книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

что вышеприведенная функция равновесного распреде­ ления содержит в качестве параметров, подобно функ­ ции Чепмена — Энскога в нулевом приближении, точные значения первых пяти моментов функции распределения. Поэтому уравнение БГК не является линейным уравне­ нием, как это могло показаться на первый взгляд.

Поскольку уравнение БГК есть не что иное, как упро­ щенный вариант уравнения Больцмана, можно ожидать, что к нему применимы разложение Трэда и метод Чеп­ мена — Энскога, описанные выше. Приведем здесь только соответствующие уравнения, полученные с помощью раз­ ложения Трэда для случая двухкомпонентной системы:

Уравнение непрерывности

Ьйй = 1 —

264 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

где тjh — среднее время между столкновениями, a B jk — коэффициент прямой передачи тепла от одной компоненты к другой.

Отсюда коэффициент трения и коэффициент теплопро­ водности получаются равными

Уравнения, приведенные выше, являются восьмимоментными уравнениями, редуцированными из уравнений для 35 моментов, полученных в работе [37].

Применение метода Чепмена — Энскога приводит к выражению для функции распределения в первом при­ ближении

(2.113)

в котором при вычислении функций х и у использовался столкновительный член в форме Батнагара — Гросса — Крука. С помощью этой функции распределения можно опять получить уравнения переноса и найти уравнения Навье — Стокса, соответствующие соотношениям (2.84) и (2.85). Однако заметим, что теперь коэффициенты в этих уравнениях в силу основного предположения рассматри­ ваемой модели зависят от феноменологической постоянной т0 и, следовательно, могут быть использованы для полу­ чения сведений о ее свойствах.

Введенное понятие характерного времени релакса­ ции т0 может навести на мысль, что результаты, получен­ ные из уравнения Батнагара — Гросса — Крука, должны совпадать с результатами, полученными из уравнения Больцмана для максвелловских молекул [s = 4 в формуле (2.30)]. Но такое заключение было бы неверным, посколь­ ку в уравнении БГК, кроме того, используется очень упрощенная модель, в которой пренебрегается всеми деталями процесса столкновений.

Релаксационный член в модели БГК имеет лишь чисто эвристическое происхождение. Несколько авторов пыта­ лись с математической строгостью доказать его законность

[38, 39]. С помощью линеаризованной теории им удалось лишь определить условия применимости релаксационного члена типа Батнагара — Гросса — Крука.

§ 3. ОБЗОР СИСТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

До сих пор приближенное решение цепочки уравне­ ний ББГКИ заключалось в выводе кинетических уравне­ ний путем обрыва и преобразования этой цепочки. Такой способ был изложен в разд. 1.2—1.4. Теперь попытаемся перейти к изучению более общих методов, в которых, по крайней мере в принципе, не ограничиваются уравнениями цепочки первого или второго порядка. В каждом из этих методов возникает огромное количество проблем, которые не могут быть решены полностью в рамках настоящего исследования. Поэтому с самого начала ограничимся, как мы это сделали в § 1 гл. 1, только обзором основных идей и результатов, не останавливаясь на подробных преобра­ зованиях при выводе формул.

3.1. Теория Боголюбова

Ниже излагаются основные результаты теории Бого­ любова. Хотя эта теория первоначально была создана для разреженных систем с преобладающим парным взаимодей­ ствием, но она служит основанием также и для некоторых современных приближений, применяемых для описания плазмы.

Характерные постоянные, определяющие изменения во времени

Будем снова исходить из общей цепочки уравнений

266 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Как и выше (на стр. 195), используем безразмерные пере­ менные

В результате уравнения (3.1) запишутся в виде

где параметры связи и плотности равны

а следовательно, можно использовать соотношение

Здесь L — характерная длина макроскопических измене­ ний. Тогда для разреженной системы с Г1св = О (1) из (3.3) получаем

или, определяя через характерные времена, имеем

Вошедшие в эти оценки три характерных времени в слу­ чае разреженной системы определяются как

Обычно они имеют следующий смысл:

твз характеризует среднюю длительность внутрен­ него взаимодействия между s-частицами;

тс обозначает среднее время между столкновениями s-частиц с другими частицами системы;

тh характеризует время протекания макроскопиче­ ских гидродинамических процессов в системе.

Тот факт, что эти три времени имеют различный поря­

Здесь q — поперечное сечение столкновения, а Я, — сред­ няя длина свободного пробега. Учитывая (3.11) и (3.12), находим

Отсюда видно, что характерные времена т т с и твз, опре­ деляющие эволюцию функции /8, удовлетворяют соотно­ шениям

Заметим, что эти условия нарушаются в теории плазмен­ ных колебаний, где L » rc « A,d-

268 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Эволюция /„ во времени

Три характерных масштаба времени, рассмотренные выше, дают возможность соответствующим образом опре­ делить эволюцию fs во времени. Пусть в момент времени t = О имеется произвольное состояние, характеризующее­

мым взаимодействием выделенных s частиц. Среднее значение </s > зависит от функции fi. По истечении вре­ мени t = О (твз), за которое устанавливается это сред­ нее значение, можно представить fs в функциональном виде

fs « < / * > = fs (*1, • • •> vt, . . ., v*| fi). (3.16)

Однако очевидно, что такое представление не является вполне корректным, так как величина /4 не может описы­ вать отдельные флуктуации fs около среднего значения

</«>•

В течение времени порядка тс изменение всех функций fs, включая s = 1, определяется средним взаимодействием группы s частиц с другими частицами системы. Это взаи­ модействие вызывает релаксацию f t к распределению, которое изменяется только в зависимости от определен­ ного набора моментов. В то же время, в силу предполо­

Система функциональных уравнений

Исходя из соображений, изложенных выше, Боголю­ бов постулирует следующую функциональную зависи­ мость:

Это основное предположение в теории Боголюбова. Как указывалось выше, оно приводит к некоторой потере информации.

Разумеется, предположение (3.17) само по себе не об­ рывает цепочки уравнений. Однако для разреженного газа можно получить ее решение методом последователь­ ных приближений, если использовать разложение по пара­ метру плотности Ппл, эквивалентное вириальному разло­ жению, применяемому к уравнению состояния. Дело в том, что разложение по параметру плотности эффективно обрывает цепочку уравнений на данном порядке по Пщ, независимо от предположения о функциональной зави­ симости. Это очевидно, так как корреляционные функции более высокого порядка f s+i, через которые только и про­ исходит зацепление со следующим уравнением цепочки,

Существенно отметить, что Д не разлагается, а считается функциональным параметром, который аналогичен гид­ родинамическим величинам в методе Чепмена — Энскога.

Чтобы найти решение цепочки уравнений, необ­ ходимо знать производные по времени от функций f s, включая s = 1. Представим их также в виде ряда

ожидать, что существует соотношение между коэффициен­

х) Заметим, что обозначение (6/s/6/i) о соответствует оператору, который действует на dfjdt . Если, например,

т

f s (^Ij • • м x a I / i ) = ^ П ^ (5i* 0 ^ (?1* *■•» г—1

В нулевом порядке (v = 0) имеются уравнения

4°>= - i x j u

(3.25)

(«> 1),

которые выражают A i0) и (0>/s (s = 2, . .., п + 1) функцио­ нально через /4. В (v + 1 ) - m порядке соответственно имеют место соотношения

i = 0

Эти соотношения определяют функциональную зависи­

с точностью до членов порядка Пйл. Само собой разу­ меется, что из (3.26) также могут быть вычислены функции распределения более высокого порядка (v) f s (v < и), ко­ торые не участвовали в данном методе.

272 Гл. 4. Неравной, состояния кулон, сист. с учётом корреляций

где as — постоянная, зависящая от нормировки Д.

На основании постулата Боголюбова о функциональной зависимости цепочка дифференциальных уравнений ББГКИ преобразуется в систему функциональных диффе­ ренциальных уравнений. Потеря общности возможных решений из-за применения приближенного метода, ко­ нечно, отражается также и на начальных условиях.

Само собой разумеется, что можно выбрать какое-либо начальное значение Да. Если, далее, положить f sa = = fsa(fia), то из рассматриваемой системы функциональ­ ных уравнений можно найти общую функциональную зависимость Д = Д ( Д ) , где Д = Д (t). Однако в силу ограничений, наложенных на процессы релаксации, нель­ зя произвольно выбрать начальную функциональную зависимость Д „ = Да (fia)- Не так просто определить класс начальных условий, которые соответствуют дей­ ствительности.

Эта проблема может быть решена путем преобразова­ ния, которое сводит систему функциональных дифферен­ циальных уравнений (3.26) к системе дифференциальных

в котором временной сдвиг обозначен через т, чтобы не смешивать его с текущим временем t. Этот оператор вре­ менного сдвига описывает изменение во времени коорди­ нат всех частиц, принадлежащих s-группе, только за счет внутренних взаимодействий и не учитывает взаимодейст­ вий с другими частицами.

Дифференциальные уравнения получаются из функ­ циональных путем преобразования по т

~ (т) Д (г, v; t)=iXlX ifl (г, v; t) = - A ™ [<$Д (т) Д], (3.31)