книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

Единственное отличие этого метода от изложенного ранее способа преобразования квадратных матриц состоит в ином определении матри­ цы А- ; теперь А- представляет собой транспонированную матрицу А, причем содержавшиеся в последней ненулевые элементы заменяются их обратными величинами; такая замена предполагается обращением диагональной подматрицы А. Если размер матрицы А равен р X q, то и матрица А имеет тот же размер, а матрица А- — размер q X р.

Упражнения

1. Для каждой из приведенных матриц найдите обобщенную обратную матрицу:

2.Для каждой матрицы, приведенной в упражнении 1 главы VI, найдите обобщенную обратную матрицу.

3.Для каждой системы уравнений найдите систему линейно-независимых

200

4.С помощью обоих методов, рассмотренных в параграфе 2, покажите, что приведенные в упражнении 3 уравнения совместны.

5.На предприятии, выпускающем четыре вида товаров, установлены три

разные машины. Владелец предприятия стремится полностью использовать эти машины на протяжении 8 часов в сутки. Данные о том, сколько времени (в часах) должна эксплуатироваться та или иная машина для того, чтобы изготовить каждый из товаров (единицу товара), приведены в матрице:

В строках этой матрицы представлены данные, относящиеся к различным ма­

рицательные значения; между тем, с точки зрения предпринимателя, такие решения лишены смысла. Каково условие, которое гарантировало бы, что век­ тор решений, записанный в общей форме, не будет содержать отрицательных элементов? (При этом допускаются дробные решения.)

г) Предприниматель обнаружил, что наибольшим спросом пользуется пер­ вый товар. Найдите решение, которое обеспечивало бы максимальный выпуск первого товара, по-прежнему удовлетворяя условию полного использования всех трех машин.

д) Как будет выглядеть решение в том случае, когда предприниматель стремится, полностью используя все три машины, максимизировать выпуск четвертого товара?

6 . Ответьте на все вопросы, поставленные в упражнении 5, изменив пред­ положение об использовании машин. Будем считать, что машины должны непре­ рывно использоваться не 8 часов в день, а 40 часов в неделю (в этом упражне­ нии следует отыскать лишь целочисленные решения).

7. Ответьте на все вопросы упражнения 5, вновь изменив предположения об использований машин. Будем считать, что первая и вторая машины должны непрерывно использоваться на протяжении 40-часовой недели, а третья машина не может непрерывно эксплуатироваться, поскольку требует ремонта и наладки

в пределах допустимых значений может быть представлена многочленом второй степени

yi=a + bqi+ cqh

где yt обозначает валовой доход фирмы, a qt — выпуск продукции в период i. Допустим также, что наблюдения охватывают лишь два периода и, следоватетельно, имеются лишь два значения qi и уу.

201

а) Составьте основывающуюся на этих двух наблюдениях систему ур нений, которая представляла бы функцию валового дохода в матричной форме:

а

А Ь = у .

с

б) Определите всю совокупность функций валового дохода, которые удов­ летворяли бы системе уравнений из требования а.

в) Сколько линейно-независимых решений содержит эта система уравнений? Сопоставьте ответ на этот вопрос с ответом на вопрос б.

9. Вернемся к упражнению 10 главы IV, в котором рассматривалась от­ грузка произведенных товаров с предприятий на склады при следующих ограни­ чениях: выпуск продукции не может выйти за пределы наличных производствен­ ных мощностей предприятий, а складские помещения должны быть полностью использованы. Решите приведенные в этом упражнении уравнения А х = у с помощью обобщенной обратной матрицы. Найдите систему линейно-независи­ мых решений. Сколько линейно-независимых решений будут иметь эти урав­

and minimum variance linear unbiased estimators. J. Res. Nat. Bur. ofi Standards,

202

1. ВВЕДЕНИЕ

Цепи Маркова — это частный класс вероятностных моделей, ко­ торые часто применимы к проблемам выбора решений в области эко­ номики. В марковской цепи рассматриваемая система переменных раз­ делена на отдельные, четко определенные, взаимоисключающие со­ стояния, ив каждый момент времени система находится водном и толь­ ко в одном из этих состояний. Для любого текущего состояния системы вероятность быть в каком-либо другом состоянии в следующий момент времени зависит только от состояния системы в настоящий момент, т. е. эта вероятность не зависит от того, как система достигла своего настоя­ щего состояния.

Пример. Рассмотрим ситуацию, при которой машина может на­ ходиться в одном из двух состояний: «работает хорошо» или «нуждает­ ся в регулировке»1. Если машина работает хорошо сегодня, вероятность того, что она будет работать хорошо завтра, равна 0,7, а вероятность того, что она завтра будет нуждаться в регулировке, равна 0,3. Пред­ положим, что машина имеет, механизм саморегулирования, который действует недостаточно эффективно, так что, если машина нуждается в регулировке сегодня, вероятность того, что она будет работать хо­ рошо завтра, равна 0,6, а вероятность того, что она будет нуждаться

врегулировке завтра, равна 0,4.

Втабл. 1 представлены вероятности изменений при состоянии 1 (ситуация, в которой машина «работает хорошо») и при состоянии 2 (ситуация, в которой машина «нуждается в регулировке»). Заметим, что сумма вероятностей по любой строке равна 1.

Матрица вероятностей перехода Р, полученная по табл. 1, имеет

вид:

204

Т а б л и ц а 1

Вероятности перехода

Предположим, что машина начинает работу в состоянии 1 («работает хорошо») в исходный момент времени, который мы будем считать ну­ левым периодом. Если элементы вектора вероятностей состояний х'о представляют собой вероятности пребывания машины в различных состояниях в период 0, тогда

х'о = [1 0].

Здесь индекс 0 при х' указывает на период времени, к которому отне­ сен х ', и не является индексом элемента какой-либо матрицы.

В этих обозначениях вектор-состояний1 машины в период 1 (х{) вычисляется умножением слева на матрицу вероятностей перехода Р:

Вектор состояний машины в период 2 может быть вычислен следующим образом:

Таким образом, вектор состояний машины в период я равен вектору состояний в период 0, умноженному на я-ю степень матрицы вероят­ ностей перехода Рп (см. раздел г параграфа 5 главы II). Так, напри­ мер, если машина начинает с состояния 1 в периоде 0, то вероятность того, что она будет в состоянии 1 в период 2, задается первым элемен­ том вектора %2, а именно 0,67.

Поведение машины с течением времени, описанное матрицей вероятностей переходов Р и бесконечной последовательностью векторов состоянийх ' о , х [ , ... , х ' п , ..., описывается цепью Маркова. Единственным свойством, характеризующим цепь Маркова, является тот факт, что вероятность перехода из любого состояния в любое другое не зависит от того, каким путем цепь достигла текущего состояния. Например, если машина находится в состоянии 2 в период 2, вероятность перехода в состояние 1 в следующем периоде равна р21=0,6 безотносительно

ктому, как машина попала в состояние 2. Это свойство часто называют

1Здесь и далее термин «вектор состояний» употребляется вместо термина «вектор вероятностей состояний».

2 0 5

марковским, или свойством отсутствия памяти. Нет необходимости помнить, как система достигла того или иного состояния в тот или иной период времени; состояние системы в некоторый период времени и мат­ рица вероятностей перехода содержат всю необходимую информацию о системе и вероятностях ее будущих изменений1. Марковское свойство может встречаться не только в случаях дискретных описаний состоя­ ний (в нашем примере было два дискретных состояния), но также и в случаях непрерывных описаний состояний системы. Если это свойство существует у системы с непрерывным множеством состояний, то такую систему называют марковским процессом,’ если же множество состояний дискретно, то ее называют марковской цепью. В этой главе рассматриваются только марковские цепи, хотя большинство резуль­ татов может быть перенесено (с соответствующими изменениями форму­ лировок) на случай марковских процессов.

2.СТАЦИОНАРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вприложениях марковских процессов к проблемам бизнеса и эко­ номики одним из важных аспектов является длительное поведение си­ стемы, т. е. ее поведение после окончания действия начальных условий. Предположим, что после очень большого числа периодов вектор со­ стояний х'п в период п совпадает с вектором состояний x„+i в период (п + 1) и независим от начального вектора состояний xq. Отбрасывая нижний индекс, мы назовем такой вектор х '■стационарным вектором марковской цепи, описанной матрицей Р\ элементы вектора х' назы­ ваются стационарными вероятностями. Такой стационарный вектор

(если он существует) есть вектор состояний, который определяется уравнением2

примере. Если система находится в состоянии 2 в нулевом периоде, то векторы состояний будут:

1Пример процесса, для которого не выполняется марковское свойство, дан в упражнении 16.

2Условия, при которых существуют стационарные вероятности марковских процессов, будут рассмотрены в параграфе 3 .

206

любом начальном состоянии. Для подтверждения этого результата мы определим вектор стационарных состояний х ', решая уравнение (1).

Для заданной матрицы Р уравнение (1) имеет вид:

Обозначив х = [я* я 2] и подставив эти обозначения в уравнение (2), получим

ях = 0,7% + 0,6я2;

Одно из двух уравнений в системе (3) лишнее1, так как они оба сво­ дятся к

Однако существует еще одна связь между стационарными вероятнос­ тями: их сумма должна равняться 1, так как система может находиться в одном из допускаемых состояний; следовательно,

эквивалентную матричному уравнению

Следовательно, долгосрочная вероятность того, что система будет на- 2

ходиться в первом состоянии («работает хорошо») равна - а долго-

срочная вероятность находиться в состоянии 2 («нуждается в регули­

ровке») равна - . Эти результаты не зависят от начального положения

системы, т. е. от того, начинает ли машина работать хорошо или сразу нуждается в регулировке.

1Система уравнений (3) избыточна и в общем случае.

207

3.НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ, ПЕРИОДИЧЕСКОЕ И ЭРГОДИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ

Впримере с машиной стационарные вероятности существовали, каждое из состояний имело ненулевую стационарную вероятность и эти вероятности полностью описывали поведение системы в течение дли­ тельного времени. Мы сейчас рассмотрим некоторые случаи, отличные от примера с машиной.

а) НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ И ПОГЛОЩАЮЩИЕ СОСТОЯНИЯ

Неустановивишмся состоянием марковской цепи называется сос­ тояние с нулевой стационарной вероятностью. Поясним подобную си­ туацию.

Пример. Рассмотрим марковскую цепь, которая имеет следующую матрицу вероятностей перехода:

0,2 0,8

0 1

Однажды система достигает состояния 2 и остается в нем навсегда, так как

Р 22 = 1 (И Р 21 = 0).

Здесь состояние 1 есть неустойчивое состояние, и вектор стационар­ ных вероятностей равен х' = [0 1]. Состояние 2 часто называют по­ глощающим состоянием (ловушкой).

Пример. Предположим, машина может быть в трех состояниях: состояние 1 — машина сломана и требует ремонта, состояние 2 — нуждается в регулировке, 3 — работает хорошо, а матрица вероят­ ностей перехода такова:

При этих условиях можно спросить: с какой вероятностью машина будет находиться в состоянии i после п периодов времени? Мы можем также узнать вероятность пребывания в состоянии i, когда п бесконеч­ но увеличивается (т. е. стационарную вероятность). Если Хо есть век­ тор состояний в период 0, то вектор состояний в период п будет таким:

Х п ~ X q Рп.

Если машина в начальном состоянии нуждается в регулировке, тогда

*6 = [0 1 0];

208

двумя периодами позже вероятности будут следующие:

Предположим, что требуется купить с аукциона подержанную ма­ шину и невозможно осмотреть ее заранее. На аукционе продаются сотни таких машин (все они продаются поштучно), из них половина сломана и требует ремонта, треть нуждается в регулировке и шестая часть находится в рабочем состоянии. Тогда, имея в виду будущую покупку, мы можем записать:

J J 2 3 6

Если поведение машины характеризуется приведенной ранее матрицей Р, то

Следовательно, если машина куплена на этом аукционе, то с вероят­ ностью 0,66 она окажется сломанной и будет нуждаться в ремонте спустя два периода времени. Заметим, что состояние 1 является по­ глощающим состоянием; вектор стационарных вероятностей равен

[1 0 0].

б) ПЕРИОДИЧЕСКОЕ (ЦИКЛИЧЕСКОЕ) ПОВЕДЕНИЕ

Пример. По матрице вероятностей перехода Р,

0 1 0 Р 0 0 1 1 0 0

порождающей марковскую цепь, можно судить о периодическом, или циклическом, поведении. Стационарных вероятностей для такой цепи не существует, так как вероятности состояний при больших п не стре­ мятся к определенным величинам, независящим от начального состоя­ ния. Чтобы показать это, предположим, что система в период 0 находи­ лась в состоянии 1, тогда:

х ' = [1 0 0];

209