книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

274 Гл. 4. Неравное, состояния кулон. сиСт. с учетом корреляций

состоянию. Очевидно, что это условие вводит необрати­ мость в систему уравнений. Соответствующее предполо­ жение для бесконечного будущего приводило бы к кинети­ ческому уравнению с «неправильным направлением вре­ мени». Этот случай не является интересным, поскольку причинное рассмотрение обычно предпочитают телеоло­ гическому.

Что касается вычисления выражений (3.32) и (3.34), то в силу причин, указанных в начале данного параграфа, мы отсылаем читателя к соответствующей литературе. Укажем лишь, что для однородных систем с короткодейст­ вующими силами взаимодействия получается обобщен­ ное уравнение Больцмана, в котором учитывается вклад в интеграл столкновений корреляций более высокого по­ рядка. В случае неоднородных систем появляются сла­ гаемые, учитывающие взаимное влияние интерференции столкновительного члена с конвективными членами.

3.2.Распространение теории Боголюбова на плазму

Вразд. 3.1, рассматривая в общем плане приближение Боголюбова, основанное на предположении о функцио­

нальной зависимости и исчезающе малых корреляциях в бесконечно удаленном прошлом, можно было видеть, что цепочка уравнений ББГКИ в принципе решается даже для случая плотных газов. Разложение по параметру плотности соответствует последовательному учету пар­ ных, тройных и более высокого порядка корреляций.

Все свое внимание здесь мы сосредоточим на полно­ стью ионизованной плазме. Поэтому прежде всего иссле­ дуем вопрос о применимости основного приближения в случае такой плазмы. При этом возникают трудности,

как только делается допущение о синхронизационной фазе эволюции. В системе с короткодействующими силами время взаимодействия твз резко отличается от характер­ ных времен тс и xh, в плазме же это различие становится менее заметным.

Для времени внутреннего взаимодействия можно ис­ пользовать следующую оценку:

276 Гл. d. Неравное. Состояния кулон. cUcm. с учетом корреляций

всегда значительно больше единицы для плазмы с плотно­ стью ниже критической. Поэтому все разложения по Ппл являются расходящимися х).

Отыскивая другой подходящий параметр разложения,

откуда следует, что в области ниже критической плотно­

метром разложения».

Боголюбов уже в своей оригинальной работе [21] использовал разложение по параметру Псв, получив уравнения для однородной плазмы. Его результаты послу­ жили основой вывода кинетического уравнения Ленардом (см. разд. 1.4). Однако ниже мы рассмотрим приближение Гернси [40], в котором используются результаты Бого­ любова, но которое является формально более общим, поскольку в нем учитываются как силы взаимодействия в системе, так и множественность столкновений.

Двойное разложение Гернси

Гернси вместо разложения по параметрам Ппл и ПСв использовал соответственно двойное разложение по двум параметрам: по Псв, характеризующему силу связи, и по Ппс = ПплПсв, учитывающему эффект корреляций. Мож­ но показать [42], что это разложение приводит к тем же

1)В действительности разложение по параметру плотности даже

вслучае короткодействующих сил взаимодействия при учете соуда­ рений четырех или более частиц приводит к секулярным членам, которые могут быть устранены только чрезвычайно сложными мето­ дами сингулярной теории возмущений [41].

Чтобы обойти основную трудность, связанную с расхо­ димостью при разложении по параметру плотности в плаз­ ме, необходимо в двойном разложении провести суммиро­ вание по всем степеням Ппс. Следует отметить, что двой­ ное разложение вводится только как промежуточная ступень, облегчающая вычисления и приводящая к боль­

используется в двойном разложении по аналогии с (3.18)

и (3.19), т. е.

И в этом случае благодаря указанной функциональной

и имеет вид

v Л/(г, з)

г=0 ;=0

Поскольку теперь играют роль оба параметра ПсВ и Ппс, цепочку уравнений ББГКИ, полученную из (3.22), можно записать в следующем символическом виде:

278 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Здесь оператор

S

(3,49)

г=1

описывает эффекты, обусловленные потоком частиц в кон­ фигурационном пространстве, а оператор

учитывает взаимодействия внутри группы s частиц. Опе­ ратор 4&s по-прежнему описывает взаимодействие s частиц с другими частицами плазмы [см. (3.3)].

Подставляя (3.44), (3.45) и (3.47) в (3.48), получаем

Эти уравнения позволяют вычислить коэффициенты мето­ дом последовательных приближений. В нулевом при­

В следующем приближении необходимо вычислить коэф­

Уравнения (3.55) — (3.57) совместно с начальными усло­ виями, соответствующими исчезающе малым корреля­ циям в бесконечно удаленном прошлом, достаточны для определения функции Д, необходимой для вычислений в приближении первого порядка.

Кинетическое уравнение для определения функции Д

где Д0>0> на основании (3.53) и (3.54) можно представить в виде функционала от Д.

Аналогично находится решение в приближении более высокого порядка (v + р, > 1). Конечно, система уравне­ ний в этом случае становится значительно сложнее.

Как уже отмечалось выше, можно ожидать разумные результаты только в том случае, когда проводится сумми­ рование по всем значениям v. В нулевом приближении (р = 0) такое суммирование по v приводит к уравнению Власова. В приближении первого порядка (р = 1, a v произвольное) Гернси получил уравнение, выведенное Ленардом из теории Боголюбова (см. стр. 276).

Согласно замечанию, сделанному в начале главы, читателя, интересующегося деталями вычисления коэф­ фициентов и различными методами суммирования, отсыла­ ем к работам [40, 43].

Особенного внимания заслуживает тот факт, что в тео­ рии Гернси так же, как в теории Балеску и Ленарда, ки­ нетическое уравнение соответствует первому порядку разложения по параметру Псв. Поэтому можно ожидать, что эта теория, справедливая для достаточно больших расстояний, будет неверна, если рассматривать близкие столкновения, при которых параметр связи становится порядка единицы. Кроме того, Гернси рассмотрел лишь пространственно однородную плазму. By и Розенберг [42] обобщили теорию Гернси на случай неоднородной плаз­ мы. Они учли первый порядок разложения по параметру связи и все порядки по корреляционному параметру.

280 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Формализм метода группового разложения

Ростокер и Розенблют [44] и Ишикава [45] независимо предложили метод вывода кинетических уравнений из цепочки уравнений ББГКИ, основанный на групповых разложениях. Этот метод впоследствии успешно исполь­ зовался другими авторами [46—48].

Изложение метода начнем с рассмотрения цепочки уравнений ББГКИ, записанной в виде (3.48), причем параметры связи и плотности имеют следующий порядок величины:

Пев = О (Л *)» Ппл= 0 (Л), Ппс = ПплПсв= 0(1). (3.59)

Ростокер и Розенблют применили к цепочке уравнений групповое разложение (1.22) в общем виде

В результате они получили новую цепочку уравнений для одночастичной функции распределения Д и корреляцион­ ных функций причем первые два уравнения этой цепочки имеют вид [см. (1.20) и (1.21)1

Цр+ <^i/i = Ппс^1 (1) [(/i(ri, vr, t) Д (r2, v2; <)+ gi2)l (3-61)

Б

^+ Псв.^2 (ДД + ga) =

= Пдс^г (Д (гз> v3; t) ga + g ^) + Ппс^1 (1) /1(rj, Vjj t) g23 -j-

дифференциальной части этого оператора.

До сих пор мы не использовали никакой дополнитель­ ной информации. Просто, как и в уравнениях (1.20) и (1.21), функции распределения fs были заменены корре­ ляционными функциями

Основное допущение Ростокера и Розенблюта, которое во многих отношениях приводит к тем же самым след­ ствиям, что и предположение Боголюбова о функциональ­ ной зависимости, может быть сформулировано следую­ щим образом:

I l/ito , vr.t)

i= l

Помимо этого разложения, Ростокер и Розенблют исполь­ зовали также разложение функции /4 и корреляционных функций gi...s по степеням параметра (Л-1). С учетом (3.63) это дает

Подставляя соотношения (3.64) в (3.61) и (3.62) и записы­ вая последние в виде разложения по степеням параметра Л -1, получаем следующее уравнение в приближении ну­

Уравнения для приближения первого порядка имеют вид

Решения уравнений (3.66) и (3.67) с помощью группового разложения (3.60) позволяют тривиально вычислить все функции распределения fa с точностью до Л -1.

Хотя эту процедуру в принципе можно продолжить до произвольного порядка по параметру Л -1, но следует

282 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

признать, что с увеличением степени параметра Л -1 уравне­ ния становятся практически неразрешимыми. Уже для второго порядка уравнения являются настолько запутан­ ными, что до сих пор не найдены их решения.

Результаты использования метода группового разложения

Уравнение для приближения нулевого порядка (3.65) представляет собой хорошо известное уравнение Власова. Уравнения в первом порядке для случая однородной плазмы сводятся к тому же самому кинетическому урав­

любова о функциональной зависимости и предположения Ростокера и Розенблюта (3.63) об ослаблении корреля­ ций эквивалентности.

Ростокер и Розенблют [44] применили вышеизложен­ ный формализм к задаче о пробной частице в полностью ионизованной плазме. Очевидно, что в этой задаче необ­ ходимо найти уравнения, связывающие два набора при­ веденных функций распределения, один из которых (cos) относится к пробной частице, другой (fs) — к полевым частицам. В нулевом порядке уравнение для функции рас­ пределения пробной частицы ‘“’coj совпадает с уравнением для функции распределения полевых частиц <0>/i. В пер­ вом порядке эволюция функции распределения пробной частицы <1)со1 во времени описывается уравнением типа уравнения Фоккера — Планка

Коэффйциенты Фоккера — Планка здесь определяются как