книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

264

ванные для систем третьего и четвертого порядков, справедливы и для систем более высоких порядков.

Для проверки сформулированного предположения было прове­ дено исследование частотных характеристик для системы пятого

порядка, которое полностью подтвердило это предположение. На этом основании было принято, что те общие результаты, которые

получены для систем третьего и четвертого порядков, справедли­ вы при выполнении исходной предпосылки метода и для систем любых порядков. Точные и приближенные логарифмические амплитуд­

ные характеристики для системы пятого порядка в качестве при­ мера представлены на рис.4.17.

X X

X

Теперь обратимся к доказательству возможности использовать цриближенные амплитудные частотные характеристики систем, со­

ответствующих функции (IЛ ). Однако рассматриваемые амплитуд­ ные частотные характеристики в данном случае будем скроить не по приближенной функции (4.136), сомножители которой соответ­ ствуют (4.138) и (4.139), а по приближенной передаточной функ­ ции, числитель которой приближенно раскладывается на сомножи­

тели иначе, т.е. знаменатель раскладывается на сомножители по прежним правилам, а числитель - по другим.

Будем исходить из представления передаточной функции (1 .1) в виде (4.144). Тогда ЛАХ, соответствующие (I.I), можно опре­

делять суммированием характеристик, соответствующих (4.145) и

(4.146) . Возможность использовать приближенные характеристики, соответствующие (4.146), была доказана выше. Тогда остается до­

ление амплитудных частотных характеристик для функции (I.I).

Методику исследования здесь применим такую же, какая ис­ пользовалась при рассмотрении характеристик, соответствующих (4.146) . Кроме того, не будем, как отмечалось ранее (§9), учи­ тывать "провалы" в амплитудных частотных характеристиках, т.е.

если в протекании действительных характеристик появляются рез­ кие, "местные", существенные уменьшения значений ЛАХ, а в про­

265

текании приближенных характеристик этих уменьшений не обнаружи­

вается, то эти ошибки учитывать не будем.

Предположим сначала, что коэффициенты функции (4.145) удов­

летворяют первоначальной исходной предпосылке метода, подобно тому как этой цредпосылке удовлетворяют коэффициенты знамена­ теля функции (4.146). Будем считать, что функция (4.145) раскла­

дывается на сомножители по .тем же правилам, что и знаменатель

функции (4.146).

Для этих условий было проведено исследование по оценке воз­ можностей использовать указанные разложения функции (4.145) для определения амплитудных частотных характеристик, полностью сов­ падающие по методике с исследованием для функции (4.146). Ил­ люстративные графики представлены на рис.4.18.

Исследование показало (это подтверждают и кривые на указан­ ных выше рисунках) возможность использовать формируемые указан­

ным выше образом приближенные передаточные функции, заменяющие (4.145) , для определения амплитудных частотных характеристик. Ошибки при этом, если не учитывать "провалы" в характеристиках, не превышшот интервала (4.167).

Такое же подробное исследование было проведено применитель­ но к случаю, когда коэффициенты функции (4.145) удовлетворяют расширенной исходной цредпосылке метода (подробно воцрос о

рабочих областях для расширенной исходной предпосылки метода

рассматривается в § 7 главы У), а также для областей значений коэффициентов, границы которых соответствуют зависимостям (5.44) с увеличением коэффициентов q- до единицы.

Результаты исследования полностью совпадают с результатами, которые были получены для (4.146), при удовлетворении коэффи­ циентов этой передаточной функции исходной цредпосылке метода.

Графический иллюстративный материал по данному исследованию представлен на рис.4.1,3.

Наконец, рассматривался случай, когда коэффициенты функции (4.145) могут быть произвольно различных знаков. Йели рассмат­ ривать вместо значений’коэффициентов их абсолютные значения,то требовалось, чтобы в этом случае коэффициенты функции (4.145)

удовлетворяли зависимостям (5.44) при значениях коэффициентов (fa , равных единице. Здесь также был получен удовлетворитель­

ный результат, т.е. без учета "провалов" в характеристиках мож­

но вместо действительных ЛАХ для (4.145) рассматривать прибли­

женные кривые. Графический материал как иллюстративный здесь представлен на рис.4.20.

270

чить, что эти условия для коэффициентов функции (4.145), при которых можно использовать ее приближенное разложение для оп­

ределения амплитудных частотных характеристик, есть условия общего случая. При этом .разложение функции (4.145) осуществля­ ется по алгоритмам, которые используются при формировании сом­

ножителей знаменателя функции (4.146), но здесь осуществляется

применительно к абсолютным значениям коэффициентов.

Ограничиться рассмотрением указанного наиболее общего слу­ чая оказалось возможным потому, что для исследуемых ниже си­ стем и, видимо, вообще для автоматических систем соотношения

Физически полученный результат, вероятно, может быть объяс­ нен теш же причинами, какими объяснялся выше результат по ам­ плитудным частотным характеристикам для функции (4.146), т.е.

относительно малые ошибки в протекании амплитудных частотных

характеристик объясняются тем, что сравнительно малые ошибки получаются для переходных характеристик систем при использова­ нии для их построения приближенных передаточных функций.

Правда, при построении амплитудных частотных характеристик используется иное разложение числителя функции (I.I), чем при

построении переходных процессов. Однако результат, видимо,был бы справедлив и для такого разложения. Он не применялся здесь

только потому, что для такого разложения потребовалось бы рас­

сматривать значительно большее число вариантов сочетаний зна­ чений коэффициентов числителя и знаменателя функции (I.I).

В протекании амплитудных частотных характеристик для числи­

звенья с малыш значениями £ . В этих случаях ошибки в про­

текании переходных процессов оказываются-наибольшими и связаны с тем,что в приближенном разложении значения ^ оказываются за­ вышенными.Поэтому, видимо, это отражается и на устранении ука­

занных здесь "провалов" в протекании амплитудных частотных ха­ рактеристик.

В заключение по данному параграфу запишем выражения для

сомножителей приближенных разложений функций (4.146) и (4.145), которые будут использоваться цри определении амплитудных частот­

ных характеристик систем.

Для апериодических и колебательных сомножителей указанного разложения функции (4.146) соответственно записываем

Для определения порядка уравнения очередного сомножителя должен использоваться параметр р (1.84), как и для функций

(4.138) и (4.139).

Для сомножителей приближенного разложения передаточной функции (4.145) в отличие от (4.171) и (4.172) будем применять

'т

(4.176)

Ь т ~ г Р + b m - i P + b т

------------- А-------

В соответствии с изложенными выше материалами для опреде­

ления порядка числителя очередного сомножителя должен исполь-