книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

5.3.1. Редукция задачи. Обозначим через 01 сово­ купность допустимых управлений в задаче (1)— (5):

Ш = {«(•) е 1^0 ( [/о, ti] ) |и (t) е U почти всюду).

Рассмотрим далее отображение F из Cn([t0, ^ ] ) Х ^

в C "([f0, /,] ) X R S,X R S‘:

F ( x ( ’ ). « ( - ) ) = ( £ / () , Оо, а ,)е = С "([/0, <,]) X R* X R” .

где

t

y(t) — x (t) — х (t0) — | ф (т, x (т), u (t)) dx,

u

ao = h0(x(tQ)), al = hl(x(tl)).

u ( - ) ^ . cU.

Таким образом, по крайней мере по форме, задача (1) —

(5) является частным случаем общей задачи, рассмот­ ренной в § 5.1. Для того чтобы применить теорему 1 из § 5.1, необходимо проверить, что функционал 3 , ото­ бражение F и функции Gi обладают перечисленными в ее формулировке свойствами.

Некоторые из этих свойств, именно, дифференцируе­ мость функционала 3 и отображения F по *(•), непре­ рывность и регулярная локальная выпуклость функций Gi, проверяются без труда.

В самом деле, дословно так же, как и в п. 2.5.2 (с той лишь разницей, что ссылку на следствие из тео­ ремы 1 из § 0.4 следует заменить ссылкой на лемму 1 из того же параграфа), показывается, что отображение x ( - ) - * F ( x ( ' ) , и(-)) непрерывно дифференцируемо по

Точно так же функционал & как функция от *(•) непре­ рывно дифференцируем по Фреше и его производная в точке (**(•), «*(•)) вычисляется по формуле

Наконец, функции G,- регулярно локально выпуклы в

Cn([/0, ^i]) в силу теоремы 3 из § 4.4, а в п. 4.5.3 было показано, что субдифференциал функции G< в точке *»(•) содержит те и только те линейные непрерывные функционалы а* на Сп([f0, G]). которые можно предста­ вить в виде

где Дг — неотрицательная регулярная мера на [/о, Л], со­ средоточенная на множестве

Ti = V е [^о, M |gi (t, x, (t)) = Gt (x, (• ))1

и имеющая полное изменение, равное единице.

Таким образом, осталось проверить, что условие б) теоремы 1 из § 5.1 также справедливо для задачи (1) —

(5). Это будет сделано в п. 5.3.3 при помощи подгото­ вительных лемм, которые доказываются в следующем пункте.

5.3.2. Подготовительные леммы. Условие б) теоре­ мы 1 из § 5.1 предполагает существование специаль­ ного отображения о. Построение такого отображения

достаточно доказать лишь для таких простых векторфункций. В самом деле, для заданной ограниченной из­ меримой вектор-функции y(t) можно подобрать такую простую вектор-функцию y(t), что

Если для простых вектор-функций лемма верна, то можно построить семейство М{а) = М(а; у (•), 6) изме­ римых подмножеств отрезка [/0, t\\. Тогда, если, скажем,

а а', то

I Ym (a) (t) Ум (о) (t) Ум (а') (0 + Ум (а') (О I =

= I Ум (а ) \ М (а ') (0 — Ум( а ) \ М (а') (О I ^ 61а — а' | в силу (9) и (11) и

|(а — а') { Y { t ) - Y (t)) | < 6 | а -а '|

в силу (11). Сравнивая эти неравенства с (10), полу­ чаем

IУм(а) (0 — Ум (а') (0 — (а — а') Y (t) |< 361а — а ' |, т. е. М (а) = М (а; у (■), 36).

Итак, пусть у ( - ) — простая вектор-функция. Для опи­ сания конструкции множеств М(а) нам удобно ввести одно обозначение. Пусть А — измеримое подмножество отрезка [^0, ^], имеющее положительную меру. Тогда

t

стоянна и равна У/. Отсюда следует, что на концах

такие, что

у (0) ( t) = и , (t ) почти для всех t

И для всех *:(•), *'(•)< = У» а, а' <= е2т справедливы неравенства

неравенства в условии б) теоремы 1 из § 5.1 после под­ становки в него явных выражений для отображения F и его производной, данных в и. 5.3.1.

Итак, пусть набор иi(-), ... , ит(-) допустимых уп­ равлений и число 6 > 0 заданы. Рассмотрим (д+1)-мер- ные вектор-функции

У /(0 = (ф(*. x,(t), u,(t)) —

— Ф (t, x,(t), «,(/)), f(t, x,(t), u} (t)) — f(t, x,(t), u,(t))).

Они измеримы и ограничены, поскольку измеримы и ограничены управления и*(/), ui(0> um(t), а ото­ бражения ф и f непрерывны. Поэтому с помощью лем­ мы 2 можно построить однопараметрические семейства

выполняются для всех t, х , х', и, удовлетворяющих со­ отношениям |х — х, (/) 1< а, 1х' — X, (/) I < а, « е ( / П о ­ ложим

1 / = И - ) е С п([/0, Д]) III х ( •) — х, ( ■) |с < а)

1 ф(т, х (г), v (а) (т)) —ф(т, х'(т), v {а') (т)) —

— Фх (х>х.(г), и, (т)) (х (т) — х'(т)) —

т

— V (а/ — а}) (ф (т, х, (т), иs(т)) — ф (т, х. (т), и, (т))) dx < y=i

It [ф(т, х (т), V (а) (т)) —Ф (т, х'(т), v (а) (т)) —

/q

— Фх (х, X, (т), v (а) (т)) (х (т) —х' (т))] dx\ +