13. Моделирование дискретных случайных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину  с рас­пределением

(1)

гдеp_i = P{ = x_i}. Для того чтобы вычислить значе­ния этой величины разделим интервал 0  у < 1 на интервалы _i такие (рис. 14), что дли­на _i фавна р_{i .}

Т е о р е м а 1. Случайная величина , опреде­ленная формулой

 = x_i, когда _i , (2)

имеет распределение вероятностей (1).

Доказательство занимает одну строку:

P{ = x_i} =Р{_i } = длина _i = р_i.

Для практической реализации формулы (2) удобно в накопителе ЭВМ расположить подряд значе­ния х₁, x₂, ..., x_n и p₁, p₁+p₂, p₁+p₂+p₃, ..., 1. Для того чтобы вычислить очередное значение , находим очередное . Затем сравниваем  с p₁. Если  < p₁, то  = x₁; если   p₁, то сравниваем  с p₁+p₂. Если  < p₁+p₂, то  = x₂; если   p₁+p₂, то сравниваем  с p₁+p₂+p₃, и т.д.

14. Оптимизация метода интервалов

Легко видеть, что в случае, когда  = x_i (1  i  n-1), приходится осуществить i сравнений, и лишь в случае, когда  = x_n , число сравнений равно n–1. Поэтому среднее число сравнений, затрачиваемых при получении одного значения , равно

_n–1

t =  ip_i + (n – 1)p_n.

ⁱ⁼¹

Так как порядок значений x₁, ..., х_п в (1) произволен, то выгодно расположить их в порядке убывания вероятностей, т. е. так, чтобы p₁  p₂  ...  p_n. Тогда величина t будет минимальной.

Расчет по формуле (2) заметно упрощается в случае, когда все значения x₁,..., х_п равновероят­ны: p₁ = ... = p_n = 1/n. В этом случае многократные сравнения не нужны: так как _i – это интервал (i–1)/n   < i/n, то условие _i

равносильно условию i–1  n < i, или Ц(n) = i – 1. Вместо формулы (2) можно записать, что

 = x_i, где i = 1+ Ц(n).

Теорему 1 легко обобщить на случайную ве­личину, которая может принимать бесконечную после­довательность значений х₁, x₂, ..., x_n, ... и имеет распределение

.

В этом случае числа х_п и р_n задаются формулами, и вычисление их при каждом расчете  может оказаться весьма трудоемким. Тогда можно выбрать число n₀ так, чтобы сумма вероятностей p₁+...+p_n0 была достаточ­но близкой к 1, и значения х₁, ..., x_n0 и p₁, ..., p_n0 заготовить заранее. Вычислять х_i и р_i по формулам при­дется только при i > n₀, а это будет достаточно редко.

15. Моделирование случайных событий.

Моделирование случайных событий сводится к моделированию дискретных случайных величин. Чтобы показать, как это делается, рассмотрим четыре задачи, в каждой из которых требуется моделировать последовательность одинаковых независимых испытаний.

В каждом из испытаний может наступить или не наступить некоторое событие А, вероятность наступ­ления которого Р{A}=р задана.

Рассмотрим случайную величину , называемую ин­дикатором события А, которая равна 1 при наступлении А и 0 при наступлении противоположного события Ā. Распределение  задается таблицей

Для осуществления каждого испы­тания надо найти случайное число  и проверить нера­венство  < p. Если оно выполнено, то событие А в этом испытании произошло, а если   p, то нет.

С испытанием связана полная группа попарно несовместных событий А₁, ..., A_n и заданы вероятно­сти Р{A_i} = р_i.

Для моделирования таких испытаний рассмотрим случайную величину – номер наступившего события. Очевидно, распределение выражается таблицей

Для осуществления каждого испытания надо выбрать случайное число и по теореме 1 разыграть значение. Если = i, то произошло событиеА_i .

С испытанием связаны два независимых совместных собы­тия А иВ, вероятности которых заданы:Р{А} = p_A, Р{В} = p_B.

Ввиду независимости событий АиВможно последовательно моделировать их наступление в каждом испытании: сперва по числу₁ методом определить, наступило ли событиеА, а затем точно также по числу₂определить, наступило ли событиеВ .

Однако часто более экономен другой способ. Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий, состоящую из четырех со­бытий:

A₁ = AB, A₂ = AB, A₃ = AB, A₄ = AB. (3)

Вероятности этих событий легко вычислить:

p₁ = p_Ap_B, p₂ = p_A(1 – p_B), p₃ = p_B(1 – p_A), p₄ = (1 – p_A)(1 – p_B).

Следовательно, используя одно случай­ное число , возможно определить, какой из этих четырех исходов наступил в моделируемом испытании.

С испытанием связаны два зависимых совместных события А и В, и заданы вероятности Р{А} = p_A, Р{В} = p_B , Р{АВ} = р_АB..

В этом случае также следует рассмотреть полную группу со­бытии (3), только вероятности этих событий вычисляются иначе:

p₁ = p_AB, p₂ = p_A – p_AB, p₃ = p_B – p_AB, p₄ = 1 – p_A – p_B + p_AB.

Впрочем, и в этом случае можно осуществить последовательное моделирование событий А и В, используя два случайных числа ₁, _{2 .} Сперва по числу ₁ определяем, наступило ли событие А. Если А наступило, то, зная условную вероятность Р{В/А} = р_AB/р_A, можно по числу ₂ определить, наступило ли со­бытие В: условием наступления В служит выполнение неравенства ₂ < Р{В/А}. Если же событие A не наступило, то наступление B при­дется разыгрывать с помощью условий вероятности Р{В/Ā} , которая равна Р{В/Ā} = (p_B — р_АВ)/(1—р_А).