы­ раженное в комплексной форме, определяет АФХ си­ стемы.

Если на вход нелинейного элемента подавать такие же синусоидальные колебания, то на его выходе также получим периодические колебания, но по форме сущест-

314

венно отличающиеся от синусоидальных. В качестве при­ мера на рис. 7-16 показан характер изменения выходной переменной хвых нелинейного элемента с релейной ха­

Как известно, любая периодически изменяющаяся пе­ ременная величина путем разложения ее в ряд Фурье может быть представлена как сумма некоторой средней

постоянной и бесконечного множества гармонических со­ ставляющих

вой гармоники (основная частота), равная частоте вход­

315

далы-іых колебаний; 2ш= со2 , Зсо= саз,. . /гсо= со„ — часто­ ты, кратные основной частоте to.

Автоматические системы регулирования, как правило, обладают существенной инерционностью. Так если в си­ стеме на рис. 1-5 при установившемся значении темпе­ ратуры медленно перемещать движок трансформатора по синусоидальному закону, то температура объекта также будет изменяться по синусоидальному закону с той же частотой. Но если движок перемещать по синусоидаль­ ному закону с большой частотой, то в силу инерцион­ ности объекта его температура не сможет та’к быстро изменяться, а будет иметь постоянную величину, соот­ ветствующую среднему положению движка. Это эквива­ лентно тому, как если бы движок вообще не перемещал­ ся. Иными словами, входная величина с большой часто­ той практически не проходит через инерционную систему и не оказывает на нее существенного влияния. Таким образом, линейная часть системы является фильтром по отношению к высокочастотным гармоническим состав­ ляющим. В связи с этим, а также учитывая, что ампли­ туда выходных колебаний уменьшается с ростом часто­ ты, для приближенной оценки выходной величины, рас­ сматриваемой как спектр гармоник, в большом числе случаев достаточно учесть только первую ее гармониче­ скую составляющую.

С учетом этого при отсутствии постоянной составляю­ щей в выходных колебаниях выражение (7-19) прибли­ женно можно записать в виде

Таким образом, нелинейная зависимость выходной величины от входной в нелинейном элементе приближен­ но заменяется линейной зависимостью, определяемой вы­ ражением (7-21).

С учетом этого отношение изображения выходной ве­ личины к изображению входной величины

31 6

по аналогии с линейными системами называется переда­ точной функцией нелинейного гармонически линеаризо­ ванного элемента.

Передаточная функция 1Уц(р, со, А) нелинейного эле­ мента имеет существенное отличие от передаточной функ­ ции линейной системы W(p), заключающееся в том, что Wn(p, со, А) зависит от амплитуды и частоты входного сигнала, так как выходная величина нелинейного эле­ мента (7-21) зависит от амплитуды и частоты входного сигнала.

Обозначив Аі/А*=Ь(А) и Ві/В = с(А) , запишем:

Заменяя в (7-22) р на /со, по аналогии с линейными системами получим выражение для АФХ нелинейного элемента:

WB(A,jv>)=b(A)+jc{A). (7-23)

В выражении (7-23) величины b (А) и с (А) определя­ ются как отношение коэффициентов ряда Фурье для пер­ вой гармоники выходных колебаний к амплитуде вход­ ных колебаний.

Их значения для наиболее распространенных типовых нелинейностей приведены в Приложении 3.

7-3. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Для исследования нелинейных АСР, в которых линей­ ная часть с достаточной для практики точностью может быть в динамическом отношении представлена диффе­ ренциальным уравнением второго порядка, широкое при­ менение получил метод изображения процесса регулиро­ вания на фазовой плоскости.

Фазовой плоскостью называется плоскость, на кото­ рой изображается изменение какой-либо переменной ве­ личины X в функции скорости ее изменения y —dxjdt.

Рассмотрим изображение незатухающих гармониче­ ских колебаний x=y4sin<a£ на фазовой плоскости.

Скорость изменения переменной х выразится как

у = ‘^ г = Аю cos аit,

317

Исключав переменную t, найдем:

у = Аш cos arcsin -А- — Дш cos arccos

откуда

Следовательно, незатухающие гармонические колеба­ ния изображаются на фазовой плоскости в виде эллипса (рис. 7-17) с полуосями А и /4©.

Для различных амплитуд А при заданной частоте со можно построить семейство таких эллипсов, вложенных один в другой и заполняющих всю фазовую плоскость.

При заданной амплитуде А для частот, изменяющих­ ся от 0 до ± о о , получим семейство эллипсов с общей осью 2А по оси координат х и изменяющейся длиной оси 2Лсо; при сй = 0 эллипс вырождается в прямую, совпадаю­ щую с осью 2 Д ; при © = ± о о он распадается на две пря­ мые, параллельные оси координат у и отстоящие от на­ чала координат па расстояние ±А.

При изменении величины х соответствующая ей точка М на фазовой плоскости, называемая изобраоісающей точкой, будет перемещаться тздоль эллипса по часовой стрелке с периодом колебания Тк.

Кривая движения изображающей точки на фазовой плоскости называется фазовой траекторией.

Если колебательный процесс будет расходящимся (рис. 7-18), то амплитуда колебаний А будет увеличи­ ваться и изображение процесса на фазовой плоскости бу­ дет иметь вид расходящейся логарифмической спирали.

Наоборот, затухающий колебательный процесс

318

(рис. 7-19) на фазовой плоскости изображается в виде логарифмической спирали, сходящейся к началу коорди­ нат. Таким образом, по виду фазовой картины (фазового портрета) можно наглядно судить об устойчивости си­ стемы.

= dxjdt> 0, то изображающая точка вдоль фазовой тра­ ектории движется в сторону увеличения х. В нижней по­ ловине у < 0, следовательно, изображающая точка дви­ жется вдоль фазовой траектории в сторону уменьшения

В качестве примера построим фазовую картину нелинейной АСР температуры сушильного шкафа, изображенной на рис. 7-20. Система содерж ит регулятор с нелинейным элементом, имеющим однозначную релейную характеристику с зоной нечувствительности (см. рис. 7-5,о ). Входной величиной релейного элемента является отклонение х температуры в объекте от заданной, а выходной — на­

пряжение 'І7д, подаваемое на электродвигатель Д.

319