книги из ГПНТБ / Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник

где масса т есть плотность жидкости р, умноженная на ее объем L3,

т = рL 3,

L

а ускорение определяется приращением скорости о = — в единицу

времени Т:

L

а ~ f2 •

Следовательно,

Q = p L3 Y z = p ~ = ри2Ь2.

которое и представляет собой математическое выражение общего за­ кона динамического подобии, впервые сформулированного Ньюто­ ном (здесь Kq — масштаб сил).

Рассмотрим случай, когда решающее значение из действующих сил имеют силы внутреннего трения жидкости (например, при движе­ нии жидкости по горизонтальному трубопроводу). По основному закону внутреннего трения (см. § 32, уравнение (4.1)) эти силы могут быть выражены следующим образом:

<? = р£2 -^- = щ;£,

где р — абсолютная вязкость жидкости. При этом основное уравне­

Уравнение (4.11) и является условием динамического подобия при действии сил внутреннего трения жидкости.

Таким образом, если в рассматриваемом случае для двух потоков

жидкости величина — имеет одинаковое значение, эти потоки будут

подобны между собой динамически, т. е. в них будут происходить

одинаковые механические процессы и будут иметь место одинаковые режимы движения. Этот з а к о н п о д о б и я установлен Р е ft- н о л ь д с о м .

самом деле, понимая для случая цилиндрической трубы под v сред­ нюю скорость потока, а под L такой характерный линейный размер,

как диаметр трубы d, этому выражению можно придать вид

тождественный обычному выражению числа Рейнольдса (4.7). Сле­ довательно, в рассматриваемом случае критерием динамического подобия потоков является число Рейнольдса и условие подобия (4.11) равносильно тому, что число Re одинаково для обоих потоков.

После этого становится понятным, почему число Рейнольдса по­ зволяет в такой определенной форме устанавливать в потоке наличие того или иного режима движения.

Если влияние вязкости незначительно и движение жидкости в основном обусловливается действием сил тяжести, условие дина­ мического подобия потоков (4.11) не является решающим и не опре­ деляет характер движения. В этом случае в основное уравнение дина­ мического подобия (4.10) вместо силы Q надо подставить значение силы тяжести

Q = mg = pL3g.

При этом указанное уравнение принимает вид

P i ^ i _ Pi^fgi

*Р2-^|^2

или, после сокращений,

применяется при моделировании потоков в тех случаях, когда из действующих сил решающее значение имеют силы тяжести, напри­ мер, при моделировании большинства гидротехнических сооруже­ ний, истечении жидкости через водосливы, изучении волнового сопротивления, испытываемого движущимися кораблями, и т. д.

В том случае, когда преобладающее влияние имеет сила поверх­ ностного натяжения (например, при истечении жидкости из капил­ лярных отверстий), в уравнение (4.10) вместо Q следует подставить значение этой силы, определяемое по формуле (1.10),

Q = pL2 = -j- = oL,

где а — коэффициент поверхностного натяжения.

112

Тогда имеем

Необходимо иметь в виду, что одновременное выполнение раз­ личных законов подобия в большинстве случаев практически неосу­ ществимо. Поэтому при моделировании гидравлических явлений обычно исходят только из того закона подобия, который в рассма­ триваемом случае имеет решающее значение.

§ 36. ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ

Равномерное движение жидкости возможно лишь при отсутствии местных сопротивлений. Следовательно, в этом случае существуют лишь линейные потери напора.

С целью получения общего выражения для этих потерь составим динамическое уравнение (т. е. уравнение Бернулли) равномерного движения потока жидкости, безразлично напорного (слу­ чай движения в трубопрово­ де) или безнапорного (случай движения в открытом ка­ нале).

Предположим, имеется поток жидкости с равномер­ ным движением, ось которо­ го наклонена к горизонту под углом а (рис. 77). Выде­ лим в этом потоке двумя жи­ выми сечениями 2—2 и 2—2 объем малой длины L и при­

меним к его движению теорему теоретической механики о движе­ нии центра масс. Так как движение жидкости равномерное, то уско­ рение центра масс выделенного объема равняется нулю. Отсюда следует, что сумма проекций всех внешних сил, приложенных к указанному объему, на любую ось также должна быть равна нулю.

Такими внешними силами являются:

силы давления Р^ и Р 2 в сечениях 1—1 и 2—2, нормальные к этим сечениям и направленные: первая — в сторону движения, вторая — в сторону, обратную движению; эти силы равны произведению сред­ них гидродинамических давлений в этих сечениях pi и р 2 на площадь сечения потока F:

Р\— P\F, Рг = Р^\

113

силы давления на боковую поверхность рассматриваемого объема жидкости со стороны ограничивающих его стенок рп, направленные нормально к этой поверхности;

сила тяжести (вес объема, ограниченного сечениями 1—1 и 2—2), направленная по вертикали вниз, определяемая выражением

G = pgFL',

сила сопротивления движению Т.

Сделаем допущение, что все частицы жидкости движутся с оди­ наковыми скоростями, равными средней скорости потока. Тогда сила сопротивления будет равна силе трения, возникающей на боко­ вой поверхности выделенного объема. Для ее определения обозначим силу трения, приходящуюся на единицу поверхности (т. е. касатель­ ное напряжение), через т. При этом полная сила трения будет

Т = тА1„

где А — смоченный периметр того же объема, между сечениями 1—1 и 2—2 эта силча направлена параллельно оси потока в сторону, обрат­ ную течению.

Составим сумму проекций всех перечисленных сил на ось хх, параллельную оси потока. С учетом того, что силы рп не дают проек­ ции на указанную ось, получим

Р, + Р2+ Gsin а — Т —0.

Подставляя сюда установленные выше выражения отдельных сил

Сравнивая затем полученное уравнение с уравнением Бернулли в обычной форме (3.24) и применяя его также для случая равномер­ ного движения (yj = vz), приходим к следующему общему выраже­ нию для потерь напора при равномерном движении:

114

§ 37. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Рассмотрим основные закономерности ламинарного режима при равномерном движении в круглых трубах, ограничиваясь случаями, когда ось трубы горизонтальна. При этом мы будем рассматривать уже сформировавшийся поток, т. е. поток на участке, начало кото­ рого находится от входного сечения трубы на расстоянии, обеспечи­ вающем окончательный устойчивый вид распределения скоростей по сечению потока.

Имея в виду сделанное ранее определение ламинарного режима, при котором движение имеет слоистый (струйный) характер и про­ исходит без перемешивания частиц, следует считать, что в ламинар­ ном потоке будут иметь место только скорости, параллельные оси

трубы, поперечные же скорости будут отсутствовать. Можно пред­ ставить себе, что в этом случае движущаяся жидкость как бы раз­ деляется на бесконечно большое число бесконечно тонких, концентрично расположенных цилиндрических слоев, параллельных оси трубопровода и движущихся один внутри другого с различными ско­ ростями, -увеличивающимися в направлении от стенок к оси трубы (рис. 78). При этом скорость в слое, непосредственно соприкаса­ ющемся со стенками, вследствие прилипания равна нулю и достигает максимального значения в слое, движущемся по оси трубы.

Принятая схема движения и введенные выше упрощающие пред­ положения позволяют теоретическим путем установить закон рас­ пределения скоростей в поперечном сечении потока при ламинарном режиме.

Для этого поступим следующим образом. Обозначим (рис. 79) внутренний радиус трубы через г и выберем начало координат в цен­ тре ее поперечного сечения О, направив ось х по оси трубы, а ось z по вертикали. Выделим далее внутри трубы объем жидкости в виде цилиндра некоторого радиуса у длиною L и применим к нему урав­

115

из уравнения (4.16), будет параболой с осью, совпадающей с осью трубы.

Из этого выражения видно, что величина т изменяется по линей­ ному закону; наименьшее значение т = 0 будет при у = 0 на оси

трубы, а наибольшее значение т = ^ ~2i f ^ у стенок при у — г.

т

----' \

Рис. 80

График изменения т по сечению представлен на рис. 80. Таким обра­ зом, при ламинарном режиме в цилиндрической трубе скорости в по­ перечном сечении потока изменяются по параболическому закону, а касательные напряжения — по линейному закону.

Полученные результаты справедливы для участков трубы с вполне развившимся ламинарным течением. В действительности, жидкость, которая поступает в трубу, должна пройти от входного сечения определенный участок, прежде чем в трубе установится соответ­ ствующий ламинарному режиму параболический закон распределе­ ния скоростей.

Развитие ламинарного режима в трубе можно представить себе следующим образом. Пусть, например, жидкость входит в трубу из резервуара большого размера и кромки входного отверстия хорошо закруглены. В этом случае скорости во всех точках входного по­ перечного сечения будут почти одинаковы, за исключением весьма тонкого, так называемого пограничного (или пристенного) слоя^ вблизи стенок, в котором вследствие прилипания жидкости к стен­ кам происходит почти внезапное падение скорости до нуля. Поэтому кривая скоростей во входном сечении может быть представлена до­ статочно точно в виде отрезка прямой (рис. 81).

По мере удаления от входа, вследствие трения у стенок, слои жидкости, соседние с пограничным слоем, начинают затормаживаться, толщина этого слоя постепенно увеличивается, а движение в нем, наоборот, замедляется. Центральная же часть потока (ядро течения), еще не захваченная трением, продолжает двигаться как одно целое, с примерно одинаковой для всех слоев скоростью, причем (так как

117

количество протекающей жидкости остается неизменным) замедле­ ние движения в пограничном слое неизбежно вызывает увеличение скорости в ядре.

Таким образом, в середине трубы, в ядре, скорость течения все время возрастает, а у стенок, в растущем пограничном слое, умень­ шается. Это происходит до тех пор, пока пограничный слой не за­ хватит всего сечения потока и ядро не будет сведено к нулю. На этом формирование потока заканчивается, и кривая скоростей принимает обычную для ламинарного режима параболическую форму (рис. 82).

Рис. 82

В х о д н о й у ч а с т о к трубы, на котором вырабатывается постоянная параболическая картина распределения скоростей, но­ сит название начального участка ламинарного режима. Длина этого участка определяется из следующей формулы:

§ 38. ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ

Зная закон распределения скоростей в поперечном сечении, можно без труда вывести теоретические формулы для определения расхода жидкости и потери напора на трение по

длине потока при ламинарном режиме.

Для этого выделим в трубе (рис. 83) элемен- "fy тарное сечение в виде кольца внутренним радиу­ сом у, толщиной dy и, следовательно, площадью сечения dFу = 2nydy. Так как толщина кольца взята нами бесконечно малой, примем, что во всех его точках скорость частиц жидкости

одинакова и может быть определена по уравнению (4.16)

vР1 — Р2 {г2 — у2).

У4yL

Элементарный расход жидкости, проходящей через это кольцевое сечение, будет

dQy— vydFr

Подставив сюда вместо vy и dFy их значения, получим

<®у = - % Г - ( ? л- У 2)2*У<1у.

Полный же расход жидкости через все поперечное сечение трубы определяется как сумма таких элементарных расходов или, что то же

118

оо

Врезультате интегрирования получаем следующую формулу для определения расхода при ламинарном режиме:

и, как это видно из сравнения с установленным ранее значением максимальной осевой скорости н0 (4.17), будет равна половине этой скорости

усР = 0,5у0.

Из формулы (4.21) легко найти искомую потерю напора

Последнее выражение несколько преобразуем, умножив числи­

Вязкость жидкостей определяется при помощи приборов, назы­ ваемых вискозиметрами. Имеется несколько типов вискозиметров, различных по своей конструкции и принципу действия; основными из них являются капиллярные вискозиметры, вискозиметры истече­ ния и ротационные вискозиметры.

В к а п и л л я р н ы х в и с к о з и м е т р а х , часто применяе­ мых в лабораторных условиях для точных измерений, вязкость

119

жидкости определяется путем наблюдений над движением исследуе­ мой жидкости по капиллярной трубке, т. е. трубке весьма малого диаметра, в которой в силу этого устанавливается ламинарный ре­ жим. Вязкость находится из формулы расхода при ламинарном режиме (4.20)

На практике, однако, вязкость обычно определяют не по при­ веденной выше формуле, а путем сравнения расходов или времен

истечения одинаковых объемов двух жидкостей (исследуемой и не­ которой стандартной жидкости, например воды, вязкость которой известна) по двум одинаковым капиллярным трубкам при всех про­ чих равных условиях. На самом деле, как это следует из формулы (4.20), расходы двух различных жидкостей, протекающих по двум капиллярным трубкам одинакового диаметра и длины при постоян­ ном перепаде давления, обратно пропорциональны их вязкостям; времена же истечения одинаковых объемов этих жидкостей, наоборот, прямо пропорциональны вязкостям.

На этом принципе основано устройство капиллярного вискози­ метра Н. Е. Жуковского (рис. 84). Указанный вискозиметр состоит из двух капиллярных трубок А и В одинаковых длины и диаметра, помещенных в двух сосудах С и D и укрепленных в них на пробках под некоторым небольшим углом наклона к горизонту. Сосуды тройником Е соединены с резиновой грушей F, которая служит для создания в них одинакового давления. При проведении опыта со­ суды погружают в водяную баню или термостат, поддерживающие необходимую постоянную температуру; один из сосудов заполняют

1 2 0