книги из ГПНТБ / Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования

'значения констант, а также оценка соответствия полученных ана­ литических зависимостей реальным процессам. Задачи, возника­ ющие во втором направлении, позволяют изучить влияние на процесс кровотока таких его параметров, как эластичность стенок сосудов, вязкость крови, геометрические размеры сосудов и др. Математически эти задачи сводятся к анализу решений дифферен­ циальных уравнений в частных производных.

Третье направление посвящено анализу условий для наивы­ годнейшего (в определенном смысле) протекания процесса, про­ гнозирования поведения системы при изменении граничных условий.

Математически это направление связано с решением диффе­ ренциальных уравнений в частных производных и с соответству­ ющими вычислительными методами.

Создание математических моделейкровотока и их исследова­ ние с помощью ЦВМ может способствовать более четкой поста­ новке задачи для дальнейшего экспериментального нейрофизиоло­ гического изучения системы мозгового кровообращения.

Среди работ, посвященных проблеме мозгового кровообраще­ ния, представляется целесообразным рассмотреть подход Моска­ ленко (1967) к созданию математической модели внутричерепного кровообращения с помощью дифференциально-разностных урав­ нений. Подобный подход дает возможность представить сложные нелинейные зависимости в доступной для вычисления форме.

Сущность метода конечных разностей заключается в замене производных отношениями конечных приращений.

Включенные в модель функциональные связи можно разбить на три группы. К первой группе зависимостей относится измене­ ние объема сосуда или полости при изменении давления жидко­ сти, которая его наполняет. Эти зависимости являются нелиней­ ными и, согласно экспериментальным данным, приведенным Мос­ каленко, их можно выразить аналитически следующим образом:

где Wi — величина объема в относительных единицах; Pt — ве­ личина давления в относительных единицах; Р* — величина дав­ ления, при котором производится сопряжение данных зависимо­ стей; /Cj, Ä\j, а, Ь, *с, d — экспериментально подбираемые коэф­ фициенты. Ко второй группе зависимостей относится изменение давления жидкости в сосуде или полости в зависимости от объема среды, которая их наполняет. Эти зависимости являются обратны­ ми по отношению к зависимостям первой группы и также нелиней­ ными. Эти зависимости представляются аналитически следующими выражениями:

160

где W* — значение объема, при котором производится сопряже­ ние данных зависимостей; к3, /е4 , р, q, S — экспериментально под­ бираемые коэффициенты. К третьей группе зависимостей относит­ ся связь скорости перетока жидкости между двумя сообщающими­ ся объемами с разностью давлений в них. Учитывая, что система ис­ следуется в норме, где отсутствуют резкие и большие перепады венозного и ликворного давлений, скорость перетока ликвора и крови в этих условиях приближенно можно считать пропорцио­ нальной разности давлений. Поэтому указанные зависимости были линейными:

с различными скоростями и направлениями течения крови по по­ верхности системы. Подобными схемами можно представлять ткани мозга, почки и др.

С помощью языка математики, моделей, характеризуемых сис­ темой дифференциальных уравнений, могут быть описаны процес­ сы в капиллярах и ткани (Metzger, 1969).

Концентрация кислорода в ткани и капиллярах (в некоторой произвольной точке) может быть дана уравнением непрерывного баланса массы в элементе объема V и поверхности F, которое имеет вид

где t — время; Q (с) — потребление кислорода через химическую

реакцию в единицу времени и объема; / — поток кислорода через элемент поверхности dF.

Первый интеграл описывает временные изменения кислорода в объеме ѵ. Второй интеграл суммирует количество кислорода, которое проходит через поверхность F. Третий интеграл представ­ ляет потребление кислорода в ѵ.

Дифференциальное уравнение в частных производных (с при­ менением теоремы Гаусса):

_ £ = divtf + Q(c).

Это уравнение описывает процессы и в капиллярах, и в ткани. Причем в капиллярах Q (с) — 0, а для ткани Q (с) — AclKtc

(здесь А и К — константы, характеризующие скорость реакции в

DAc — А -гД— = О

К + с

(парциальное давление вычисляется из с разделением коэффициента растворимости а).

Для получения дифференциального уравнения для с в капил­ лярах можно вернуться к исходному уравнению. Для стационар­

Опуская промежуточные преобразования, представим уравнение в

циент, характеризующий границу дуги ткани, взятой в нормаль­ ном направлении.

Уравнения полностью описывают модель концентрации кисло­ рода в поверхности ткани, показывая влияние мембраны капилля­ ра как диффузионного барьера (Metzyer, 1969).

В работе далее получено численное решение этих уравнений

циальных уравнений в частных производных (см. главу 1-0) (Беллман, Кук, 1967).

Одной из конкретных задач в изучении мозгового кровообра­ щения посвящена работа Мчедешвили, Ормоцадзе, Митагвария (1971).

При построении модели приняты следующие допущения: сосу­ ды головного мозга рассматривались как система с сосредоточен­ ными параметрами; относительная вязкость крови принималась величиной постоянной; сопротивление току крови меняется лишь при активных изменениях просвета сосудов. По мнению авторов,

162

эти допущения не влияли существенно на адекватность модели исследуемому объекту.

Исходя из литературных данных о взаимосвязях между основ­ ными гемодинамическими параметрами и особенностями функцио­ нирования сосудистых механизмов головного мозга, структура модели была принята следующей. Давление в виллизиевом кругу ( Р в к ) определяется уровнем давления в аорте (Ра ) и величинами гемодинамических сопротивлений как на участке магистральных

совместно с гемодинамическим сопротивлением в магистральных артериях мозга определяет величину объемной скорости кровотока Ѵ-і через указанные артерии:

Последнее выражение. является аналогом закона Ома для жид­ костей]

Т7 dP г \

где Р — давление внутри сосуда; g — проводимость, являющаяся

функцией радиуса (7-) сосуда; х — координата протяженности.

С помощью перепада давлений (ДР2 ) между виллизиевым кру­ гом (Рвк) и венозными синусами мозга (Рс )

ДР 2 = Рвк — Pc

игемодинамического сопротивления на этом же участке ( Д п )

определена объемная скорость кровотока в мозгу:

Р— Р

вк с

о, —•

Далее, исходя из закона непрерывности, применительно к цирку­ ляции крови авторы показали, что объемная скорость кровотока через магистральные артерии равна объемной скорости кровотока через остальные сосуды мозга, т. е.

авк вк с

Поскольку сосудистая система мозга находится под непрерыв­ ным контролем нервных и гуморальных управляющих воз-

6* 163

действий, можно полагать, что механизмы, вырабатывающие эти воз­ действия, получают исходную информацию (как и в любой системе управления с обратной связью) о состоянии регулируемой вели­ чины и после переработки этой информации выдают адекватные управляющие воздействия, изменяющие сопротивление в сосудах головного мозга. К таким источникам информации можно отнести прессо- и хеморецепторы, расположенные в области каротидного синуса, в виллизиевом кругу и в венозных синусах головного моз­ га. По мнению авторов, гемодинамическое сопротивление на участ­ ке магистральных артерий имеет вид

рии мозга со стороны нервнорефлекторного и гуморального ме­ ханизмов. Аналогично сказанному

где ип...и2т — управляющие воздействия на пиальные и другие мелкие сосуды головного мозга со стороны нервнорефлекторного и гуморального механизмов.

В соответствии с разработанной авторами методикой экспери­ ментов на препарате изолированной внутренней сонной артерии,

где К — тангенс угла наклона линейной характеристики, опре­ деляемой в функции от уровней фиксированных значений і ? м и Rn. Далее были найдены зависимости:

которые носили нелинейный характер и имели зоны «насыщений», когда дальнейшие изменения RM и Rn не вызывали заметных из­ менений ОТНОШеНИЯ Рвк/Ра-

164

Таким образом, на основе указанных данных задача свелась к определению функции двух переменных:

^ • = Ф(Дм, Ru).

Как было показано в разделе I I , измерение мозгового кровото­ ка при различных видах патологии мозга дает возможность вы­ явить его резкие изменения (усиление или ослабление). При этом обнаруживается, что в каждом отдельном случае на мозговые сосуды могут действовать самые различные причины, способству­ ющие как усилению мозгового кровотока (ацедоз спинномозговой жидкости, артериальная гиперкапния и гипоксемия, эпилептичес­ кие припадки и т. д.), а также ослаблению кровотока (артериаль­ ная гинокапния, повышение внутричерепного давления и т. д.). При этом одна и та же причина (например, ацидоз спинномозговой жидкости), вызывающая усиление мозгового кровотока, является пусковым механизмом для целой серии реакций (гипервентиляция, отек мозга и т. д.), способствующих ослаблению кровотока.

В результате преобладания тех или иных воздействий мозго­ вой кровоток может как резко усилиться, так и быть ослабленным. Нормализации кровотока можно добиться не только прямым воз­ действием на кровеносные сосуды, но и применением препаратов, воздействующих на те причины, которые вызывают его изменение.

Анализ приведенной схемы показывает, что факторы, воздей­ ствующие на мозговое кровообращение, могут быть представлены в виде многоступенчатой системы, содержащей элементы разных классов (внешние и внутренние) и двух типов (усиливающие и ослабляющие).

Эффект воздействия каждого из этих элементов на мозговое кровообращение может характеризоваться с помощью весовых

вующих элементов рассматриваться состоящим из трех подмно­ жеств:

Q (.-элементов, присутствующих во внутреннем процессе (нор­

Если воздействия элементов, принадлежащих Qs , уравновеши­ вают друг друга, то кровоснабжение мозга является нормальным.

При усилении эффекта влияния одной группы элементов, при­ надлежащих Qs , не компенсируемом действием другой группы элементов, возникает патологический режим.

165

Другой патологический режим возникает при травме (наличии элементов, принадлежащих QT).

Одним из путей нормализации процесса мозгового кровообра­ щения является введение в организм метаболитов, являющихся элементами Q/.

Поскольку нормализация мозгового кровообращения может быть рассмотрена как минимизация рассогласовывания между значением мозгового кровотока, полученного в результате пато­

166

Глава Ш - 4 ВЕГЕТАТИВНЫЕ Ф У Н К Ц И И

В большинстве работ, посвященных моделированию вегетатив­ ных функций, используются методы теории автоматического регу­ лирования (см., например, Гродинз, 1967).

Однако более перспективным, по нашему мнению, является применение тех математических методов, которые позволяют по­ дойти к пониманию механизмов функциональной организации био­ логических систем.

Примером такого моделирования вегетативной функции (ды­ хания) является модель И. А. Кедр-Степановой и H . Н. Рикко (1966).

В этой модели рассматривается взаимодействие нейронов двух типов А я В. Клетки типа А расположены в узлах прямоугольной решетки, каждая из -них связана только со своими четырьмя бли­ жайшими соседями, образуя непрерывную среду. Каждая из кле­ ток типа В связана с большим числом клеток типа А, расположен­ ных в ограниченной окрестности клетки типа В. Клеток типа В во много раз меньше, чем клеток типа А.

Клетка типа А способна возбуждаться, причем возбуждение длится один такт времени и сменяется рефрактерностыо. Возбуж­ дение может быть вызвано внешним импульсом. При отсутствии спонтанной активности возбуждение, возникшее в одной клетке под влиянием внешнего сигнала, распространится от нее по сре­ де. При движении возбуждения по среде вслед за фронтом воз­ буждения движется рефрактерная зона. Если фронты возбуждения движутся навстречу друг другу, то возбуждение исчезает там, где эти фронты встречаются. Клетки типа А могут иметь спон­ танную активность, т. е. способность возбуждаться спонтанно с периодом Т: через Т единиц времени после возбуждения клетка вновь возбудится, если за время Т она не возбуждалась под влия­ нием активности соседних клеток или внешних импульсов.

Аналогичными свойствами обладают клетки типа В. Однако для возбуждения этих клеток в момент t -f- 1 нужно., чтобы в мо­ мент t было возбуждено определенное количество Р клеток типа А, связанных с ней возбуждающимися связями. Пусть величина Р — порог возбуждения — зависит от того, как работала клетка типа

167

Модель системы разнородных нейронов И. А. Кедр-Степановой и I i . Н. Рикко представляет собой один из возможных механизмов генерации ритмической залповой активности. Эта активность оказывается устойчивой к случайным внешним воздействиям и возникает в результате взаимодействия двух типов нейронов — нейронов типа А, образующих среду, в которую включены нейро­ ны типа В. Нейроны типа В имеют переменный порог срабатыва­ ния, а все связи являются возбуждающими.

источника возбуждения, находящегося в центре окрестности (Кедр-Степано­ ва, Рикко, 1966)

Периоды залповой активности могут быть обусловлены либо обратной связью, работающей с некоторой задержкой, либо спон­ танной активностью клеток среды.

Если на среду приходит случайная афферентация, то клетки среды, расположенные вблизи от клетки В, работают в залповом режиме, таком же, как и у клеток В. Удаленные клетки типа А будут работать непрерывно, залпами с другим периодом или даже молчать. В этом смысле поведение клеток А аналогично поведе­ нию клеток ретикулярной формации, окружающих дыхательные нейроны и образующих с ними единую функциональную систему (рис. 35, 36).-

Синхронизация активности нейрона зависит от степени пере­ сеченности окрестностей клеток В, причем ведущей в такой сис­ теме всегда оказывается клетка, имеющая исходно наиболее дли­ тельный залп. Модель И. А. Кедр-Степановой и H . Н. Рикко не претендует на полное описание организации дыхательного центра. В ней не учтены такие важные особенности его структуры, как существование инспираторных и экспираторных нейронов, а так­ же не учитывается наличие тормозных связей.

168

Л И Т Е Р А Т У Р А

Кедр-Степанова И. А., Рикко ТІ. H. Модель системы нейронов с периодичес­ кой залповой активностью, устойчивой к случайным афферентным влия­ ниям.— В сб. «Модели структурно-функциональной организации некото­ рых биологических систем». М., «Наука», 1966.

Градина Ф. Теория регулирования и биологические системы. М., «Мир», 1966.

Глава II1-5

СЕНСОРНЫЕ СИСТЕМЫ

Данные, лежащие в основе классической психофизиологии органов чувств, в настоящее время значительно дополнены ре­ зультатами, полученными при регистрации различных объектив­ ных реакций.

Среди исследований, посвященных моделированию сенсорных систем, особого внимания заслуживает работа Н. Д . Завалипшна и И. Б. Мучника (1971). В этой работе модельные представления явились основой для проведения физиологических экспериментов, направленных на выяснение механизмов зрительного восприятия и объясняющих некоторые оптические иллюзии.

Авторы предлагают метод, основанный на способе выделения локальных геометрических особенностей изображения.

Введено в рассмотрение окошко простой формы (например, круглое), размеры которого меньше исследуемого изображения. Окошко помещено в каком-либо произвольном месте изображения. Фрагмент зависит от расположения окошка, т. е. от того, с какой точкой изображения совмещен центр окошка. Каждому фрагменту можно поставить в соответствие число, характеризующее особен­ ности его формы. С этой целью вводится в рассмотрение стандарт­ ное изображение — пятно, размер которого совпадает с размером окошка, а зачерненность падает от центра к периферии.

В качестве оценки, характеризующей особенности формы фраг­ мента, выбирается расстояние между этим фрагментом и стан­ дартным изображением в пространстве рецепторов окошка.

Стандартное изображение и окошко разбиваются на клетки. С каждой клеткой стандартного изображения связывается число, характеризующее ее зачерненность, а с каждым окошком — чис­ ло, характеризующее зачерненность участка фрагмента изобра­ жения, видимого через эту клетку. В результате получаются два набора чисел, каждый из которых рассматривается как совокуп­ ность координат точки в многомерном пространстве (пространство рецепторов окошка). Размерность этого пространства равна числу

169