10. Алгоритм д. Леммера

Наибольшее распространение получил алго­ритм, предложенный Д. Л е м е р о м, который называ­ют методом вычетов или методом сравнений.

В этом методе Ф (х) = Д (gx), т.е. , (6) где g- большое целое число.

Удовлетворительная последовательность псевдослу­чайных чисел получается, например, при g=, M=, =1 (L=P=);

11. Тесты для проверки случайных цифр

Для провер­ки таблицы случайных цифр ε₁, ε₂, …, ε_N М. Г. Кендалл и Б. Б. Смит предложили использовать четыре теста. В каждом из них цифры классифицируются по не­которому признаку и эмпирические частоты сравнива­ются с их математическими ожиданиями при помощи критерия χ². Тесты эти: проверка частот — проверяется частота различных цифр в таблице; 2) проверка пар — проверяется частота различных двузначных чисел среди пар ε₁ε₂, ε₂ε₃, ε₃ε₄,…, ε_N-1ε_N; 3) проверка интервалов — проверяется частота различных интервалов между дву­мя последовательными нулями; 4) проверка комбина­ций — проверяется частота различных ти­пов четверок (abcd, aabc, aabb, aaab, aaaa) среди чет­верок ε₁ε₂ε₃ε₄, ε₂ε₃ε₄ε₅, . . .

В большинстве случаев используется эта система тестов, внося, однако, в нее некоторые изменения, среди которых отметим два. Вместо провер­ки интервалов обычно используют проверку серий: цифры ε _k+1, ε _k+2, ..., ε _k+l образуют серию длины l, если ε _k+1= ε _k+2= ...= ε _k+l, но ε _k≠ ε _k+1, ε _k+l+1≠ε _k+l. Вме­сто проверки пар ε₁ε₂, ε₂ε₃, ε₃ε₄,…проверяют независимые пары ε₁ε₂, ε₃ε₄, ε₅ε₆,…

С детерминистической точки зрения проверка частот и проверка независимых пар — важнейшие необходимые тесты. Проверка серий обоб­щает «критерий случайности», часто используемый в статистике. И только проверка комбинаций носит несколько искусственный характер.

Положительный результат любого теста означает. Только, что этот результат не противоречит гипотезе о случайности цифр ε_1, . . ., ε_N, но, может быть, какой-нибудь другой тест эту гипотезу опровергнет .

12. Проверка псевдослучайных чисел.

В качестве основных тестов для проверки псевдослучайных чисел γ₁, . . ., γ_N используют те же тесты, что и для проверки таблиц: проверяются первые десятичные цифры ε_k = Ц (10 γ_k).

Более детальную проверку распределения чисел γ₁, . . ., γ_N можно осуществить с помощью критерия . Если расположить эти числа в вариационный ряд

То

Однако, при очень больших N построение вариационного ряда весьма трудо­емко. ,.

Естественно, что при проверке псевдослучайных чи­сел всегда используют различные дополнительные тесты для проверки последующих десятичных цифр γ_k. Иногда десятичные (или двоичные) цифры чисел γ_k выделяют и проверяют независимо. На практике ограничиваются про­стыми проверками, и далекие цифры чисел γ_k обычно оказываются хуже проверенными.

В пользу указанной системы тестов можно привести аргумент практического характера: в литературе, пожа­луй, нет примеров, когда числа, удовлетворяющие всем тестам, оказались бы непригодными для решения кон­кретной задачи (в которой не предъявлялись повышен­ные требования к точности решения); есть, однако, при­меры неудачных расчетов с помощью чисел, которые не удовлетворяли одному из тестов.

Таким образом, строго говоря, разумность приведен­ной системы тестов — факт эмпирический. В действи­тельности эти тесты не гарантируют универсальной при­годности чисел. Поэтому иногда целесообразно вводить дополнительные тесты, связанные с характером решае­мых задач. Впрочем, успешное решение нужной задачи— самая лучшая проверка случайных чисел.