Adaptatsionny_Kurs_Kulik

Для единичной окружности: sin y ;

cos x . Но

y

2

x

2

1.

Отсюда: sin

2

cos

2

1

– основное тригонометрическое тождество.

tg sin ,

ctg

cos

ctg

1

tg ctg 1 .

sin

tg

cos

Разделим последовательно

равенство

sin

2

cos

2

1

на cos

2

0

sin

2

Синус суммы:

sin sin cos cos sin

синус разности:

sin sin cos cos sin

косинус суммы:

cos cos cos sin sin

косинус разности:

cos cos cos sin sin

тангенс суммы:

tg

tg tg

;

1

tg tg

тангенс разности:

tg

tg tg

.

1

tg tg

sin 2 2sin cos

cos

2

sin

2

1 2sin

tg 2

2 tg

1 tg

2

;

2

2cos

2

2sin

cos

;

2

2

2cos

cos

;

2

2

2sin

cos

;

2

2

1

cos

2

1

cos

2

1

sin

2

На интервале

;

функция

y sin

2

– это такое число

x

возрастает.

;

2

, синус которого равен

a .

2

;

,

arcsin a

2

2

a 1.

sin a,

функция

y tg x

2

a – это такое число

;

, тангенс которого равен

интервала

2

2

;

,

arc tg a

2

2

tg a.

arc tg a arc tg a

tg arc tg a a

, если приращение аргумента стремится к нулю

x 0 : y

f

x lim

f x

x

x 0

Для обозначения производной употребляют символы:

dy

df

x

,

или

f

x , или dx

, или

dx .

y

Читают так:

y

- игрек штрих,

f x

- эф штрих от икс,

dy

- дэ игрек по дэ икс,

df x

- дэ эф от икс по дэ икс.

dx

dx

x

n

nx

n 1

1

1

, x 0

x

2

x

1

, x 0

x

2

x

C const

UV

U V UV

Как читать

Пример

Производная суммы

1

x

x

x

1

(разности) функций равна

x

2

x

сумме (разности)

производных функций

Постоянный множитель

5

5

5 1

4

можно выносить за знак

4x

4 x

4 5x

20x

производной

Производная произведения

x 2 x

x 2 x

x

x 2

2

2

2

равна сумме произведений

производной первой функции

2

2x x 2

на вторую и производной

x

2 x

1

0 x2 2x x 2 3x2

4x

второй функции на первую

U

U V V U

V

2

V

1

x

2

1 x x 1

0 x 1 1

x2

x2

x

x

sin x

cos x

e

e

arcsin x

1

1 x

2

x

x

cos x

sin x

a

a

ln a , a 0

arccos x

1

1 x

2

1

1

, x

0

1

tgx

2

ln x

arc tgx

2

cos

x

x

1 x

ctgx

1

loga x

1

,

arc ctgx

1

2

x

x

2

sin

x ln a

1

x 0, a 0, a 1

4. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Таблица производных функций ( U функция от x ):

Функция

Производная функции

y C const

y C 0

y x

y x 1

y U n

y

U

n

nU

n 1

U

y

1

y

1

1

U ,

U 0

U

2

U

U

y

U

y

U

1

U , U

0

2

U

y aU

U

U

0

y a

a ln a U , a

y eU

U

U

U

y e

e

y loga U

1

y loga U

U ,

U 0, a 0, a 1

U ln a

1

U

, U 0

y lnU

U

cosU

U

y sinU

sinU U

y cosU

1

U

y tgU

2

U

cos

1

U

y ctgU

2

U

sin

y arcsinU

1

U

1 U 2

1

U

y arccosU

1 U

2

1

U

y arctgU

2

1 U

1

U

y arc ctgU

2

1 U