16. Простейший метод вычислений.

1)

2)

16. Геометрический метод.

Геометрический метод

Подсчитываем количество точек попавших под кривую

If (f(x)>y) then

16. Сравнение точности методов Монте Карло.

В оценке (14) фигурируют значения случайной величины Z=f(Q), где Q — случайная точка с плотностью р(Р). Так как для существования дисперсии DZ необходимо и достаточно, чтобы существовал второй момент

(18)

(ср. (2)), то условием применимости оценок погрешно­сти §1 в рассматриваемом случае служит существова­ние интеграла (18).

Если через обозначить множество функций, для которых интеграл (18) сходится, то требование сходимости этого интеграла можно записать в форме. В тех случаях, когда важно указать область G и плотность р(Р), будем писать, что.

Итак, если , то дисперсия осредняемой величины Z в простейшем методе п. 2.1 конечна:

(I-теоретическое значение интеграла)(19)

Рассмотрим теперь геометрический метод. В оценке (17) осредняются значения случайной величи­ны Z, для которой

,

так что дисперсия

(20)

Сравним величины (19) и (20): если , то

,

следовательно, (21)

Неравенство (21) показывает, что в каком-то отношении простейший метод Монте-Карло лучше геометри­ческого метода: при одинаковом количестве N осредняемых величин вероятная ошибка оценки (14) будет не больше, чем вероятная ошибка оценки (17). Можно сказать, что точность метода Монте-Карло зависит от дис­персии осредняемой случайной величины. И простейший метод всегда точнее геометрического.

16. Сравнение трудоемкости различных алгоритмов Монте Карло.

Из результатов предыдущего пункта напрашивается вывод, что простейший метод Монте-Карло всегда выгоднее геометрического. Однако такой вывод был бы слишком поспешным: хотя вероятная ошибка оценки и меньше вероятной ошибкипри одинаковых N, но время, затрачиваемое на расчет, может оказаться гораздо больше времени, затрачиваемого на расчет 6W.

И тогда оценка окажется практически более эффективной, чем.

Обычно говорят, что “построен метод Монте-Карло” для расчета интеграла I тогда, когда определена оценка вида (1), приближающая I:

;

при этом обычно предполагается, что . Условимся говорить, что “построен алгоритм Монте-Карло”, соответствующий данному методу, если указаны также формулы для моделирования используемых в этом методе случайных величин. Например, оценка (14) и формула Z=f(Q) определяют метод Монте-Карло; чтобы получить алгоритм Монте-Карло, надо указать еще формулы для расчета точки Q по стандартным случайным числам. Как мы видели, в гл. 2, это можно делать различными способами, так что один и тот же метод Монте-Карло может быть реализован в виде различных алгоритмов.

Рассмотрим два алгоритма Монте-Карло (безразлично соответствуют ли они разным методам или одному) для вычисления интеграла I. Пусть в одном алгоритме осредняются значения случайной величины , а во втором, так что соответствующие оценки интеграла равны

и (22)

Обозначим дисперсии осредняемых величин через и, и пустьи- время, затрачивае­мое на расчет одного значенияи соответственно. Естественно считать более эффективным тот алгоритм, который требует меньшего времени счета для достижения заданной вероятной ошибки.

Для того чтобы вероятная ошибка для первого из сравниваемых алгоритмов равнялась , количествоосредняемых значений, согласно (5), должно равняться

.

Время счета при этом окажется равным

.

Для второго алгоритма время счета, необходимое для достижения той же вероятной ошибки , равно

.

Назовем трудоемкостью алгоритма Монте-Карло произведение дисперсии осредняемой случайной величинна время t расчета одного значения. Тогда время счета, необходимое для достижения заданной вероятной ошибки, окажется пропорциональным трудоемкости алгоритма. Ясно, что из двух алгоритмов более эффективен менее трудоемкий.

Так как трудоемкость используется обычно для сравнения алгоритмов, то вычислять ее можно в любых еди­ницах, в частности, t можно выражать в секундах, а можно — в количествах элементарных операций. Конечно, надо предполагать, что сравниваемые алгоритмы реализуются с помощью одних и тех же вычислительных средств. Кстати, не исключена возможность того, что при переходе к другим средствам вычисления менее трудоемкий алгоритм станет более трудоемким.