Программа курса

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Специальность: МАТЕМАТИКА

1 семестр 2012/2013 учебного года.

1. Комплексные числа, сложение и умножение комплексных чисел, свойства этих операций.

2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

3. Извлечение корней произвольной степени из комплексных чисел. Корни из единицы.

4. Определение группы, примеры групп.

5. Определение поля, примеры полей.

6. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Теорема об отношении эквивалентности.

7. Уравнения третьей степени с комплексными коэффициентами, метод Кардано.

8. Уравнения четвертой степени с комплексными коэффициентами, метод Феррари.

9. Многочлены от одной переменной над полем, сложение и умножение многочленов. Степень многочлена, ее свойства.

10. Деление многочленов с остатком. НОД многочленов.

11. Алгоритм Евклида нахождения НОД. Линейное представление НОД.

12. Взаимно простые многочлены, их свойства. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.

13. Основная теорема алгебры, ее следствия.

14. Корни многочленов. Теорема Безу. Кратные корни.

15. Рациональные корни многочленов над полем рациональных чисел. Признак Эйзенштейна.

16. Производная многочлена, ее свойства. Связь кратных корней с производной. Формула Тейлора.

17. Ряд Штурма вещественного многочлена. Теорема Штурма.

18. Теорема Бюдана-Фурье.

19. Правило знаков Декарта.

20. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

21. Поле рациональных функций от одной переменной над полем.

22. Канонический вид рациональной функции над полем комплексных чисел.

23. Канонический вид рациональной функции над полем вещественных чисел.

24. Кольцо многочленов от нескольких переменных над полем.

25. Старший член многочлена в лексикографическом порядке. Старший член произведения многочленов.

26. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета.

27. Группа подстановок из n элементов.

28. Четность подстановки. Изменение четности при умножении на транспозицию. Знак подстановки.

29. Определение и свойства определителей.

30. Теорема Лапласа.

31. Разложение определителя по строке. Определитель блочно-диагональной и блочно-треугольной матриц.

32. Определитель Вандермонда