Adaptatsionny_Kurs_Kulik
.pdf
1
FA
FA
2 
mg
3
FA
mg
Если учесть, что площадь грани S a2 , а полное давление (смотри (30)) на разных
глубинах |
p1 p0 ρЖ g h1 |
и |
p2 p0 ρЖ g h2 |
, то |
окончательное выражение для силы Архимеда:
FА ρЖ gV , |
(32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ρж |
- |
плотность жидкости; V |
– объем |
|
|
|
mg |
|
погруженной части тела. Формула (32) является |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математическим выражением закона Архимеда: |
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 32 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
на тело при его погружении в жидкость или газ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действует |
выталкивающая сила, |
которая |
||
направлена вертикально вверх и равна весу жидкости или газа в объеме погруженной части тела.
Рассмотрим действия сил на тела, помещенные в жидкость (рис. 32).
Вид движения 1-го и 2-го тел легко понять, используя второй закон Ньютона. Третье тело плавает в соответствии с первым законом Ньютона, который позволяет записать условие плавания тела:
FА m g .
Упражнение 9. Ответьте на вопросы и выполните задания:
(33)
1.Дайте определение гидроаэромеханики, гидроаэростатики.
2.Что такое плотность? В каких единицах она измеряется?
3.Какую физическую величину называют давлением? В каких единицах измеряется давление?
4.Запишите формулу гидростатического давления. От чего оно зависит?
5.Сформулируйте закон Паскаля.
6.Почему в опыте Торричелли вся ртуть не вылилась из трубки в чашку со ртутью?
7.Какое давление называют нормальным атмосферным давлением?
8.По какой формуле определяется полное давление в жидкости?
9.По какой формуле определяется выигрыш в силе в гидравлическом
прессе?
10.Сформулируйте закон Архимеда и запишите формулу для силы Архимеда.
11.Найдите давление в озере на глубине 4,5 м, если плотность воды
1000
(кПа).
кг/м |
3 |
|
, атмосферное давление 100 кПа. Ответ выразить в килопаскалях Ответ: 145 кПа.
42
12. |
Надводная часть айсберга имеет объем |
550 м3. |
Плотность льда |
|
920 кг/м3 , плотность морской воды 1030 кг/м3 . Найдите объем айсберга. |
||||
|
|
|
Ответ: |
5150 м3. |
13. |
Какую силу надо приложить, чтобы |
удержать |
в воде |
камень |
массой 10 кг? Плотность вещества камня 2,6 103
103 кг/м3 .
кг/м |
3 |
, а плотность воды |
|
Ответ: 61,5 Н.
14. Стеклянный шарик падает в воде с ускорением 5,8
м/с |
2 |
|
. Найдите
плотность стекла, если плотность |
воды |
10 |
3 |
кг/м |
3 |
, |
сопротивлением |
воды |
||
|
|
|||||||||
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2450 |
м/с |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. Воздушный шар объемом |
600 |
м3 находится |
в равновесии. |
Какое |
||||||
количество балласта надо выбросить за борт, чтобы шар начал подниматься с
ускорением 0,1 пренебречь.
м/с |
2 |
|
? Плотность воздуха 1,3
кг/м |
3 |
|
. Сопротивлением воздуха Ответ: 7,88 кг.
43
|
|
Глава 4. Законы сохранения |
|
|
4.1. Закон сохранения импульса |
Импульсом |
|
тела (материальной точки) называется векторная |
pi |
||
|
|
|
величина, равная произведению массы тела (точки) на скорость i |
движения: |
pi |
mi i |
, |
pi |
кг м |
. |
|
с |
||||||
|
|
|
|
|
Единица импульса – килограмм на метр в секунду ( кг м / с ).
Если в ИСО (инерциальной системе отсчета) рассматривается совокупность называется системой тел. Если на систему тел не
внешние силы или результирующая внешних сил равна нулю ( Fвнеш
(34)
n тел, то их
действуют
0 ), то такая
система называется замкнутой (изолированной). В замкнутой системе внешние силы не действуют ни на одно тело и для нее справедливо равенство:
pp i
i 1n
const
,
или
|
n |
i |
|
i |
|
p |
m |
|
|
i 1 |
|
const
.
(35)
Это равенство является математическим выражением закона сохранения импульса: в ИСО результирующий импульс замкнутой системы тел с
течением времени не изменяется. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
m |
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
Для |
практического |
использования |
||
|
1, |
|
2, |
|
2 |
1, |
u |
2, |
u |
2 |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(решения задач) этот закон (35) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удобнее |
представить |
в развернутом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 33 |
|
|
|
|
|
|
виде: |
в |
замкнутой |
системе сумма |
импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов тел после взаимодействия:
|
|
|
|
|
|
p |
p |
p |
p |
p |
p |
1 |
2 |
n |
1 |
2 |
n |
,
(36)
здесь штрихами обозначены импульсы тел после взаимодействия.
Пример. Рассмотрим замкнутую систему тел (шаров) с массами m1 и m2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
, после взаимодействия |
на рисунке 33: до взаимодействия скорости тел 1 |
и 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(соударения) - скорости u1 |
и |
u2 . Запишем формулу (36) с учетом (34) для |
||||
рассматриваемой системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 1 |
m2 2 |
m1u1 m2u2 |
|
|
Для нахождения значений величин, входящих в это выражение, необходимо спроецировать его на ось ОХ (смотри раздел 2.3)
ОХ: m1 1x m2 2 x m1u1x m2u2x .
44
С учетом определения импульса тела (34), уравнения движения тела, т.е. второго закона Ньютона (19), и определения мгновенного ускорения (9)
запишем общую формулировку второго закона Ньютона:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
d (m ) |
|
d p |
|
d p |
||
|
|
|
|
F |
|||||
F m a => F m |
d t |
dt |
d t |
d t |
|||||
|
|
d |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
импульс силы, т.е. произведение силы на время
приращению импульса тела d p .
или |
F d t d p , |
еѐ действия |
F d t , равен |
Следует помнить, что импульса тела.
d t
и
d p
есть очень малые приращения времени и
Упражнение 10. Ответьте на вопросы и выполните задания:
1.Какая физическая величина называется импульсом тела? В каких единицах она измеряется? Запишите математические выражения закона сохранения импульса.
2.Вычислите импульс сигнальной ракеты, у которой через две секунды
масса равна 200 г. Уравнение координаты ракеты: |
y 2 3,5 t |
2 |
(м) . |
|
|
|
|||
|
Ответ: 2,8 |
кг м/с . |
||
3. Поезд массой 2000 т, который движется прямолинейно, увеличил
скорость от 36 |
км/ч до 72 |
км/ч . Найти изменение импульса поезда. |
|
|
Ответ: 2 107 кг м/с . |
4. С лодки массой 200 кг, движущейся со скоростью 1 м/с , прыгает мальчик массой 50 кг в горизонтальном направлении со скоростью 7 м/с . Найдите скорость движения лодки после прыжка мальчика, если мальчик прыгает 1) с кормы в сторону, противоположную движению лодки; 2) с носа по
ходу движения. |
Ответ: 3 |
м/с ; 0,5 |
м/с . |
5. Сигнальная ракета, масса которой без заряда 400 г, при сгорании топлива поднимается на высоту 125 м. Определить скорость выхода газов из ракеты, считая, что сгорание топлива массой 50 г происходит мгновенно.
Сопротивление воздуха не учитывать. |
Ответ: 400 м/с . |
6. Стоящий на льду конькобежец массой 60 кг |
ловит мяч массой 0,5 кг, |
который летит горизонтально со скоростью 20 м/с . На какое расстояние
откатится человек с |
мячом |
по горизонтальной поверхности льда, если |
коэффициент трения 0,05? |
Ответ: 0,028 м. |
|
7. Снаряд массой |
50 кг, |
летящий со скоростью 600 м/с , попадает в |
платформу с песком массой 10 т и застряѐт в песке. Вектор скорости снаряда в момент падения образует 45° с горизонтом. Определить скорость платформы
45
после попадания снаряда, если: 1) платформа движется навстречу снаряду со скоростью 10 м/с .
неподвижна; 2) платформа Ответ: 2,1 м/с ; 7,8 м/с .
4.2. Работа. Мощность. КПД
При перемещении тела работа А (рис. 34)
F
α |
|
|
|
r |
|||
|
|||
r s |
|
|
|
|
|
|
|
Рис .34 |
|
|
|
Рис. 34 |
|
|
|
|
|
|
|
под действием силы |
|
совершается |
||||||||
F |
||||||||||
A |
|
F |
|
|
|
r |
|
cosα |
|
(37) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа А – это скалярная величина, которая равна произведению модуля силы
на модуль перемещения и на косинус угла |
||||||
между векторами |
|
|
|
|
||
F |
и r . |
|
|
|||
Нам |
|
известно, |
что |
при |
||
прямолинейном |
|
движении |
в |
одном |
||
направлении |
|
s , и тогда |
(37) |
примет |
||
r |
||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
A F s cosα |
|
(38) |
||||
Единица работы в СИ - джоуль (Дж):
A кг м2 . с2
Таким образом, 1 Дж=1 Н·м.
Мощность N – это величина, равная отношению работы А ко времени t, за которое эта работа совершена.
N |
A |
. |
|
|
|
|
(39) |
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Единица мощности в СИ – ватт (Вт): |
1 Вт 1 |
Дж |
1 |
Н м |
. |
|||
с |
с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Если тело движется прямолинейно с постоянной скоростью , то его путь |
||||||||
s t , работа силы тяги ( F Fcosα ) |
A F s F t |
и, таким образом, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мощность
N
A |
|
F t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
F
.
(40)
46
Эта формула справедлива и при неравномерном движении: тогда N – это
мощность в данный момент времени, |
F |
- проекция |
силы на направление |
движения в данный момент времени, |
- модуль мгновенной скорости тела. |
||
При движении в любом механизме |
действуют |
силы сопротивления, |
|
поэтому приходится совершать работу против этих сил. Работа против сил сопротивления называется работой потерь. Работа, которую совершает сила в отсутствие сопротивления, называется полезной работой.
Полная работа А, которую |
совершает механизм, складывается из |
полезной работы Aп и работы потерь |
Ас: |
A
Aп
Ac
.
(41)
Для характеристики механизмов и
полезного действия (КПД) :
|
A |
|
n |
||
|
||
|
A |
машин используется
1.
коэффициент
(42)
Если учесть выражение (39), то получим еще одну формулу для КПД:
где
N |
п |
|
η |
N |
п |
1 |
, |
(43) |
|
|
||||||
N |
||||||
|
|
|
|
|||
- полезная мощность, которая также является характеристикой
механизмов поскольку A
и
машин; Aп (или
N
N
– полная мощность. КПД всегда меньше единицы,
Nп ).
4.3. Энергия. Закон сохранения энергии
Энергия – это универсальная количественная мера движения и взаимодействия различных видов объектов в природе. Объекты в природе имеют две основные формы существования: вещество и физическое поле
(гравитационные, электромагнитные и другие поля – изучаются в других разделах физики).
Критерием (признаком) того, что тело (или система тел) обладает энергией, является способность тела (или системы тел) совершать работу. Если
тело (или система тел) совершает работу А, то при этом происходит |
убыль |
энергии тела (- E ) (или системы тел): |
|
- E A . |
(44) |
47
Возможна и другая ситуация: работа А, которая производится над телом, идет на приращение энергии E тела (или системы тел)
A E.
Из этих выражений следует, что единицей энергии есть джоуль
энергия является скалярной величиной.
Существует два вида механической энергии: кинетическая
(45)
(Дж) и
Ek |
и |
потенциальная |
Ep . |
Кинетическая энергия
E |
k |
|
– это энергия движения тела (или системы
тел)
Ek
=m 2
2
,
(46)
где m - масса тела; - модуль его скорости.
Потенциальная энергия Ep – это энергия взаимодействия тел или частей одного и того же тела (или системы)
Ep m g h ; |
|
(47) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
Ep |
k x |
. |
|
(48) |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Формула (47) дает возможность |
рассчитать энергию тела |
массой |
m , |
||
поднятого над землей на высоту h . Формула (48) дает возможность рассчитать энергию упругой деформации тела (пружины) при растяжении или сжатии на величину x ; k - жесткость пружины.
Состояние тела или системы тел характеризуется полной механической энергией E . Полная механическая энергия равна суме потенциальной E p и
кинетической Ek энергии тела (или системы тел):
g
1 |
m |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 35
h1
A Ep |
Ek |
(49) |
Закон сохранения механической энергии: в
замкнутой системе тел полная механическая энергия есть величина постоянная, если взаимодействие между телами имеет упругую или гравитационную природу
Е const |
|
(50) |
Пример. Абсолютно твердое тело |
массы m |
|
|
|
|
свободно падает из точки 1, в которой 1 |
0 |
0 в точку |
2 вблизи поверхности Земли. Точка 1 находится на
48
высоте |
h1 от поверхности Земли, а точка 2 – на высоте |
|
|
|
|
2 |
(рис. 35). |
|
h2
. Определить скорость
В данном случае можно считать систему состоящей из двух тел: падающего тела массой m и Земли. Учтѐм, что при движении тела состояние Земли практически не изменяется, а сопротивление воздуха не учитываем. Поскольку у нас система замкнута, тело свободно падает и по условию задачи силы сопротивления не действуют, то мы применим закон сохранения механической энергии (50) и выразим искомую величину 2
E E |
2 |
или |
Ep1 Ek1 Ep2 Ek 2 |
|
1 |
||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
m gh1 = m gh2 + |
2 |
. |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
После алгебраических преобразований получим:
(51)
|
|
|
|
|
g h g h |
2 |
|
||
2 |
||||
|
|
|
||
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
2g h h |
2 |
|
1 |
|
.
Если система не замкнута, то справедливы равенства (44) и (45).
Общий закон сохранения энергии: в любых явлениях природы энергия не исчезает и не возникает, а только переходит из одного вида в другой в равных количествах.
В механике выделяют два вида взаимодействий (столкновений) тел: упругое и неупругое. При упругом столкновении выполняются два закона сохранения для замкнутой (изолированной) системы:
1)закон сохранения импульса (см. раздел 4.1)
2)закон сохранения полной механической энергии.
При неупругом столкновении выполняется только закон сохранения импульса, а закон сохранения механической энергии не выполняется, так как
часть этой энергии переходит в другой вид (например, внутреннюю энергию –
будем изучать в следующих разделах).
Упражнение 11. Ответьте на вопросы и выполните задания:
1.Запишите формулу для вычисления механической работы, дайте определение единицы работы и получите размерность работы.
2.Запишите формулы для вычисления мощности, дайте определение единицы мощности и получите размерность мощности.
3.Что называется работой потерь, полезной работой, полной работой?
4.Запишите формулы для КПД и дайте определение.
5.Какие формы существования объектов в природе вы знаете?
49
6.Что такое энергия? Когда тело обладает энергией? В каких единицах она измеряется?
7.Какие виды механической энергии вы знаете? Запишите формулы и дайте определения.
8.Запишите формулу для полной механической энергии.
9.Сформулируйте закон сохранения механической энергии, запишите его математическое выражение.
10.Как формулируется общий закон сохранения энергии?
11.Какие виды столкновений выделяют в механике и какие законы сохранения при этом выполняются?
12.В воде с глубины 5 м поднимают до поверхности камень объемом 0,6 м3. Плотность камня 2500 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3. Найти работу по
подъему камня. Ответ: 60 кДж. 13. Какую работу совершает двигатель автомобиля массой m=1,3 т при движении из состояния покоя на первых s=75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за t=10 с, а коэффициент сопротивления двигателя равен
μ=0,05? |
Ответ: 195 кДж. |
14. Подъемный кран приводится |
в действие двигателем мощностью |
10 кВт. Сколько времени потребуется для доставки на высоту h=50 м груза
массой m=2 т, если КПД двигателя 75%? |
Ответ: 130 с. |
||
|
15. |
Импульс тела равен p=8 кг м/с , |
а кинетическая энергия Eк=16 Дж. |
Найти массу и скорость тела. |
Ответ: 2 кг; 4 м/с. |
||
|
16. |
Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину жесткостью |
|
k=40 |
кН/м |
на x=0,5 см? |
Ответ: 0,5 Дж. |
|
17. |
Найти потенциальную и кинетическую энергию тела массой m=3 кг, |
|
падающего свободно с высоты h1= 5 м, на расстоянии h2=2 м от поверхности Земли. Ответ: 60 Дж.; 90 Дж.
18. Камень брошен вертикально вверх со скоростью 0 =10 м/с. На какой
высоте кинетическая энергия камня будет равна его потенциальной энергии? Ответ: 2,5 м.
19. Тело массой m=1 кг, брошенное горизонтально с высоты h=45 м со скоростью =20 м/с, упало на Землю. Определите кинетическую энергию тела в момент падения. Сопротивлением движению пренебречь. Ответ: 650 Дж.
20. |
Шарик массой m1=0,1 кг вращается равномерно в горизонтальной |
|
плоскости по окружности радиусом R=0,5 м с частотой вращения 3 об/с. |
||
Определите энергию шарика. |
Ответ:4,4Дж. |
|
21. |
Тело массой 0,5 кг, падая |
из состояния покоя с высоты 10 м у |
поверхности Земли имело скорость 12 м/с. Какая была совершена работа по
преодолению силы сопротивления воздуха? |
Ответ: 14 Дж. |
22. Определите кинетическую и потенциальную |
энергию тела массой |
200 г, брошенного вертикально вверх со скоростью 30 м/с, через 2 с после бросания. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: 
11 Дж.; 80 Дж.
50
23. Пуля массой 10 г попадает в доску толщиной 10 см, имея скорость 400 м/с. Пробив доску, пуля вылетает со скоростью 200 м/с. Определите силу
сопротивления, которую испытала пуля при пробивании доски. |
Ответ: 6 кН. |
24. Свинцовый шар массой 500 г, который движется |
со скоростью |
10 см/с, сталкивается с неподвижным шаром из пластилина массой 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Определите кинетическую энергию шаров после удара. Какая часть энергии стального шара перешла в немеханическую (внутреннюю) энергию? Ответ: ~1,79 мДж.
25. Вагон массой 10 т, движущийся со скоростью 4 м/с нагоняет вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 1 м/с. После срабатывания сцепки они движутся как одно целое. Считая взаимодействие неупругим, определить, какая часть механической энергии перешла во внутреннюю. Ответ дать в процентах.
Ответ: 36 %. 26. Вертолет поднимается со скоростью 10 м/с. На высоте 40 м из него
выпадает тяжелый предмет. С какой скоростью предмет упадет на |
Землю? |
|
Сопротивлением движению пренебречь. |
Ответ: |
30 м/с.. |
51