пустого множества состоит из одного пустого множества). Следовательно, 2 = { }=1 = 20 = 2 и для пустого множества утверждение теоремы

выполняется. Предположим, что для множеств с количеством элементов M < k утверждение теоремы уже проверены. Докажем его для множества с

конечных множеств равна произведению их мощностей. Доказательство. Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать

легко доказывается для любого n.

Если одно из множеств декартового произведения (или оба) бесконечны, то и произведение будет иметь бесконечное число упорядоченных пар. Если А пусто или В пусто, то, по определению, А х В пусто и его мощность равна нулю.

Упражнения.

Упражнения к п. 2.1

14. Найдите более простое описание множеств, перечисляющее их элементы.

Ответ:

15. Перечислите все элементы следующих множеств

16. Определите с помощью предикатов следующие множества:

S ={2, 8,18, 32, 50,...} Ответ: P(k) = 2 k 2

S ={3,15, 35, 32, 56,...} Ответ: P(k) =(2k +1)(2 k −1)

Упражнения к п. 2.2

7. Для каждого из приведенных ниже множеств постройте диаграммы Эйлера и заштрихуйте те части, которые изображают заданные множества:

8. Опишите множества, соответствующие закрашенной части каждой диаграммы Эйлера:

9. Постройте декартово произведение множеств A={1,2,3}и B={r,s}.

Ответ: 10. Пусть

и

Показать, что A=B. Доказательство.

11. Пусть A={1,3,5,7}, B={2,4,6,8}, C={1,2,3,4,5}. Найдите A UC , B IC ,

A \ C и B C

12. Пусть U={1,2,3,4,5,6} – универсальное множество. Выпишите характеристические векторы подмножеств: A={1,2,4,5} и B={3,5}. Найдите характеристические векторы множеств A U B и A B , после чего перечислите их элементы.

Упражнения к п. 2.3

1. С помощью диаграммы Эйлера покажите, что a) A I B = A U B

б) A U(B IC)=(A U B)I(A UC)

в) A U B = A I B

2. Пусть

Убедитесь, что A I B = A U B .

Решение. Заметим, что универсальным множеством является

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Кроме того,

A={2,4,6,8,10,12} и B={3,6,9,12}.

Поэтому

A I B ={6,12}={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11}

и

A U B ={1,3,5,7,9,11}U{1,2,4,5,7,8,10,11}={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11}

Следовательно, A I B = A U B .

3. Опираясь на законы алгебры множеств, докажите, что произвольные множества A и B удовлетворяют свойству

Решение. По определению симметрической разности множеств

Согласно законам алгебры множеств, имеем

Следовательно, 4. Докажите с помощью законов алгебры множеств следующие тождества:

5. Определим операцию * (звездочка) по формуле A * B = A I B . Изобразите на диаграммы Эйлера множество A*B. С помощью законов алгебры множеств тождества:

Упражнения к п. 2.4

1. Каждый из 63 студентов первого курса, изучающих информатику в университете, может посещать и дополнительные лекции. Если 16 из них слушают еще курс бухгалтерии, 37 — курс коммерческой деятельности, и 5 изучают обе эти дисциплины, то, сколько студентов вообще не посещают упомянутых дополнительных занятий?

Решение. Введем обозначения.

А = {студенты, слушающие курс бухгалтерии}; В = {студенты, слушающие курс коммерческой деятельности}.

Тогда

Поэтому

Следовательно, 63 – 48 = 15 студентов не посещают дополнительных курсов.

□

2. Покажите с помощью диаграммы Эйлера, что любые множества A, B, C удовлетворяют соотношению: