Adaptatsionny_Kurs_Kulik
.pdf
5.Что такое явление в механике? Приведите примеры.
6.Что называется системой единиц? Какая система единиц используется
внастоящее время в физике?
7.Какие единицы измерения называются основными единицами? Назовите эти единицы.
8.Какие единицы измерения называются производными единицами? Приведите пример получения производных единиц.
9.Мяч упал с высоты 3 м, а затем отскочил от пола и поднялся на высоту
η s / 
r 
Ответ: η 2 10. Автомобиль движется равномерно и проехал половину окружности.
Во сколько раз путь, который проехал автомобиль, больше модуля его |
|||||
перемещения η s / |
r ? |
Ответ: η 1,57 |
|||
11. Велогонщик за первые два часа (t1= |
2 ч) проехал |
s1 |
= |
90 км, а |
|
следующие полчаса (t2= 0,5 ч) он двигался |
со скоростью |
2 |
= |
54 км/ч. |
|
Определить среднюю путевую скорость ? |
Ответ: |
13 м/с |
|||
12. Грузовик проехал первую половину пути со скоростью 1 |
= 72 км/ч, а |
||||
вторую – со скоростью |
2 |
=36 км/ч. Определить среднюю путевую скорость |
. |
Ответ: |
13,3 м/с |
13. Первую четверть пути поезд проехал со скоростью |
1 = 25 м/с. |
|
Средняя путевая скорость оказалась равной = 20 |
м/с. С какой скоростью 2 |
|
поезд проехал оставшуюся часть пути s2 ? |
Ответ: |
s2 = 18,75 м/с |
14. Сколько времени двигался гоночный автомобиль на прямолинейном |
||
участке пути s =1,8 км со скоростью =270 км/ч? |
|
Ответ: 24 с. |
1.6.Скалярные и векторные физические величины
Вфизике величины делят на скаляры и векторы.
Скаляр – |
это величина, которая характеризуется |
|
только значением |
|||
(положительным или отрицательным). Например, размеры тел (см. |
рис. 3): |
|||||
l1 5м ; l2 2м ; h 1,5м ; время t 3 c ; температура: t1 20 |
|
C ; t2 7 |
|
|||
|
C и т.д. |
|||||
Вектор – это величина, которая характеризуется направлением и |
||||||
модулем (всегда |
положительным значением). Например, |
радиус-вектор r , |
||||
|
, скорость |
|
и т.д. Для векторов используют две формы |
|||
перемещение r |
|
|||||
записи: векторную ( r , r ,) |
и |
скалярную, т.е. по модулю ( r r; ). На |
||||
рисунке модуль вектора совпадает с длиной стрелки, построенной в определѐнном масштабе.
12
Построение векторов и действия с ними рассмотрим в процессе решения задач (см., также, приложение 1).
Сложение векторов
Задача. Самолѐт движется относительно воздуха со скоростью 50 м/с. Скорость ветра 15 м/с. Определить скорость движения самолѐта, если он движется 1) по ветру, 2) против ветра, 3) перпендикулярно направлению ветра.
Самолѐт (физическое тело) изобразим маленьким прямоугольником (так же будем обозначать тела и в других задачах). Для точного построения вектора
скорости самолѐта |
1 |
и вектора скорости ветра |
2 |
используем масштаб: 1 |
деление соответствует 10 м/с. При изображении рисунков будем учитывать
угол |
между 1 |
и 2 . |
|
|
|||||
1 |
= 50 м/с |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
= 15 м/с |
|
|
2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
α 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2 |
180 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
90 |
о |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) На рисунке 7 построены векторы 1 и 2 |
в выбранном масштабе. Так |
||||||
как угол α1 0 |
по условию задачи, то эти векторы действуют на тело вдоль |
||||||||
одной прямой в одну сторону. Результат действия этих векторов на самолѐт даѐт вектор . Графически на рисунке модуль получен удлинением отрезка1 на длину 2 . Тогда результат построений на рисунке в векторной форме
будет:
|
|
|
|
1 |
2 |
, |
|
а в скалярной форме (по модулю):
1
|
2 |
|
.
Вычисление даѐт модуль результирующего вектора:
50 15 65 |
м |
. |
|
с |
|||
|
|
Выполненные графические построения позволяют сделать выводы. Вектор, который по своему действию эквивалентен (равноценен) одновременному действию на тело нескольких векторов, называется
результирующим вектором (на рис. 7 это вектор )
13
Сложением векторов называется нахождение их результирующего
N
i
i 1
( – знак суммы;
i 1,2,3 N
). Модуль результирующего
определяется геометрически.
Если на тело действуют два вектора, которые направлены по вдоль одной и той же прямой в одну и ту же сторону, то их результирующий
вектор равен сумме их модулей и направлен в ту же сторону. |
|
|
|
||
|
|
|
2 180 |
|
|
2) Рассмотрим теперь случай, когда угол между |
1 |
и |
2 |
, т.е. |
|
движение самолѐта происходит против ветра.
2
а2
1
Рис. 8
Из рис. 8 следует, что графически модуль результирующего вектора |
|
|
|
получен уменьшением длины вектора 1 |
на длину вектора 2 . |
Результат построения на рисунке в векторной форме будет:
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||
а в скалярной форме (по модулю): |
|
|
|||
|
|
|
|||
результирующего вектора: |
|
|
|
|
|
50 15 |
35 |
м |
|
||
с |
|
||||
|
|
|
|
|
|
.
Вычисление даѐт модуль
Рассмотренный на рис.8 пример позволяет сформулировать вывод: если на тело действуют два вектора, которые направлены вдоль одной и той же прямой в разные стороны, то их результирующий вектор равен разности их модулей и направлен в сторону большего вектора.
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
б) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 9
3) Рассмотрим |
последний случай, |
||||||
|
|
|
|
3 90 |
|
|
|
когда угол между 1 и |
2 |
, т.е. |
|||||
|
|||||||
движение |
самолѐта |
|
происходит |
||||
перпендикулярно направлению ветра.
|
Результат построения на рис.9 в |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а в |
|
векторной форме будет: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скалярной |
|
форме (по |
модулю): |
||||||||
|
2 |
2 |
. |
|
Вычисления |
дают: |
|||||
1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
52,2 |
м |
|
|
|
|
|
||
|
502 |
152 |
|
|
|
|
|||||
с |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Если два вектора действуют на тело под углом |
α , когда |
0 α 180 |
, то |
для нахождения результирующего вектора пользуются правилом параллелограмма (рис. 9 а) или правилом треугольника (рис. 9 б).
Правило параллелограмма: если на тело действуют два вектора, направленные под углом друг к другу, то их результирующий вектор изображается диагональю параллелограмма, который построен на этих векторах, как на сторонах (смотри рис. 9 а).
Правило треугольника: если на тело действуют два вектора,
направленные под углом друг к другу, то необходимо к концу первого вектора |
||||||||||
|
|
параллельным |
переносом дорисовать второй |
вектор |
|
|
|
и получить |
||
1 |
2 |
|||||||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
результирующий |
вектор, соединив направленным |
|
отрезком |
|
начало первого |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
б). Из этого |
вектора с концом дорисованного вектора ( / |
/ ) (рис. |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
правила аналогично можно получить правило многоугольника, если на тело действует больше двух векторов.
Вычитание векторов
На рис. 4 был введен вектор перемещения |
|
. Этот вектор является |
||
r |
||||
|
|
|
|
|
разностью между двумя радиус-векторами r |
и r0 |
: |
|
|
Разностью
соединяет концы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r0 . |
|
|
двух |
векторов |
|
и |
|
называется |
|
, который |
|
r |
r0 |
вектор r |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
и r |
и направлен от радиус-вектора r0 |
к радиус-вектору r . |
|||||
Проекция вектора на координатные оси
Задача. Самолѐт взлетает со скоростью 360 км/ч под углом |
30 |
к |
поверхности аэродрома. Найти скорость набора высоты и горизонтального полѐта. Определить расстояние, на которое переместится самолет по вертикали
за одну минуту полета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
км |
|
м |
|
Изобразим самолѐт прямоугольником, а из точки |
||||||||||
|
360 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ч |
с |
|
О приложения вектора |
скорости взлѐта |
самолѐта |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
проведѐм |
координатные |
оси OX и |
OY. |
Направление |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
составляет угол α с осью OX (рис. 10). |
|
|||||
|
|
? |
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s |
|
h |
|
|
|
Чтобы найти |
составляющие |
вектора |
|
вдоль |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатных осей |
(а |
также его |
проекции |
на |
оси), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
необходимо из конца этого вектора опустить пунктиром перпендикуляры на оси OX и OY и получить искомые s и h (смотри рис. 10).
Вектор s характеризует горизонтальное перемещение самолѐта (вдоль оси OX) при взлѐте, а h - скорость набора высоты (скорость перемещения по вертикали, т.е. вдоль оси OY).
15
Проекции вектора
в соответствии с рисунком 10:
Таким образом,
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
s |
|
|
|
|
||
cos
,y
α
;
h
.
|
y |
|
sin α
.
Расстояния по горизонтали |
s |
||
s |
s |
t; |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
h |
|
O
и по вертикали h |
определим по формулам: |
h |
h |
t |
|
|
|
s |
X |
|
|
Рис. 10
Вычисления при помощи полученных формул дадут значения искомых величин:
|
|
100 cos30 |
100 0,866 |
86,6 |
м |
|
s |
с |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
100 sin 30 |
100 0,5 50 |
м |
|
|
h |
с |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
s 86,6 60 5, 2 км h 50 60 3 км
Запомните: рассмотренные правила действий с векторами справедливы не только для векторов скорости, но и для любых векторов, которые будут рассматриваться в других разделах физики.
Упражнение 3. Ответьте на вопросы и выполните задания:
1.Какие физические величины называют скалярами? Приведите примеры.
2.Какие физические величины называют векторами? Приведите примеры таких величин, в каких формах они могут быть записаны?
3.Что такое результирующий вектор?
4.Что называется сложением векторов? Какие правила сложения векторов вам известны? Приведите примеры.
16
5.Как найти разность двух векторов? Приведите пример.
6.Как найти проекции вектора на оси координат?
7.Катер движется против течения реки со скоростью 18 км/ч. Скорость
течения реки 3,6 км/ч. С какой скоростью |
катер может двигаться по течению |
реки? |
Ответ: 7 м/с |
8. Парашютист спускается на Землю со скоростью 4 м/с при спокойном состоянии воздуха. С какой скоростью он будет двигаться при горизонтальном
ветре, скорость которого 3 м/с? |
Ответ: 5 м/с |
9. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, |
чтобы при скорости |
течения реки 1,2 м/с, катер двигался перпендикулярно к берегу реки со скоростью 3,2 м/с? Ответ: 3,4 м/с
10. Рыбак переплывает на лодке реку шириной 300 м. Скорость течения реки 1,2 м/с; скорость, сообщаемая лодке рыбаком, 1,6 м/с. На какое расстояние относит лодку вниз по течению? Какой путь пройдѐт лодка?
Ответ: 225 м; 375 м
11. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нѐм пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин.
Сколько |
будет |
подниматься идущий |
вверх пассажир |
по |
движущемуся |
||
эскалатору? |
|
|
|
Ответ: 45 с |
|
||
12. Санки, которые скатываются с горы, в некоторый момент времени |
|||||||
имеют |
скорость |
10 м/с. Чему равны горизонтальная |
и |
вертикальная |
|||
составляющие скорости в этот момент, |
если наклон горы составляет 30 |
|
к |
||||
|
|||||||
горизонту? |
|
Ответ: 8,67 м/с; 5 м/с |
|||||
1.7. Ускорение. Равнопеременное прямолинейное движение
о
а)
Рис. 11
а
s, t
б)
Для характеристики быстроты изменения скорости точки в механике
вводят понятие ускорения. |
|
|
|
Вектором среднего ускорения |
за промежуток времени t называется |
||
a |
|||
величина, которая равна отношению |
приращения скорости точки к |
||
промежутку времени t : |
|
|
|
17
a |
|
t
.
(8)
Предел, к которому стремится среднее ускорение |
|
промежутка времени t |
|
к нулю, даѐт мгновенное ускорение a |
|
при стремлении
:
a lim |
a |
lim |
|
|
d |
. |
|||
t |
d t |
||||||||
|
|
t 0 |
|
t 0 |
|
|
|||
Мгновенное ускорение |
|
– это ускорение в данный момент времени или |
|||||||
a |
|||||||||
в данной точке траектории, оно равно первой производной от мгновенной
скорости по времени. Единица ускорения – метр на секунду в квадрате (м/с2). |
||
При координатном способе описания движения вектор |
|
выражают |
a |
||
через его проекции на оси координат (подобно тому, как это сделано для вектора в разделе 1.6). Проекция ax мгновенного ускорения, например, на ось
ОХ равна первой производной по времени от проекции скорости x :
ax |
d |
x |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
При траекторном способе описания движения вектор |
|
представляют |
|||
a |
|||||
как геометрическую сумму двух составляющих: тангенциального ускорения |
aτ |
и нормального ускорения
a |
n |
|
(см. рис. 11 а).
Тангенциальное |
|
скорости по модулю |
|
мгновенной скорости |
|
точки): |
|
ускорение aτ характеризует быстроту изменения
и направлено по касательной к траектории (вектор всегда направлен по касательной в сторону движения
Нормальное ускорение
a |
n |
|
aτ |
|
d |
. |
|
dt |
||||
|
|
|
характеризует быстроту изменения скорости
по направлению и направлено к центру кривизны траектории (если траектория
– окружность радиуса R, то к центру окружности):
a |
2 |
|
|
. |
|
|
|
n |
R |
|
|
|
|
|
|
Любое движение, при котором модуль мгновенной скорости изменяется, |
|||
называют переменным. Если направление вектора |
|
не изменяется, то это |
|
прямолинейное переменное движение. Рассмотрим траекторию такого движения на пути s за время t (рис.11 б). Мгновенная скорость в начальной
18
точке траектории на рисунке обозначена
|
|
|
0 |
|
, а в конечной точке –
; буквой
a
обозначено ускорение. |
|
|
||
|
Если в каждой точке траектории мгновенное ускорение |
постоянно |
||
|
a |
|||
const), то такое движение называется прямолинейным равнопеременным |
||||
( a |
||||
движением. Для этого вида движения среднее ускорение равно мгновенному |
||||||
ускорению |
|
|
: |
|
|
|
a |
a |
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Из уравнения, которое определяет ускорение равнопеременного прямолинейного движения, получаем уравнение скорости:
a t |
. |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Выбирая направление оси ОХ в направлении движения, получим |
||||||||
уравнение проекции скорости на ось: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a |
x |
t |
. |
(9) |
|
|
0 x |
|
|
|
||||
до
Учитывая, что при таком движении скорость постоянно изменяется от |
|
0 |
|||
|
|||||
, можно представить перемещение точки как |
r |
t |
, где с учѐтом |
||
|
|
||||
линейной зависимости скорости от времени
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
средняя скорость имеет вид
|
. |
|
После несложных математических
перемещения:
r |
0 |
t |
|
|
преобразований получим уравнение
1 |
a t |
|
|
2 |
, |
2 |
|
|
|
|
откуда, уравнение проекции перемещения на ось ОХ:
rx 0 x t 12 ax t2 ,
а с учѐтом (1) уравнение координаты при равнопеременном прямолинейном движении имеет вид:
19
x x0
|
0 x |
t |
|
|
1 |
a |
|
|
2 |
x |
||
|
|||
|
|
t2
.
Если ось ОХ совпадает с направлением прямолинейного движения (с направлением скорости), то проекции величин в уравнении (10) можно заменить их модулями и записать уравнения модуля скорости в виде:
0
a t
.
(10)
Следовательно, прямолинейное равнопеременное движение делится на два вида:
равноускоренное движение ( ax a 0, 0 ), когда скорость тела в единицу времени t 1с возрастает на одну и ту же величину, и равнозамедленное движение ( ax a 0, 0 ), когда скорость в единицу t 1с времени уменьшается на одну и ту же величину.
1.8. Графики скорости для прямолинейного движения
-
S прям
O Рис. 12
|
|
На рис. 12 представлены графики скорости |
|
|
– графики зависимости скорости движения от |
|
2 |
времени ( (t) ) для равномерного прямолинейного |
|
|
|
|
|
движения ( const). Графики 1 и 2 соответствуют |
|
|
движениям тел с разными скоростями 2 1 . |
|
1 |
Согласно выражению (7) пройденный путь |
|
|
при равномерном движении тела со скоростью 1 |
|
|
за время t1 определяется по формуле: s1 1 t1 . |
|
|
На рис. 12 этот путь s1 [м] численно (пишут |
t |
t |
так (=)) равен площади Sпрям [м2] заштрихованного |
прямоугольника с “высотой” 1 и “основанием” t1 .
|
|
|
|
|
На |
рис. |
13 |
|
(а,б) |
|
|
|
|
|
представлены графики |
(t) |
для |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
равнопеременного |
движения в |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
соответствии |
с |
уравнениями |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
(10). Как |
мы |
уже выяснили, |
|||
0 |
t |
0 |
|
t пройденный путь |
на |
графике |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
скорости |
численно |
равен |
|||
|
Рис. 13 График скорости (t) для: |
|
площади фигуры, |
лежащей под |
||||||
|
а) равноускоренного движения |
|
графиком, |
т. |
е. |
площади |
Sтр |
|||
|
|
заштрихованной |
трапеции |
|||||||
|
б) равнозамедленного движения |
|
||||||||
|
|
АВСО: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
|
|
|
OA BC |
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
at |
s S |
|
|
|
OC |
|
|
|
t |
|
|
|
t t |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
тр |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, или
|
|
at |
2 |
s |
t |
|
|
|
|
||
0 |
|
2 |
|
|
|
||
(11)
S, x |
S, x |
здесь мы учли информацию из
рис.13: |
OA 0 ; |
BC |
OC t |
для конечной скорости |
|
|
|
использовано выражение (10); а |
|||||
|
|
для средней |
|
|
скорости при |
||
а) |
б) |
равнопеременном |
|
движении |
|||
|
|
формула |
|
|
|
|
|
Рис. 14. Графики пути s и координаты x при |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
а – равномерном движении: 1,2 - x(t); 3 - s(t) |
|
|
0 |
|
(12) |
||
|
|
|
|||||
б – равнопеременном движении: 1,2 - s(t); 3- x(t) |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (11) используют для нахождения пути при равноускоренном (ах > 0) и равнозамедленном (aх < 0) движении тела.
На рис.14 представлены графики пути (s(t)) – графики зависимости пути от времени и графики координаты (x(t)) – графики зависимости координаты от времени для разных тел при равномерном (а) и равнопеременном (б) движении вдоль координатной оси X.
Подведем итог: выпишем формулы, которые можно использовать для нахождения различных величин при равнопеременном прямолинейном
движении:
1. at |
4. |
s |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
a t2 |
|
|
|
|
|
|
2. s t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5. |
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
3. |
2 |
|
2 |
2a s |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти формулы существенно упрощаются, если |
0 |
|
равноускоренном (ах > 0) движении или 0 |
при равнозамедленном |
|
движении. |
|
|
Упражнение 4. Ответьте на вопросы и выполните задания:
0
(aх
при
< 0)
1. |
Что такое физика? Какова еѐ роль в естествознании и технике? Какие |
||
разделы вы будете изучать? |
|
||
2. |
Что называется прямолинейным переменным движением? Приведите |
||
примеры. |
|
|
|
3. |
Что называется средним ускорением? Мгновенным ускорением? |
||
|
|
|
|
Запишите формулы для a и |
a . |
||
4.Что называется равнопеременным прямолинейным движением? Приведите примеры.
5.Если движение равномерное, то, что можно сказать об ускорении?
21