книги из ГПНТБ / Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник

Следовательно, давление на дно зависит не от формы и объема сосуда, а только от площади дна и глубины жидкости в сосуде. По­ этому для сосудов разной формы (рис. 22), заполненных одной и той же жидкостью до одного и того же уровня Н и имеющих оди­ наковую площадь дна, сила полного давления на дно будет оди­ накова.

Это свойство жидкости, на первый взгляд противоречащее обыч­ ным представлениям, известно под названием г и д р о с т а т и ­

че с к о г о п а р а д о к с а .

Вряде случаев (например для прямоугольных стенок) полное давление на плоскую стенку можно определять графическим способом. Для этого (рис. 23) отложим у основания стенки нормально к ее поверхности отрезок, равный рgH, и соединим его конец прямой линией с точкой стенки,'взятой на

свободной поверхности жидкости. Таким образом будет получена так называемая эпюра давления

Рис. 22

(см. § 15), представляющая собой в данном случае прямоугольный треугольник. Выделим далее на стенке элементарную площадку AF, высотой Ah и шириной В, равной ширине стенки, и найдем силу

давления на эту площадку

AВ — р AF = рghB Ah.

т/ рginв

40

что совпадает с величиной полного давления R на рассматриваемую плоскую стенку.

Аналогичным образом можно определить полные давления и на другие типы плоских стенок. Так, например, для наклонной прямо­ угольной стенки полное давление определяется объемом наклонной трехгранной призмы (рис. 24).

§ 12. ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ

Сила давления жидкости на стенку, кроме величины и направле­ ния, характеризуется также точкой ее приложения; эта точка назы­ вается центром давления.

Рассмотрим весьма часто встречающийся на практике случай, когда стенка имеет ось симметрии, лежащую в вертикальной плоско­ сти. Центр давления в этом случае лежит на оси симметрии, и для его определения остается найти только одну вертикальную коорди­ нату. Для этого рассмотрим плоскую стенку (рис. 25), аналогичную изображенной на рис. 21, сохранив прежние обозначения

Используя теорему теоретической механики о моменте равнодей­ ствующей (момент равнодействующей силы относительно некоторой оси равняется сумме моментов составляющих сил относительной той же оси), приравняем сумму моментов сил давления на элементарные площадки AF относительно оси х, совпадающей с урезом жидкости,

Здесь I — расстояние в плоскости стенки от оси до центра тяжести элементарной площадки1, а 1, — расстояние от оси до центра дав­ ления О всей площади F.

Далее, имея в виду, что h — I sin а и hc — lc sin а, где 1С — рас­ стояние в плоскости стенки до центра тяжести с площади F, получим

2 pg sin a AFl2 = рglcsin aFl0

или

pgsin <x2 AFI2= pg sin aFlcl0,

и

%AFl2 = Flcl0.

Как известно, выражение 2 AFl2 представляет собой момент инерции / площади стенки F относительно оси х. Следовательно,

Fl0lc = I,

откуда

1 В пределе (при стремлении ширины элементарной полоски к нулю) это расстояние практически совпадает с расстоянием до центра давления элемен­

тарной полоски.

41

Таблица 10

Полное давление жидкости и глубина погружения центра давления для различных плоских стенок

Полученное выражение часто оказывается более удобным пред­ ставить в другом виде, заменяя момент инерции площади относи­ тельно оси, совпадающей с урезом жидкости, моментом инерции 1С относительно оси, проходящей через центр тяжести. В теоретической

механике между этими величинами устанавливается следующая зависимость:

/=,le + Fll

Подставив приведенное значение в выражение (2.8), получим окончательно

1* = 1‘ + Ж -

Из последнего выражения видно, что центр давления находится всегда ниже центра тяжести стенки (например, в случае прямо­

Величина полного давления, а также значение глубины погру­ жения центров тяжести и центров давления для некоторых плоских стенок различной формы приведены в табл. 10.

§ 13. ДАВЛЕНИЕ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Весьма широкое применение на практике имеют различного рода цилиндрические поверхности, подверженные давлению жидкости (например, стенки труб, резервуаров и всевозможных цилиндриче­ ских сосудов, секторные затворы плотин и т. и.).

Для определения полной силы давления в этом случае рассмотрим некоторую цилиндрическую поверхность ABCD (рис. 26, а), под­ верженную давлению жидкости. Исследуем условия равновесия объема жидкости АА iBCC ,Z), ограниченного снрава самой цилиндри­

На этот объем действуют следующие силы:

44

в объеме ABB XD tCD, над цилиндрической поверхностью. Этот объем носит название тела давления и для наглядности изображен отдельно на рис. 26, б (штриховкой показано сечение тела давления плоскостью, нормальной к оси тела).

Сечения тела давления для некоторых других случаев предста­ влены на рис. 27.

Необходимо иметь в виду, что вертикальная составляющая может иметь различное направление в зависимости от положения ограни­ чивающей поверхности по отношению к жидкости. Для случаев, когда жидкость находится над ограничивающей поверхностью, (рис. 27, а и б) эта сила Rz направлена сверху вниз и тело давления определяется действительным объемом жидкости над этой поверх­ ностью. Если же жидкость располагается под ограничивающей по­ верхностью (рис. 27, в) вертикальная составляющая Rz направлена

снизу вверх; тело же давления в этом случае соответствует фиктив­ ному объему жидкости над поверх­ ностью.

Зная составляющие, легко найти равнодействующую силу дав­ ления

Положение центра давления на цилиндрическую поверхность находят обычно графическим путем. Для этого на чертеже (рис. 28) проводят направления горизонтальной и вертикальной составля­ ющей Ry и Rz, первое на 1/ 3 расстояния от нижней кромки поверх­ ности, второе — через центр тяжести тела давления с и находят точку их пересечения. Затем через эту точку под углом (R, у) к го­

46

ризонтали проводят известное направление равнодействующей R , пересечение которой с цилиндрической поверхностью и определяет положение центра давления О.

В частном случае, когда цилиндрическая поверхность является поверхностью кругового цилиндра, положение центра давления определяется несколько проще. Так как силы гидростатического давления нормальны к площадкам, на которые они действуют, то сила давления на элементарные площадки и равнодействующая сила давления на всю поверхность проходят через центр кругового цилиндра. Поэтому для нахождения центра давления достаточно провести через геометрический центр с цилиндрической поверхности линию действия равнодействующей силы R до ее пересечения с по­ верхностью.

§ U . ДАВЛЕНИЕ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотренная в предыдущем параграфе задача об определении давления на цилиндрическую поверхность представляет собой част­ ный случай общей задачи о давлении на криволинейные поверхности. Для получения общего решения возьмем сосуд произвольной формы и выделим на его стенке какую-либо криволинейную поверхность S,

ограниченную контуром AMRN (рис. 29). Будем искать составля­ ющие полного давления на эту поверхность по координатным осям, выбрав, например, начало координат на свободной поверхности

и координатной плоскостью zOy. Отметим, что указанную плоскость проекций NN, так же как и направление самой оси х, можно выби­ рать различным образом.

На отсек жидкости, заключенной в объеме между поверхностью S, плоскостью NN и поверхностью проектирующего цилиндра,

47

образующие которого параллельны оси х, действуют следующие

заданную ось х равна сумме проекций на эту ось веса жидкости, находящейся между поверхностью S, поверхностью проектирующего цилиндра и плоскостью проекций, нормальной к оси х, и силы дав­ ления жидкости на проекцию поверхности S на ту же плоскость про­ екции.

Применение этой теоремы к частному случаю горизонтальности оси х приводит к выводам предыдущего параграфа.

§ 15. ЭПЮРЫ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

Изменения гидростатического давления на ограничивающую жидкость поверхность изображаются очень наглядно при помощи

кону, откладывают в определенном масштабе в виде отрезков, нор­ мальных к поверхности.

Предположим, например, что требуется построить эпюру абсо­ лютного давления на вертикальную стенку АВ сосуда, наполненного жидкостью плотностью р до уровня h (рис. 30, а); давление на сво­ бодной поверхности жидкости равно атмосферному. Изменение ги-

48

простатического давления по высоте стенки в этом случае опреде­ ляется уравнением

РРалм “Ь Р&Ъ*?

представляющим уравнение прямой линии. Поэтому для построения эпюры давления необходимо отложить от точки А на свободной

поверхности жидкости (h = 0) отрезок аА, соответствующий в мас­ штабе построения атмосферному давлению, а от точки В у дна со­ суда — отрезок ЪВ, изображающий давление в этой точке р =

=Р а г м + рgh, и соединить концы этих отрезков прямой аЪ. Полу­

Если стенка состоит из ряда отдельных плоских граней, накло­ ненных под различными углами к горизонту (рис. 31, а) в виде некоторой ломаной линии ABCD, эпюра гидростатического давле­ ния может быть построена также, как и для обычной плоской стенки. Для этого сначала отложим от точки В нормально к грани АВ отрезок ВЪ, изображающий гидростатическое давление в этой точке. Затем соединим точки А и Ъпрямой линией и получим эпюру давле­ ния на указанную грань в виде прямоугольного треугольника АЪВ. Далее перейдем к построению эпюры давления на грань ВС.

49

Отложим от точек В и С этой грани нормально к ней отрезки, соответ­ ствующие гидростатическим давлениям — от точки В отрезок ВЬ', равный ВЬ, и от точки С отрезок Сс. В результате получим трапецию ВЪ'сС, представляющую собой эпюру давления на грань ВС. Ана­ логичным путем построим эпюру давления и для последней грани

CD (трапеция Cc'dD).

Отметим также случай, когда стенка имеет криволинейную форму. Гидростатическое давление в отдельных точках такой стенки также изображается отрезками прямых, нормальных к стенке в соответ­ ствующих точках, эпюра же давления представит собой в этом случае криволинейный треугольник (рис. 31, б).

§ 16. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СОСУДОВ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ВНУТРЕННЕМУ ДАВЛЕНИЮ

Тонкостенные цилиндрические сосуды, подверженные внутрен­ нему давлению, имеют весьма широкое распространение в технике (трубопроводы, котлы и различного рода емкости, заполненные жид­ костью или газом). Основной задачей при расчетах таких сосудов является определение необходимой толщины их стенок.

Пусть (рис. 32) имеется горизонтальный трубопровод внутрен­ него диаметра D, заполненный жидкостью, находящейся под избы­ точным давлением р Т Под влиянием этого давления стенки трубо­ провода испытывают действие разрывающего усилия, стемящегося разорвать трубопровод по его образующей. Таким образом, стенки трубопровода будут работать на растяжение.

Составим для участка трубопровода длиной L обычное для таких случаев уравнение прочности

<? = К Л /,

где Q — разрывающее усилие; / — площадь сечения стенок, по кото­ рой возможен разрыв; [ор] — допускаемое напряжение на растяже­ ние. Так как поперечное сечение трубы симметрично относительно ее оси, достаточно рассмотреть разрывающее усилие Q в какойнибудь одной плоскости. Разрывающее усилие, очевидно, предста­ вит собой силу давления на полуцилиндрическую поверхность и бу-

1 Так как в данном сечении трубы изменение давления по вертикали незна­ чительно, им обычно пренебрегают.

5 0