Лекции Соболева часть 3

38 Лекция 5 - 9

5.4.3. Свойства градиента

Пусть задан градиент поля и производная по направлению:

1.Максимальное значение производной по направлению равно модулю

градиента: ∂∂ul = gradu cosϕ ; ϕ → 0;cosϕ →1 max ∂∂ul = grad u .

2.Вектор u направлен в сторону возрастания поля.

3.Вектор u всегда нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).

Доказательство:

Пусть u = u(x, y, z) скалярное поле и u(x, y, z) = c - уравнение поверхности уровня. Выберем P {u(x, y, z) = c}, которую обозначим P(x, y, z) , и проведём касательную плоскость к поверхности, описываемой уравнением

F (x, y, z) = u(x, y, z) −c = 0 ;

∂∂Fx (x − x) + ∂∂Fy ( y − y) + ∂∂Fz (z − z) = 0 - уравнение касательной плоскости;

∂∂ux (x − x) + ∂∂uy ( y − y) + ∂∂uz (z − z) = 0 .

Тогда вектор нормали касательной плоскости имеет вид:

!Свойства 1-3 дают инвариантное (не зависящее от системы координат) определение градиента, т.е. утверждают, что независимо от системы ко-

ординат u указывает величину и направление наибольшего возраста-

ния скалярного поля в точке: grad u = mах ∂u .

∂l

Дифференциальные свойства градиента:

•Если скалярное поле есть сумма двух полей:

f(x, y, z) = u(x, y, z) + v(x, y, z) , то f = (u + v) =u +v .

•(u v) = ( u)v +u( v) .

•c u = c u .

•f (u) = fu′ u - градиент сложной функции.

•f (u,v) = fu′ u + fv′ v .

Пример:

Пример:

Найти нормаль к поверхности u = x2 + y 2 + z 2 в точке Р (1,1,1). Решение:

Пример:

Найти градиент функции r = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 (модуль радиус-вектора).

Решение:

P0 -фиксированная точка, P(x,y,z) – изучаемая точка поверхности.

- единичный вектор вектора P0 P .

Пример:

Найти векторные линии поля, если поле задано вектором: a = −yi + xj + bk в точке Р (1,0,0)

Решение:

−dxy = dyx = dzb .

уравнение винтовой линии.

6. Поверхностные интегралы

6.1. Односторонние и двусторонние поверхности

Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность ∑, ограниченную ку- сочно-гладким контуром γ . Это означает, что для уравнения поверхности существуют частные производные по всем переменным. В точке Р проведём

нормаль n к поверхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г, не имеющий общих точек с границей γ .

ронней, в случае «б» – односторонней. Совокупность точек поверхности с определенным направлением нормали n называется стороной поверхности.

!Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.

6.2. Площадь поверхности

Пусть ∑ - незамкнутая гладкая поверхность. Разобьем ее на участки ∆∑i , (i =1,..., n ), с помощью сети кривых. Выберем в каждом участке ∆∑i точку Pi . Проведем в точке Pi касательную плоскость к поверхности ∑ и спроектируем ∆∑i на касательную плоскость. На проекции получим плоскую фигуру с площадью ∆Si′.

n

стремятся к нулю: S = lim ∑∆Si′.

∆∑i →0 i=1

! Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Пусть поверхность задается явным уравнением z = z (x, y), где z (x, y) -

непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в плоскую область Dxy на координатной плоскости Oxy . Нормаль n к

поверхности ∑, как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет компоненты: n = ∂∂xz , ∂∂yz , −1 , и направляющие косинусы нормали n равны:

Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу нормали n с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности ∑.

Спроектируем элементы ∆Si′ на касательной плоскости на

и предел, фигурирующий в определении площади поверхности S , представляет собой двойной интеграл по области Dxy

где Dyz и Dxz - проекции поверхности Σ на плоскости Oyz и Oxz .

6.3. Система координат и ориентация поверхности

Введем систему координат в пространственной области G. Система векторов a,b, c образует правую тройку, если поворот от a к b , если наблюдать его из конца вектора c , происходит против часовой стрелки, в противном случае тройка называется левой. В дальнейшем будем работать с правой системой координат. В случае незамкнутой поверхности сторону можно определить, определив направление обхода контура.

«правилом буравчика».

Поверхность является положительно ориентированной, если при обходе контура Г в положительном направлении движение винта совпадает с направлением нормали. Если движение винта противоположно направлению нормали, то поверхность отрицательно ориентирована.

!Для замкнутой поверхности считается, что внешняя поверхность ориентирована положительно, а внутренняя - отрицательно.

6.4. Поверхностный интеграл 1-го рода

(Рассматривался в курсе «Интегралы по фигуре». Краткие сведения).

Рассмотрим поверхность ∑, в каждой точке которой задана функция: f (P) = f (x, y, z) . Если поверхность однозначно проектируется на плоскость

Oxy в область Dxy и задана уравнением z = f (x, y) , то

6.5. Поверхностный интеграл 2-го рода

Рассмотрим ориентированную поверхность ∑. Спроектируем элемент поверхности ∆Σi на координатную плоскость Oxy , обозначив площадь про-

екции ∆Si . На каждом элементе поверхности ∆Σi выберем произвольную точку Pi ∆Σi , вычислим в ней значение функции и умножим его на площадь проекции. Сложив эти произведения, получим интегральную сумму:

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции f (x , y , z) по определенной стороне поверхности и обозначается:

Ixy = ±∫∫ f (P)dxdy =± ∫∫ f (x, y, z)dxdy .

ΣΣ

Знак (+) соответствует положительной (внешней), а (–) отрицательной (внутренней) сторонам поверхности.

Если на данной поверхности заданы другие функции f1 (x, y, z) , f2 (x, y, z) , то проектирование на другие координатные плоскости дает интегралы:

Соединение этих интегралов дает общее выражение для поверхностного интеграла второго рода:

I = ±∫∫ f (x, y, z)dxdy + f1 (x, y, z)dydz + f2 (x, y, z)dxdz .

∑

Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода существует сле- ! дующая связь:

∫∫ f (x, y, z) cosγdσ = ± ∫∫ f (x, y, z)dxdy ,

причем при интегрировании по положительной стороне поверхности: cosγ > 0; cosγdσ = +dxdy ,

а по отрицательной: cosγ < 0;cosγdσ = −dxdy .

!Поверхностные интегралы 2-го рода обладают всеми свойствами двойных интегралов.

az = az (x, y, z) - векторное поле. Для координат этого вектора можно составить поверхностный интеграл второго рода, проектируя каждую координату вектора на соответствующую координатную плоскость:

I = ∫∫ax (x, y, z)dydz + ay (x, y, z)dxdz + az (x, y, z)dxdy =

Σ

= ∫∫(ax (x, y, z)cosα + ay (x, y, z)cos β + az (x, y, z)cosγ )dσ .

Σ

Так как n0 - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности

Σ, n0 ={cosα,cos β,cosγ}, то I = ∫∫(a(x, y, z) n0 )dσ .

7. Поток векторного поля

7.1. Определение потока векторного поля

Пусть a = a (P ) - непрерывное векторное поле, а

участков Σi . В точке Pi построим единичный вектор нормали n0 (Pi ) к поверхности Σi .

Составим вектор ∆σi = n0 (Pi ) ∆σi с длиной ∆σi , направленный по нормали n0 (Pi ) . Вычислим скалярное произведение (a(Pi ) ∆σi ), просуммируем

по всем участкам ∑n (a(Pi ) ∆σi ) и рассмотрим предел суммы при

i=1

max (∆σi )→0 .