книги из ГПНТБ / Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник

Полученная таким образом величина ох представляет собой продольную

составляющую осредненной по времени или средней местной скорости. Аналогичные выражения могут быть получены также и для составляющих

осредненной скорости по осям у и z — vy и и2^р.

Тогда вектор полной осредненной скорости будет определяться следующим выражением:

уср = V v2xcp + v l cp 4-V%cp.

Из сказанного выше следует, что осредненная скорость есть такая постоянная фиктивная скорость, с которой в течение некоторого времени через данное элементарное сечение должны были бы дви­ гаться частицы жидкости для того, чтобы расход жидкости был ра­ вен действительному расходу, прошедшему через это элементарное сечение за то же время, но при истинных изменяющихся во времени скоростях.

Величина осредненной скорости может быть определена графически в ре­

зультате соответствующей обработки графика пульсации. Для этого, имея

г

в виду, что интеграл J vxd,T в числителе формулы ;4.29) представляет собой

о

площадь, заключенную между пульсационной кривой, осью абсцисс и ордина­ тами, соответствующими начальному и конечному моментам времени, необхо­ димо измерить эту площадь и заменить ее равновеликим прямоугольником с тем же основанием Т. Высота этого прямоугольника и представляет собой величину осредненной скорости. При этом очевидно, что чем больше будет рас­ сматриваемый промежуток времени Т (период осреднения), тем точнее будет полученное значение осредненной скорости.

Само собой разумеется, что понятие осредненной скорости, конечно, никоим образом не следует смешивать с установленным ранее понятием средней скорости, представляющей собой не среднюю по времени скорость в данной точке, а сред­

F

Введение понятия осредненной скорости имело существенное значение для изучения механизма турбулентного режима. Как по­ казывает обработка графиков пульсации, несмотря на кажущуюся беспорядочность изменения скорости, величина осредненной ско­ рости за достаточно большое время остается постоянной. Поэтому в турбулентном потоке вместо поля мгновенных скоростей можно рассматривать поле осредненных скоростей, и в дальнейшем, говоря о скоростях элементарных струек в турбулентном потоке, мы всегда будем иметь в виду именно эти осредненные по времени скорости. Поступая подобным образом, можно также рассматривать турбулент­ ное движение как движение установившееся, хотя, строго говоря, оно является неустановившимся, поскольку линии тока в наждый данный момент времени изменяют свою форму.

§ 42. МЕХАНИЗМ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

Как уже указывалось в предыдущем параграфе, в турбулентном потоке всегда наблюдается пульсация скоростей. Под действием пульсации частицы жидкости, движущиеся в главном (осевом)

131

направлении потока, получают, кроме того, также и поперечные перемещения, вследствие чего между соседними слоями жидкости возникает обмен частицами, вызывающий непрерывное перемеши­ вание жидкости. Однако у стенок, ограничивающих поток, имеют место совсем иные, особые условия для движения жидкости. Нали­ чие твердых границ делает здесь поперечные движения частиц невоз­ можными. Поэтому перемешивания жидкости здесь не происходит и частицы движутся по извилистым траекториям, почти параллель­ ным стенкам.

Сказанное позволяет установить следующую схему движения потока жидкости, обычно и принимаемую за основную рабочую схему при исследовании турбулентного режима. По этой схеме (рис. 93) у стенок образуется весьма тонкий слой, в котором дви­

слоя весьма мала и обычно определяется долями миллиметра. Она зависит от числа Рейнольдса, и тем меньше, чем больше это число, т. е. чем больше турбулентность потока.

При значениях Re <С 100 000 толщина вязкого подслоя в трубе круглого сечения может быть определена по следующей эмпириче­

где d — диаметр трубы.

Из предыдущего следует, что движение жидкости при турбулент­ ном режиме должно всегда происходить со значительно большей затратой энергии, чем при ламинарном. При ламинарном режиме энергия расходуется только на преодоление сил внутреннего тре­ ния между движущимися с различной скоростью соседними слоями жидкости; при турбулентном же режиме, кроме этого, значительная энергия затрачивается на процесс перемешивания, вызывающий в жидкости дополнительные касательные напряжения.

1 Понятие о вязком подслое не следует смешивать с более широким поня­ тием пограничного слоя, под которым обычно понимают совокупность вязкого подслоя и переходной зоны.

1 3 2

В гидродинамике для определения напряжения сил трения в тур­ булентном потоке обычно применяется выражение

поперечными перемещениями частиц жидкости, обусловленными турбулентностью потока.

Первый член правой части уравнения (4.32) t 1 = р йу предста-

вляет собой вязкостное напряжение, вызываемое внутренним тре­

лось, при турбулентном режиме, кроме перемещения жидкости в направлении главного движения потока, будет происходить также и поперечное движение частиц, например в рассматриваемом случае от слоя а к слою Ь. Обозначим скорость этого поперечного движе­ ния через v'.

За время АГ из одного слоя жидкости в другой через площадку AF, нормальную к направлению v ', протекает масса жидкости

Д«г = р AFv' АТ.

Перемещаясь на расстояние I, указанная масса жидкости полу­ чит приращение количества движения

равное импульсу касательной силы S, параллельной оси потока —

SAT.

Таким образом, будем иметьS

133

Отнеся эту силу к единице площади и принимая, что v' — вели­

чина того же порядка, что и йу I, получим следующее выражение для касательного (инерционного) напряжения:

При ламинарном режиме, когда перемешивания не происходит, длина пути перемешивания 1 = 0 и уравнение (4.32) обращается в обычное для этого случая уравнение (4.1)

dv

выражающее касательное напряжение пропорционально вязкости и скорости в первой степени.

При турбулентном же режиме, который (особенно при больших значениях числа Рейнольдса) характеризуется весьма интенсивным перемешиванием, второй член в уравнении (4.32) резко возрастает. В этом случае вязкостным напряжением можно пренебречь и опре­

Таким образом, при большой турбулентности потока, т. е. при больших числах Рейнольдса, можно считать, что касательное на­ пряжение будет пропорционально плотности жидкости и квадрату градиента скорости. Если же турбулентный режим характеризуется небольшими значениями числа Рейнольдса, вязкостное напряжение соизмеримо с инерционным и полное напряжение будет пропорцио­ нально скорости в степени, несколько меньшей второй.

§ 43. ШЕРОХОВАТОСТЬ СТЕНОК

Твердые стенки, ограничивающие поток жидкости, всегда в той или иной степени обладают известной шероховатостью. Шерохова­ тость характеризуется величиной и формой различных, порой самых незначительных по размерам, выступов и неровностей, имеющихся на стенках, и зависит от материала стенок и их обработки. Обычно с течением времени шероховатость изменяется от появления ржав­

В табл. 16 приведены некоторые значения абсолютной шерохова­ тости для труб, изготовленных из различных материалов.

Пусть (рис. 95, б) величина выступов шероховатости будет меньше, чем толщина вязкого (ламинарного) подслоя (к < 6П с).

134

Т а б л и ц а 16

При этом неровности стенки будут полностью погружены в этом слое, турбулентная часть потока не будет входить в непосредственное соприкосновение со стенками и движение жидкости, а следовательно, и потери энергии не будут зависеть от шероховатости стенок, а бу­ дут обусловливаться лишь свойствами самой жидкости.

Если же (рис. 95, в) величина выступов такова, что они превы­ шают толщину вязкого подслоя (к )> 6П с), неровности стенок будут выступать в турбулентную область, увеличивать беспорядочность движения и существенным об­ разом влиять на величину по­ терь энергии. В этом случае каждый отдельный выступ мож­ но уподобить плохо обтекае­ мому телу, находящемуся в окружающем его потоке жид­ кости и являющемуся источни-

6

6

Рис. 95

ком образования вихрей (рис. 96). В соответствии со сказанным в гидравлике различают поверхности гидравлически гладкие (к < 6П с) и шероховатые ( & > 6 П е). Конечно, такое деление является ус­

ловным.

На самом деле, как уже указывалось, толщина вязкого подслоя непостоянна и уменьшается с увеличением числа Рейнольдса. У гид­ равлически гладких стенок с возрастанием числа Рейнольдса также начинает проявляться их шероховатость, так как вязкий подслой становится тоньше и выступы шероховатости, которые первона­ чально полностью располагались в этом слое, начинают выходить

135

из него, выступая в турбулентную зону. Следовательно, одна и та же стенка в зависимости от величины числа Рейнольдса может вести себя по-разному: в одном случае — как гладкая, а в другом — как шероховатая. Поэтому абсолютная шероховатость не может пол­ ностью характеризовать влияние стенок на движение жидкости. Естественно, что стенки с одной и той же абсолютной шерохова­ тостью в потоках небольших поперечных размеров должны будут вно­ сить большие возмущения в поток жидкости и оказывать большее сопротивление движению, чем в потоках большого сечения.

Для характеристики влияния шероховатости на величину гид­ равлических сопротивлений, а также исходя из условий соблюдения

отношение абсолютной шероховатости к некоторому линейному раз­ меру, характеризующему сечение потока (например, к радиусу

В некоторых случаях вводят понятие «относительной гладкости» е' как величины обратной относительной шероховатости

В действительности, однако, как показали исследования, на величину гидравлических сопротивлений влияет не только абсолютное значение шероховатости (высота выступов), но также в значительной степени их форма и густота. Учесть влияние этих факторов непосредственными измерениями шероховатости практи­ чески невозможно.

Поэтому в настоящее время для характеристики шероховатости

х о в а т о с т и kv Эта шероховатость представляет собой такую величину выступов однородной абсолютной шероховатости, которая дает при подсчетах одинаковую с действительной шероховатостью величину потери напора. Значения эквивалентной шероховатости определяются на основании гидравлических испытаний трубопрово­ дов и пересчета их результатов по соответствующим формулам.

§ 44. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ

булентном режиме образуется некоторый неподвижный «мертвый» слой, по которому со значительными скоростями движется вся осталь­ ная масса жидкости. Наличие этого неподвижного слоя с неизбеж­

136

ностью приводило к неправдоподобным выводам о «разрыве» ско­ ростей, т. е. к такому закону распределения скоростей 1 в поперечном сечении, при котором имеет место внезапное скачкообразное изме­ нение скорости от нуля в неподвижном слое до конечной величины в остальной части потока.

Современные теории турбулентного режима исходят из изло­ женной в предыдущем параграфе схемы движения турбулентного потока. На основании указанной схемы Л. Прандтлем был устано­ влен теоретический закон распределения скоростей в поперечном сечении потока. По этому закону скорость в какой-нибудь точке сечения, например цилиндрической трубы, на расстоянии у от ее

Величину v*, имеющую размерность скорости, условились на­ зывать « д и н а м и ч е с к о й с к о р о с т ь ю». Она определяется из основного уравнения равномерного движения (4.15).

Из последнего имеем: i = —2- •— и, следовательно,

/ а . - / „ ж .

где т0 — касательное напряжение на стенке; г — гидравлический уклон.

Для практического пользования применяются получаемые из уравнения (4.36) следующие формулы:

в случае гладких труб

в случае шероховатых* труб

Приближенно распределение скоростей при турбулентном режиме может быть получено также из уравнения

где (по ПрандтЯю) показатель степени т = / (Re, е); А. Д. Альт^

137

\

Принимая в среднем т = — . получаем

(4.40)

— так называемый закон «одной седьмой» Кармана.

В этих формулах к — абсолютная н е — относительная шерохо­ ватость стенок, X — коэффициент гидравлического сопротивления

(см. далее § 45 и 46).

Для того чтобы в трубе установилось распределение скоростей, соответствующее турбулентному режиму, жидкость должна пройти от входного сечения трубы некоторый определенный участок, назы­ ваемый начальным участком турбулентного режима. Длина этого

даются большим числом опытных дан­ ных. Из их рассмотрения следует, что при турбулентном режиме, как и нужно было ожидать, скорости распре­

деляются по сечению более равномерно, чем при ламинарном режиме. Для иллюстрации этого положения на рис. 97 показаны кривые распределения скоростей для потока жидкости в цилиндрической трубе при турбулентном режиме (сплошная линия) и при ламинар­ ном режиме (пунктир).

При турбулентном режиме отношение средней скорости к мак­

симальной осевой изменяется от 0,75 до 0,90, в то время как при

ламинарном режиме (см. § 37) это отношение равно 0,5. При этом следует иметь в виду, что чем больше число Рейнольдса Re, т. е. чем интенсивнее происходит процесс перемешивания жидкости, тем больше будет это отношение, стремясь в пределе при бесконечно больших Re к единице.

§ 45. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕРЬ НАПОРА

Рассмотрим основные формулы, применяемые в настоящее время для определения потерь напора.

Для этого обратимся к основному выражению для потери напора при равномерном движении

, _ т L 1-2 —"pF' ~R ’

1 3 8

Если принять, как это было предложено Шези на основе опытов

еще в 1775 г., величину— пропорциональной квадрату скорости,

Следовательно, величина С2 имеет размерность ускорения. Для практического применения, однако, удобнее иметь эмпирические коэффициенты безразмерными. С этой целью впоследствии коэффи­ циент С был заменен через

8ц

V- X

где X — безразмерная величина, обычно называемая коэффициентом гидравлического сопротивления. Такая замена позволяет привести формулу (4.42) к очень удобному для практического пользования виду

Так как для круглых труб 4R = d, то отсюда получается так называемая формула Дарси—Вейсбаха для определения потерь напора при равномерном движении жидкости в круглых трубах

Формулы (4.42) и (4.45) являются наиболее распространенными формулами для определения потерь напора; первая из них приме­ няется главным образом при расчетах открытых потоков, а вторая — напорных (в круглых трубах).

139

Нетрудно видеть, что принципиально они ничем одна от другой не отличаются, выражая потерю напора по существу в одной и той же форме — пропорционально квадрату средней скорости. Поэтому закон сопротивления, устанавливаемый этими формулами, принято

нально квадрату скорости в случае турбулент­ ного режима только при достаточно больших числах Рейнольдса. В остальных случаях турбулентного режима %

будет пропорционально скорости в степени несколько меньше вто­ рой, а при ламинарном режиме — пропорционально скорости лишь в первой степени. Поэтому в общем случае следовало бы принять

(4.46)

где b — некоторый коэффициент пропорциональности, а п — по­ казатель степени, равный при ламинарном режиме единице, а при сильно турбулентном — двум.

На рис. 98 представлена графическая интерпретация уравнения (4.46). График построен на основании опытов Рейнольдса в коор-

динатных осях v и — . Прямая АВ на этом графике соответствует

ламинарному, а кривая CD — турбулентному режимам; участок кривой между точками В и С характеризует переходную зону.

Однако квадратичные формулы Шези и Дарси—Вейсбаха очень удобны для практических целей и целесообразны с точки зрения единообразия расчета и обычно применяются как для турбулент­ ного, так и для ламинарного режимов. Отклонения же от квадратич­

устанавливают только общую форму закона сопротивлений. Для определения же численной величины потери напора необходимо в каж­ дом отдельном случае учесть, кроме того, еще и влияние всех ука­ занных выше факторов. Этой цели служат специальные формулы для коэффициентов К и С, которые рассматриваются ниже (см. § 47).

140