книги из ГПНТБ / Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования

петель, ц если никакая меньшая система нейронов этим свойством не обладает, то эта система называется циклической, а число ней­ ронов в ней называется порядком N. Порядок сети является в оп­ ределенном смысле показателем сложности ее поведения. В ча­ стности, сети порядка нуль имеют особенно простые свойства; поэтому рассмотрим их в первую очередь.

Определим временное пропозициональное выражение *(в.п.в.), обозначающее временную пропозициональную функцию (в.п.ф.),

членов превосходит 0{ . Тогда в соответствии с вышеупомянутыми

нашего определения вытекает, что результат подстановки в.п.в.

40

кое в.п.в. реализуемо. Таким образом, можно считать, что каждая

NiW.s.Nxlt-i).

N3(t).=.N,(t-i) VN2{t-l)

Л/3 («) =.УѴ,(*-1).Л/2 (<-1).

W3(i).=.Wi(<-l)yW2U-l).

Рис. 3. Примеры нейронных структур (а, Ь, с, d)

сеть строится из основных элементов в точности так же, как соот­ ветствующее в.п.в. порождается операциями предшествования дизъюнкции, конъюнкции и конъюнктивированного отрицания.

В частности, для всякого описания состояния, т. е. распределе­ ния значений истинности и ложности действий всех нейронов не­ которой сети, за исключением случая ложности действий всех ней­ ронов, можно построить некоторый нейрон, возбуждение которого необходимо и достаточно для справедливости этого описания. Кро­ ме того, всегда существует бесконечно много топологически раз­

ваний вида р (zx — zz) (где zz-произвольное число) посредством от­ рицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалент­ ности. Тогда S± есть в.п.в., которое ложно только в случае, если

41

все его конституэнты р (zx — zz) ложны, т. е. заменены ложными высказываниями, или если в последней линии таблицы истин­ ности для Si содержится F, или же в гильбертовой дизъюнктив­ ной нормальной форме для Si нет членов, состоящих из одних от­ рицаемых элементов.

Метод последней теоремы обеспечивает удобную и практичную процедуру для построения требуемой нервной сети в тех случаях, когда в предписанные условия не входят события из неограничен­ но далекого прошлого. В качестве примера можно рассмотреть ощущение тепла, вызываемое кратковременным охлаждением.

Если на мгновение приложить к коже холодный предмет, а затем убрать его, то возникнет ощущение тепла. Если же его про­ держать более долгое время, то будет ощущение только холода без предшествующего ощущения тепла, хотя бы непродолжитель­ ного. Известно, что одни кожные рецепторы возбуждаются теп­ лом, а другие — холодом. Если Т Ѵ і и 7Ѵ2 — действия соответствую­

щих рецепторов, а Лг 3 и — действия нейронов, возбужденность которых влечет ощущения тепла или холода, то требования могут быть записаны так:

где предполагается для простоты, что продолжительность, требу­ емая для ощущения холода, равна двум сииаптическим задерж­ кам, а для ощущения тепла — одной. Эти условия подходят, оче­ видно, под теорему 3. Можно поэтому построить реализующую их сеть с помощью метода теоремы 2. Сначала запишем их способом, выявляющим их построение из конституэнт посредством опера­ ций в виде

Построим, во-первых, сеть для функции, заключенной в наибольшее'число скобок, и будем двигаться наружу; в этом случае мы соединим сетью 0 нейрон с2 с некоторым нейроном, скажем са, так что

Na(t).=.SN2(t).

Введем затем две сети, соединяющие са и с2 соответственно с Сп и сь. Тогда

N,{t)=.S[Na{t).N2{t)].^.S [SN2(t)].N2(t)h Nb(t)~.S [Na(t).ooN2(t)].=.S[(SNt(t)).ooNt(t)].

Наконец, проведем сеть от d и cb к с 3 и получим

Это — желаемые выражения для N3 (t) и Л'4 (i).

42

Теперь рассмотрим некоторые теоремы эквивалентности, т. е. теоремы, устанавливающие тождественность (если не считать вре­ мени) различных законов нервного возбуждения. Разберем сна­ чала случай относительного торможения. Под этим мы понимаем предположение о том, что возбуждение тормозящего синапса не исключает абсолютно возбуждения нейрона, но лишь увеличи­ вает его порог, так что для возбуждения нейрона требуется од­ новременное возбуждение большего числа возбуждающих синап­ сов, чем было бы нужно в противном случае. Без ограничения общности можно принять, что порог увеличивается на единицу

нение порога с точностью до ближайшего целого числа и только с такой точностью имеет значение при естественных типах возбуж­ дения, что может быть записано как последовательность Э4 -f- bj

bj тормозящих синапсов на с\. Очевидно, что это обеспечивает же­ лаемый результат. Обратная замена может быть выполнена с помощью

Теорема следует из транзитивно сти замены.

Т е о р е м а 6. Облегчение и временная суммация могут быть заменены пространственной суммацией.

43

Это очевидно; достаточно лишь ввести подходящую последова­ тельность цепочек задержки (с возрастающим числом синапсов) между возбуждающей клеткой и нейроном, на котором хотят иметь временную суммацшо. Предположение пространственной суммации даст тогда требуемый результат. Эта процедура показывает, что наблюдаемая в больших сетях временная суммация не обяза­ тельно предполагает подобный механизм взаимодействия индиви­

Следует также отметить, что нейрон, который становится и ос­ тается активным самопроизвольно, может быть аналогичным об­ разом заменен петлей, приводимой в активность посредством од­ ного рецептора в начале активности и тормозимой другим при ее прекращении.

Таковы основные теоремы теории для сетей без петель. Теория нервных сетей в нейрофизиологии указывает на раз­

личие между сетями, необходимыми или'достаточными для заданной активности. Это помогает выяснить соотношение между нару­ шенной структурой и нарушенным функционированием. Приме­ нительно к математическим исследованиям эта теория представ­ ляет способ строгой символической трактовки сетей и метод конструирования гипотетических моделей сетей с заданными свойствами.

Работы Мак-Каллока и Питтса послужили основой для боль­ шого количества исследований, развивающих теорию автоматов — моделей нервной системы и поведения.

В 1958 г. Мак-Каллок1 предложил новую модель формального нейрона, в которой ошибка считается органическим свойством нейрона. Подобный подход увеличивает адекватность модели реальности.

Однако для моделирования физиологических процессов в го­ ловном мозге, по-видимому, недостаточно подобного логического подхода.

В исследовании нейронных сетей сделан качественный ска­ чок в связи с работами Ф. Розенблатта (1962). Основная его идея сводится к попытке замены при исследовании физиологических систем логического подхода к решению статистическим.

Системы, действующие на основе статистических принципов, автор называет «персептронами». Каждый персептрон состоит из некоторого множества элементов, связанных в единую сеть, и ге­ нерирующих сигналы. При получении входного сигнала каждый

44

данное множество принимающих элементов. Персептрон имеет сенсорный вход (множество элементов, реагирующих на сигналы из внешней среды) и один или несколько выходных элементов.

Логические свойства персептрона определены его топологиче­ ской структурой (связями между элементами, генерирующими сигналы); набором функций распространения сигналов (алгорит­ мов, управляющих генерацией и передачей сигналов); набором функций памяти (алгоритмов преобразования свойств сети). Исследования с помощью персептрона проводятся в системе, со­ стоящей кроме него из окружающей среды и «экспериментато­ ра» (человека или машины), формулирующего алгоритмы преобра­ зования или вырабатывающего подкрепление состояний памяти персептрона. В подобных исследованиях определяются свойства класса персептронов, топологическая структура которых опреде­ лена некоторым статистическим распределением. Поведение пер­ септрона определяется не заданными заранее логическими алго­ ритмами, а некоторым смещением характеристик.

В теории персептронов используются следующие основные оп­ ределения.

Сигнал — любая измеримая переменная величина, характе­ ризуемая амплитудой, временем и местоположением.

Генератор сигнала — любой физический элемент или устрой­

определяющая закон изменения амплитуды сигнала, производи­ мого генератором сигнала.

Связь (сц) — любой канал, с помощью которого сигнал, вы­ рабатываемый одним генератором (начальный элемент, вход),

(щ и Uj) и передающей функцией /. Эта функция определяет ампли­ туду сигнала, поступившего на выход, как функцию амплитуды и момента появления сигнала, генерируемого входом. Сигнал на выходе обозначается s0 - (t). Передающая сеть — система соеди­ ненных в сеть генераторов сигнала. Персептрон можно предста­ вить как передающую сеть, состоящую из генераторов сигнала трех типов: сенсорных элементов S, ассоциативных элементов А и реагирующих элементов R. Сенсорный элемент — любой чув­ ствительный элемент, вырабатывающий сигнал, который явля­ ется некоторой функцией входной энергии. Входной сигнал Si,

45

Ассоциативный элемент — генератор (логический элемент) с входными и выходными связями. Элемент Aj реагирует на совокуп­

Реагирующий элемент — генератор сигнала, имеющий входные связи и выдающий сигнал, который поступает во внешнюю сеть (среду). Сигнал, вырабатываемый г, элементом, есть г*. Простой реагирующий элемент действует по принципу.

имеет вид

су(*) = /[іЧі(*)> м**(і — та)].

Веса здесь могут быть постоянными или переменными (зависящи­ ми от времени).

Состояние памяти сети характеризуется конфигурацией весов всех связей с переменным весом в определенный момент времени.

Активное состояние сети в момент t определяется совокупно­ стью сигналов ІІІ, выдаваемых всеми генераторами сигналов в этот момент.

Фазовое пространство сети — пространство всех возможных состояний памяти данной сети. При N связях с переменным ве­ сом фазовое пространство представляется областью в іѴ-мерном евклидовом пространстве. Состояние памяти характеризуется точкой в этом фазовом пространстве, а «история» системы описы­ вается траекторией.

Матрица взаимодействия V сети, состоящей из S-, A-, R- элементов — матрица, элементами которой являются веса vt i для всех пар иг и и}. Задание матрицы взаимодействия эквивалент­ но заданию точки в фазовом пространстве.

Pia основании изложенного персептрон может быть представлен как сеть, состоящая из S-, А-, Л-элементов, с переменной матрицей взаимодействия V, определяемой последовательностью прошлых состояний активности сети.

Существуют три основных способа графического изображения персептрона: функциональная схема, структурная схема и сим-

46

волическая диаграмма. На функциональной схеме представлены каждый элемент и каждая связь. На структурной схеме все сен­ сорные элементы изображены в виде одного блока, связанного

сассоциативной системой.

Спомощью символической диаграммы могут быть зафиксиро­ ваны существующие типы связей. На рис. 4 приведены примеры

этих схем, которые представляют один из типов персептронов.

M. М. Бонгарда (1961), В. М. Глушкова (1964), Н. В. Позина(1971), и серия работ М. А. Айзермаиа, Э. М. Бравермана, Л. И. Розеноэ-

дованию динамических процессов, связанных с нейронными се­ тями (при определенных допущениях), аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение этого подхода приве­

47

Лозип Л. В. Моделирование нейронных сетей. М., «Наука», 1971. Розенблатт Ф. Принципы нейродппампкп. М., «Мир», 1965.

Сушков В. Г. Канд. дисс. ВЦ АН СССР, 1970.

Carnap R. The logical syntax of language. N. Y . , Harcourt, Brace and Congr., 1938.

Harman, Lewis. Neuronal modeling.— Physiol. Rev., 1966, 46.

Russell В., Whitheadl A. Principia mathematica. Cambridge Univ. Press, 1925.

Глава 1-5

ТЕОРИЯ ИГР АВТОМАТОВ

Теория игр автоматов основана на принципах теории конеч­ ных автоматов и достаточно тесно связана с теорией игр в плане постановок задач, отличаясь от нее спецификой рассматриваемых систем.

Представляется целесообразным остановиться на теории игр автоматов подробнее, поскольку подобные модели возникают при построении математических моделей простейших форм поведения (Гельфанд, Цетлин, 1966). Основное отличие теории игр автоматов

В предыдущих главах рассматривались динамические систе­ мы, математические модели которых представляются дифферен­ циальными (или дифферепциально-разностными) уравнениями, обобщенные координаты которых определены на континуальном множестве, причем время изменяется непрерывно (или дискретно). К динамическим системам относятся также и такие системы, обоб­ щенные координаты которых могут принимать заранее фиксиро­ ванное число значений в дискретные моменты времени.

Существует несколько определений конечного автомата. Определение как динамической системы.

Автомат есть динамическая система, которая под влиянием входных возмущений S [к] изменяет свое внутреннее состояние Ф [к] и производит действие, определяемое вектором выходной величит ны ф[А].

При этом множества компонент векторов входных воздействий, состоящих из выходных величин, конечны и могут принимать зна­ чения соответственно из входного множества

sŒ.S = {s0, s b ... s n },

множества внутренних состояний Ф Е Ф = {%,...(іЛ І }

48

Знак J 1 функций .F и iji показывает, что они квантированы по уров­

цей перехода и выходов, или с помощью графов. Поведение конеч­ ного автомата, описанное приведенными уравнениями (1-5-1) и (1-5-2), может быть представлено в виде Структурной схемы систе­ мы с обратной связью. Уравнения (1-5-1) и (1-5-2) описывают по­ ведение детерминированных автоматов. При исследовании конеч­ ных автоматов может быть определена вероятность перехода из одного состояния в другое. Уравнение (1-5-2) для стохастических

M

J V ( x ) > 0 ; 2і Ѵ ( х) = і; (ѵ = і . . . л о .

49