книги из ГПНТБ / Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования

Апостериорная плотность вероятности стремится к истинному значению параметра а. Апостериорная плотность вероятности, являясь информационным показателем опыта, представляет собой условную плотность вероятности Р (АIX) при условии, что на­ блюдаемый вектор X задан. Определяется апостериорная плот­ ность вероятности с помощью формулы Бэйеса:

мула Бэйеса дает возможность определить апостериорные веро­ ятности значений А, если известны априорные вероятности и век­ тор X, определяемый в результате опыта.

Отдельные наблюдения над случайным процессом £ (t), про­ текающим в контролируемых условиях опыта, дают каждый раз различные функции х (t) — реализации случайного процесса.

Одним из распространенных является марковский случайный процесс, для которого поведение (вероятностные характеристики для будущих моментов времени) определяется состоянием в дан­ ный момент и не зависит от «предыстории».

Динамические задачи для стохастических моделей могут ре­ шаться с помощью условных марковских процессов, причем диф­ ференциальное уравнение записывается, например, в виде

не представляют всего многообразия моделей управляемых систем. Многие классы моделей управляемых систем имеют дискретновероятностные представления (связанные с нейронными сетями, конечными автоматами и т. д.), которые рассмотрены ниже в со­ ответствующих главах.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Беллмап Р. Введение в теорию матриц. М., «Наука», 1969.

Беллман Р., Кук К. Дпфференцпально-разностные уравнения. М., «Мир», 1967.

Буткоеский А. Г. Теория оптимального управления системами с распреде­ ленными параметрами. М., «Наука», 1965.

Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М., «Наука», 1970.

10

Фелъдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М., 1963.

Ципкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М., «Нау­ ка», 1969.

Глава 1-1

ИДЕНТИФИКАЦИЯ

Одной из основных проблем, возникающих при исследовании управляемых систем, является определение характеристик объек­ та и приложенных к нему возмущений — проблема идентификации.

В этой проблеме возникают две задачи: определение структуры и параметров объекта и определение параметров объекта при изве­

задач идентификации для линейного объекта рассмотрел Браверман (1966). Более общие проблемы рассмотрели Цыпкин (1968), Райбман (1967) и др.

Одним из методов определения характеристик объекта являет­ ся частотный метод. Как известно, при этом на вход объекта подается гармоническое возмущение

X (t) — X sin at,

где А (г- амплитуда; ш = 2л/ Г — частота; Т — период колебания. Выходная переменная объекта представляется также в виде

11

о

которые связаны между собой с помощью прямого и обратного пре­ образования Лапласа.

Наиболее простой путь определения частотной характеристики физического или биологического объекта состоит в измерении установившейся реакции на синусоидальный входной сигнал для различных частот. При этом могут быть получены амплитудночастотная характеристика YIX (со) и фазочастотная характери­ стика ф (а>), характеризующие линейный объект.

Этот метод имеет ограниченную область применения (особенно для действующих систем).

В общем случае удобнее находить частотную характеристику путем анализа неустановившейся реакции объекта на произволь­ ное возмущение, которое может иметь форму единичной ступени или импульса.

Можно считать, что неустановившееся колебание представляет собой сумму синусоидальных колебаний с различными амплиту­ дами, перекрывающих весь частотный диапазон. Поэтому реакция линейной системы на неустановившийся входной сигнал может

Этот интеграл должен вычисляться для каждой частоты в пре­ делах времени от нуля до бесконечности. Интегрирование может

в течение некоторого конечного периода времени Т так, чтобы функция / (t) могла быть выражена аналитически на интервале времени от Т до бесконечности.

Таким образом, реакция объекта на входное возмущение мо­ жет быть представлена в виде

тоо

От

12

где ут — постоянное установившееся значение у (t), соответствую­ щее постоянной величине возмущения.

Раскладывая комплексную величину на действительную и мнимую составляющие

Аналогичные преобразования выполняются и для входного сиг­ нала X (t). Частотная характеристика системы получается в виде

нала вместо единичной ступени является предпочтительным, так как не требует перехода объекта в новое состояние и при правиль­ ном выборе длины импульса позволяет получить достаточный спектр частот. '

Выше был рассмотрен один из способов идентификации, при­ годный для линейных систем.

Однако среди биологических процессов регуляции (например, метаболических процессов, см. гл. III-2) преобладают нелинейные динамические процессы. В этих случаях целесообразно использо­ вать идентификационную процедуру, основанную на квазилине аризации (Bellman et al., 1967).

Пусть динамический процесс описывается нелинейным диффе­ ренциальным уравнением вида

-§- = g(x,k,K),

где к ж К — скоростные константы, значение которых нужно оце­ нить.

Пусть іѴ-мерный вектор х {t) является решением дифференци­ ального уравнения

•§- = g{x), ач(0) = оц, і = 1 . . . 5 .

13

Первая из S компонент х (0) особая, а остальные N —S оцени­ ваются по минимуму суммы

жительное значение, тогда в линеаризованной форме это уравне­ ние можно записать так:

Тогда мы получаем численно N — S независимых векторных ре­ шений однородных уравнений

hj = / (a*) hy, / = 5 + 1, S + 2 ... N,

где hj {t), N — размерный вектор. Для начальных условий

hj (0); / = S + 1, S + 2 ... N,

тогда решение представлено в форме

Они вычисляются как решение линейных алгебраических уравне­ ний

3Q

ВС, = 0, J = 5 + 1 . . . N. Тогда выражение для x (tt) имеет вид

14

G учетом P (0) hj (0) мы имеем новое значение начального век­ тора

s(0) = as 1

Cs+i

Процесс может быть повторен для получения улучшенной оценки. Другой метод основан на использовании весовой функции.

Известно, что основной динамической характеристикой объ­ екта является весовая (импульсная переходная) функция (Пуга­ чев, 1960). Ее использование для определения характеристик ли­ нейной системы основано на принципе суперпозиции и свойствах б-функции.

Импульсной б-фуикцией называется такая функция, которая равна нулю всюду, кроме начала координат, равна бесконечности в начале координат, а интеграл от нее, распространенный на сколь угодно малый отрезок, содержащий начало координат, равен единице.

стемы на произвольное возмущение может быть представлена в ви­ де суммы реакции этой системы на элементарные возмущения, на которые это произвольное возмущение может быть разложено. Поэтому динамические характеристики линейного объекта можно

N x(t)=2ckxk(t),

15

Если входные возмущения системы выразить как

x(t) = ^C(X)l(t,X)dX,

то выходная переменная система выражается как

где функции Z (t, X) являются выходными переменными данной системы, соответствующими возмущениям !• (S, X) при тех же зна­ чениях параметра X,

Z (t, X) = Atl (t, X).

С помощью известных свойств ô-функции произвольная функ­ ция X (t), являющаяся входным возмущением, может быть запи­ сана в виде

является статистический метод. Этот метод базируется на мате­ матической статистике. Поэтому рассмотрим здесь сначала основы этого метода для простейшего одномерного объекта, на входе которого приложено случайное воздействие х (t), а на выходе объ­ екта имеем случайную функцию у (t) (Райбман, 1967). Математи-

16

которое устанавливает связь между выходной и входной перемен­ ными.

Для линейных объектов зависимость выходной переменной у (£) от входной X (t) может быть задана дифференциальным урав­ нением

импульсной переходной функцией g (t, s)

где

ce

: (t) = ^ P (со) ешаа.

Определение общей характеристики объекта оператора может быть произведено по статистическим характеристикам входной и

у* (t) = Atx (s)

и случайной функции у (t), являющейся выходной переменной

17

біиолкотека СССР

поставленной задачи на математическое ожидание этой функции

При идентификации объектов управления в большинстве прак­ тических случаев ищется оптимальный оператор по критерию минимума средней квадратической ошибки, т. е. принимают

Р [Уи У*] = ІУі — У*)2-

Тогда из условия (1-1-2) получим следующее уравнение для опреде­ ления оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценки оператора At:

ского ожидания, т. е. регрессия выходной переменной у (t) отно­ сительно входной X (t) дает оптимальный оператор объекта в клас­ се всех возможных операторов.

В нашедших широкое развитие статистических методах иден­

18

Весовая функция g (t, s) определяется из интегрального урав­ нения

Kyx(t,v)= jj g(t,s)Kxs(s,v)ds, t-T

здесь T — интервал наблюдения.

В частном случае, когда функции х (t) и у (t) являются ста­ ционарными и стационарносвязанными, оптимальная оценка опе­ ратора А * может быть определена из уравнения

Кѵ х {%) = А ' К х х (t — х),

весовая функция (при бесконечном интервале наблюдения) — из интегрального уравнения Винера — Хопфа

Как было показано выше, задачей идентификации является опре­ деление оператора Dt объекта или, иными словами, математиче­ ской модели объекта.

Первый простейший метод идентификации применялся Ро­ бинсоном (1968) для получения передаточной функции при иссле­ довании глазодвигательного аппарата (см.- главу II1-5). Ко второ­ му направлению идентификационных задач, основанному на тео­ рии квазилинеаризации, можно отнести идентификационную про­ цедуру, разработанную Р. Беллманом применительно к процессам метаболизма и кровообращения (см. главу Ш - 2) .

19