книги из ГПНТБ / Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник

точки, как находящиеся внутри площадки, так и на ее контуре, проведем линии тока (рис. 46). Совокупность этих линий тока обра­ зует некоторый объемный пучок, называемый трубкой тока.

При установившемся движении жидкости трубка тока обладает следующими свойствами:

1)так как линии токов, из которых состоит трубка, с течением времени не изменяют своей формы, то и форма всей трубки тока оста­ ется неизменной во времени;

2)ввиду того что линии тока являются в данном случае также траекториями частиц жидкости, перетекание последней через боко­

Скорости движения отдельных струек, из которых складывается поток, различны. Как показывает опыт, наибольшие скорости имеют частицы жидкости, находящиеся у оси потока, наименьшие — у сте­ нок. Таким образом, поток жидкости рассматривается состоящим из отдельных элементарных струек, движущихся с различными ско­ ростями.

В действительности, рассматривая перемещение элементарного объема жидкости, можно установить, что при этом в общем случае наряду с поступа­ тельным движением имеют место вращение вокруг некоторой мгновенной осп и одновременно деформация (изменение формы) рассматриваемого объема. Вра­ щательные движения в гидродинамике связывают с понятием о вихре. Такие движения всегда наблюдаются при течении реальных жидкостей.

Рассмотрим в массе движущейся жидкости некоторую элементарную жид­ кую частицу А , вращающуюся в данный момент времени вокруг оси 1— 2 с угло­ вой скоростью ш * (рис. 47, а). Далее на весьма малом расстоянии от центра частицы А через точку 2 проведем ось вращения 2—3 другой частицы В для того же самого момента времени. Аналогичные построения выполним и для ряда других частиц С, D, Е и т. д. В результате подобных построений получим не­ которую ломаную линию 1— 2—3—4—5, которая в пределе, при уменьшении отдельных составляющих ее отрезков до бесконечно малой величины, превра­ щается в кривую, называемую вихревой линией. Как это следует из построения,

* Необходимо иметь в виду, что в общем случае неустановившегося движе­ ния жидкости положение этой оси, так же как и величина скорости вращения частицы, с течением времени изменяется.

62

каждый элементарный отрезок вихревой линии представляет собой мгновенную ось вращения соответствующей жидкой частицы.

Если взять в жидкости элементарную площадку AF (рис. 47, б) и через все ее точки провести вихревые линии, то совокупность совместно вращающихся вокруг этих линий жидких частиц образует так называемую вихревую трубку.

Из проведенных построений очевидна аналогия между понятиями вихре­ вой линии и вихревой трубки, с одной стороны, и линией тока и элементарной струйкой, с другой стороны.

Появление вихрей можно объяснить следующим образом. При движении жидкости у стенок, ограничивающих поток, всегда образуется некоторый непод­ вижный, прилипший слой. Между от­ дельными неподвижными жидкими ча­ стицами этого слоя и какой-нибудь бли­ жайшей к ним движущейся частицей (на нижней ее поверхности) возникает сила трения, направленная в сторону, обрат­ ную движению. Подобная же, но про­ тивоположно направленная сила трения появляется и на верхней поверхности этой частицы между ней и другой движущейся частицей. Следовательно, на каждую частицу жидкости действу­ ют две равные по величине и обратные по направлению силы, образующие па­

жидких частиц, передающиеся 'от одной частицы к другой и ведущие к образованию вихрей.

§ 21. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОТОКА

При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характери­ зующих потоки с гидравлической и геометрической точек зрения. Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока, смоченный периметр и гидравлический радиус.

П л о щ а д ь ю ж и в о г о с е ч е н и я, или, короче, живым сечением потока, называется площадь сечения потока, проведенная нормально к направлению линий тока, т. е. нормально к направле­ нию скоростей элементарных струек будем обозначать эту площадь через F. В ряде случаев живые сечения потока, строго говоря, являются криволинейными. Так, при движении жидкости в кони­ чески расходящейся трубе (рис. 48), когда поток состоит из ряда расходящихся элементарных струек, живое сечение представляет собой криволинейную поверхность АВ. Однако, если расхождение струек невелико (движение жидкости в этом случае называют мед­ ленно изменяющимся), то практически под живым сечением обычно понимают плоское сечение потока, нормальное к общему направлению

1 В дальнейшем живое сечение часто будем называть просто поперечным сечением.

63

ностью или частично (во втором случае часть живого сечения огра­ ничивается открытой поверхностью жидкости). Если стенки ограни­ чивают поток полностью, движение жидкости называют напорным; если же ограничение частичное, движение называют безнапорным \ Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше последнего. Безнапорное же движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности,

обычно равным атмосферному.

Примером напорного движения является, например, движение жидкости в трубопроводе, при ее перекачке насосами, истечении из

резервуара или водонапорного бака; примером безнапорного дви­ жения может служить движение жидкости в открытых каналах и реках.

Часть периметра живого сечения, по которому поток соприка­ сается с ограничивающими его стенками, называют с м о ч е н н ы м п е р и м е т р о м ; будем обозначать его через А. При напорном дви­ жении жидкости геометрический и смоченный периметры совпадают по величине. В случае же безнапорного движения жидкости смочен­ ный периметр будет отличен от геометрического, так как линия, по которой жидкость соприкасается с воздухом, в длину смоченного периметра не входит. Так, в случае канала, изображенного на рис. 49, смоченный периметр А — b + 2h, геометрический же периметр ра­ вен 2Ъ + 2h.

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру

ч е н и я .

Размерность живого сечения (площадь) —- [Z,2], смоченного пе­ риметра (длина) — [L|; гидравлический радиус также имеет раз­ мерность длины [Ь].

1 Напорные потоки иногда называют «сплошь заполненными», а безнапор­ ные — «открытыми руслами».

64

Подчеркнем, что гидравлический радиус и геометрический ра­ диус — два совершенно различных понятия. Например, при на­ порном движении жидкости в круглой трубе диаметра d геометри-

—. При движении жидкости в открытом канале (см. рис. 49)

гидравлический радиус R ~ -f>: ^ •; понятие же геометрического

радиуса этому сечению вообще не присуще.

протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени. При этом количество протекающей жидкости, измеренное в объемных

следующим образом. Обозначим через AFa площадь некоторого по­ перечного сечения струйки а—а (рис. 50). Тогда объем жидкости qaAF, прошедшей через это сечение за весьма малое время АТ, будет равен ALAFcp. В этом выражении AL есть расстояние, измеренное вдоль оси струйки, на которое перемещаются в течение указанного времени АТ частицы жидкости, находившиеся в начальный момент

рость течения жидкости, составляющей элементарную струйку. Будем неограниченно уменьшать промежуток времени ДТ. Тогда в пределе, при АТ, стремящемся к нулю, получим

Яа = № а.

Поскольку же сечение элементарной струйки было выбрано нами

т. е. расход жидкости, проходящей через поперечное сечение элементарой струйки, равняется произведению площади поперечного

Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то, очевидно, общий расход жидкости Q для всего потока в целом можно опреде­

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распреде­ ления скоростей в поперечном сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммиро­ вание оказывается невозможным. Поэтому сделаем предположение, что частицы жидкости по всему поперечному сечению потока дви­ жутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость (с которой должны двигаться через сечение потока все частицы для того, чтобы расход жидкости был равен расходу, полу­ чаемому при движении жидкости с действительными, неодинако­

66

Расход жидкости", подсчитанный по средней скорости, может быть представлен объемом цилиндра с площадью основания F и высотой кср (рис. 51, а). Если же расход определяется по действи­ тельным скоростям, закон распределения которых в поперечном сечении потока задан некоторой кривой, например параболой, то величина его определяется объемом соответствующего парабо­ лоида вращения с той же площадью основания F, как это и показано на рис. 51, б. Очевидно, что (так как независимо от методов под­ счета расход должен быть одним и тем же) объемы цилиндра и пара­ болоида, определяющие этот расход, должны быть равными между собой.

Если движение жидкости установившееся и одновременно с этим размеры и форма сечений вдоль потока не изменяются и, следова­ тельно, средние скорости во всех поперечных сечениях потока оди­

состоит поток жидкости, весьма незначительна и очень мал также угол расхождения между осями отдельных струек; поэтому попереч­ ные сечения потока можно рассматривать как плоские сечения, нор­ мальные к оси потока (это и было принято нами ранее). Распределе­ ние давлений по сечению при медленно изменяющемся движении подчиняется закону гидростатики. Этому понятию часто соответ­ ствует, например, движение в естественных руслах, когда живое сечение изменяется непрерывно, но достаточно плавно вдоль потока.

Наконец, следует иметь в виду, что в зависимости от метода исследования потоков жидкости различают движения: одномерное, двумерное и трехмерное

Если при исследовании потока исходить из упрощенной струй­ чатой схемы движения и пользоваться понятием средней скорости, то для его описания достаточно проследить за изменением скорости, давления и других величин в зависимости только от одной пере­ менной — расстояния рассматриваемого поперечного сечения от

1 Иногда их называют также одноразмерным, двуразмерным и трехразмер­ ным.

некоторого начального сечения потока. Подобное движение назы­

Если же полностью учитывается изменение скоростей, давлений и т. д. по двум или трем координатным осям, движение соответственно называется д в у м е р н ы м , или п л о с к и м , и т р е х м е р н ы м ,

Выделим сечениями 1—1 и 2—2 (рис. 52) некоторый отсек эле­ ментарной струйки. В этот отсек в единицу времени через сечение 1—1 втекает объем жидкости, равный

?! = v\ЛЛ,

а через сечение 2—2 из него же вытекает объем, равный

? 2 = ^2

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно об­

Подобные соотношения можно составить для любых двух сече­ ний струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Переходя к потоку в целом и используя понятие средней скорости, получим путем аналогичных рассуждений уравнение неразрывности

6 8

Из уравнения (3.9) следует, что

^lcp Е2

(3.10)

у2 ср F1

т. е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрыв­ ности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

§ 24. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравне­ ние Бернулли, устанавливающее зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки. При

выводе этого уравнения также ограничимся случаем установивше­ гося медленно изменяющегося движения.

Выделим в пространственной элементарной струйке объем, огра­ ниченный в некоторый момент времени Т сечениями 1—1 и 2—2, нормальными к оси струйки О f i 2 (рис. 53). Первоначально будем считать жидкость идеальной, т. е. лишенной вязкости. Силы внут­ реннего трения в такой жидкости отсутствуют, и к выделенному объему струйки приложены только силы тяжести и силы гидродина­ мического давления. Пусть за некоторый малый промежуток вре­ мени АТ указанный объем переместится в положение Г —Г , 2'—2'. Применим к его движению теорему кинетической энергии (называ­ емую также теоремой живых сил), согласно которой приращение кинетической энергии (живой силы) движущейся системы материаль­ ных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему. Эта теорема может быть выражена следующим уравнением:

69

где AW — приращение кинетической энергии; 2Л — сумма работ действующих сил (напомним, что выражение для кинетической

А — PAS; в этих выражениях т — масса, v — скорость материаль­ ной точки, Р — равнодействующая сил, приложенных к точке; Д5 — проекция элементарного перемещения точки на направление силы).

В рассматриваемом случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т. е. как разность кинети­ ческой энергии объема Vl'.2' и объема V ,_2. Замечая, что объем Vх>_2 входит как составная часть в выражения для объемов F j_ 2

иV w .

Fi_ 2 = v !_]/ + Vi'-a,

F1 /_2 ' = F 1 ' _ 2 + F2 - 2 ',

и имея в виду, что кинетическая энергия объема Fj' _ 2 при устано­ вившемся движении жидкости одинакова как в момент времени Т, так и в момент Т + Д71, приходим к выводу, что искомое прираще­ ние кинетической энергии в конечном счете определится разностью кинетической энергии объемов V2_2> и Vi-i'- Названные объемы являются результатом перемещения за время АТ торцевых сечений

ветствующие перемещения будут равны v^AT и v2AT, а рассматри­

Но по условию неразрывности расход во всех сечениях элемен­

m — pqAT.

Таким образом, выражение для приращения кинетической энер­

Перейдем теперь к определению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа силы тяжести равна про­ изведению этой силы на путь, пройденный точкой ее приложения, т. е. центром массы (тяжести) движущегося объема жидкости по вертикали. Рассматривая, как и ранее, выделенный объем струйки

70