Лекции Соболева часть 3

УДК 51/075.8 ББК 22.1я73

С54

Рецензенты:

зав. кафедрой физики УГЛУ, доктор физ-мат. наук, проф. М.П. Кащенко, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН, доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко

С54 Математика: Курс лекций для технических вузов / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 136 с.

ISBN 5-321-00532-Х

Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для студентов, изучающих данную дисциплину в объеме 540 – 800 часов в течение 4 семестров. Содержание лекций соответствует ГОС и рабочим программам технических специальностей.

Третья часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучаемый в третьем семестре, – кратные и криволинейные интегралы, элементы теории поля, числовые и функциональные ряды, ряды и интеграл Фурье.

Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом.

Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие решение типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций предназначен для студентов технических университетов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоретический материал курса математики для инженеров.

Втретьей части излагаются следующие разделы: кратные и криволинейные интегралы, элементы теории поля (векторного анализа), числовые и функциональные ряды, ряды и интеграл Фурье.

Вначале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции приведен список ключевых понятий.

Влекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутствуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл.

Втексте приняты следующие условные обозначения:

Оопределение

Ттеорема

Сследствие

!замечание

Лекции 1 - 4 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных. Таким образом, приходится вычислять интегралы по двумерным и трехмерным областям, по кривым и поверхностям, что приводит к необходимости знать кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Изложение этих вопросов проводится в единой схеме, чем обусловлено введение понятия интеграла по фигуре.

1.Интегралы по фигуре

1.1.Основные определения

1.2.Задача об отыскании массы тела

1.3.Определение интеграла по фигуре

1.4.Классификация интегралов по фигуре

1.5.Свойства интегралов по фигуре, определяемые равенствами

1.6.Свойства интегралов по фигуре, определяемые неравенствами (оценка интегралов по фигуре)

2.Двойной интеграл

2.1.Геометрический смысл двойного интеграла

2.2.Вычисление двойного интеграла

2.3.Замена переменных в двойном интеграле

2.4.Двойной интеграл в полярных координатах.

2.4.1. Дифференциальный элемент площади

в полярной системе координат

3.Поверхностный интеграл первого типа (рода)

3.1.Вычисление поверхностных интегралов первого рода

4.Тройной интеграл

4.1.Задача о вычислении массы тела

4.2.Замена переменных в тройном интеграле

4.3.Тройной интеграл в цилиндрических координатах

4.4.Элемент объема в цилиндрических координатах

4.5.Тройной интеграл в сферических координатах

4.6.Элемент объема в сферических координатах

5.Криволинейные интегралы первого типа (рода)

5.1.Способы вычисления криволинейного интеграла первого типа

5.1.1.Криволинейный интеграл первого типа по плоской кривой

5.1.2.Криволинейный интеграл первого типа по пространственной кривой

5.2.Геометрический смысл линейного интеграла по плоской кривой

6.Механические приложения интегралов по фигуре

6.1.Длина, площадь, объем фигуры

6.2.Масса фигуры

6.3.Момент инерции фигуры

6.4.Статические моменты фигуры. Центр тяжести фигуры

2. В случае, если ρ(P) ≠ const, разобьем фигуру Ф произвольным образом на n элементарных областей Фi и выберем точку Pi Φi . Пусть n достаточно велико, чтобы полагать в каждой элементарной фигуре ρ(Pi ) ≈const. Обозначим∆µi - меру каждой элементарной фигуры Фi. Масса элементарной фигу-

n

ры: ∆mi ≈ ρ(Pi )∆µi . Масса всей фигуры m ≈ ∑ρ(Pi )∆µi .

i=1

1.3. Определение интеграла по фигуре

Пусть дана фигура Ф и функция f (P), P Φ , определенная на множе-

стве Ф. Разобьем фигуру Ф произвольным образом на n элементарных областей Фi и выберем точку Pi Φi . Найдем диаметр каждой элементарной фигу-

ры Фi и обозначим максимальную из величин di за rn = max{di}. Назовем rn

рангом разбиения. При n → ∞ rn → 0 . Найдем f (Pi ) и составим интеграль-

n

ную сумму вида: Sn = ∑ f (Pi )∆µi .

i=1

ОИнтегралом по фигуре Ф (обозначение ∫ f (P)dµ ) будем называть пре-

Ф

дел интегральной суммы Sn при rn → 0, если этот предел существует и не зависит от способа дробления и выбора точек Pi . Таким образом,

ТТеорема существования интеграла по фигуре. Если f (P) непрерывна

влюбой точке P замкнутой области Ф, то интеграл по фигуре сущест-

вует.

ООбласть Ф называется замкнутой, если она ограничена замкнутой линией, и точки, лежащие на границе, принадлежат области Ф.

1.4. Классификация интегралов по фигуре

1. Пусть фигура – часть прямой, Φ ↔ [a,b], f (P)= f (x), dµ = dx ,

∫f (P)dµ = ∫b f (x)dx - определенный интеграл на отрезке [a,b].

Φa

1.6.Свойства интегралов по фигуре, определяемые неравенствами (оценка интегралов по фигуре)

3.Если существуют такие два числа m, M, что m ≤ f (P)≤ M , то

mµ ≤ ∫ f (P)dµ ≤ M µ, где µ −мера Ф.

Φ

Пример:

1) m(b −a)≤ ∫b f (x)dx ≤ M (b −a).

a

2) mS ≤ ∫∫ f (x, y)dS ≤ MS .

D

3) mV ≤ ∫∫∫ f (x, y, z)dv ≤ MV .

G

4) mL ≤ ∫ f (x, y, z)dl ≤ ML .

L

5)mSпов ≤ ∑∫∫ f (x, y, z)dσ ≤ MSпов .

ТТеорема о среднем. Если функция f (P) непрерывна в замкнутой

ограниченной области Ф, то существует точка P Φ , такая, что выполняется равенство: ∫ f (P)dµ = µ f (P).

Φ

Физический смысл теоремы о среднем

Пусть фигура Ф обладает массой, распределенной с плотностью f (P)= ρ(P), тогда m = ∫ f (P)dµ = µ f (P). В случае пространственной фи-

Φ

гуры мера фигуры равна объему µ =V , m =V ρ(P), ρ(P)= Vm - среднее зна-

чение плотности.

Геометрический смысл интегралов по фигуре

Пусть f (P) ≡1, тогда интеграл по фигуре будет равен мере соответствующей фигуры, т. е. ∫dµ = µ . В частных случаях:

Механический смысл интегралов по фигуре

Если функция f (P) = ρ(P) является плотностью фигуры, то масса фигуры выражается интегралом по фигуре

∫ρ(P)dµ = m .

Ф

2. Двойной интеграл

Рассмотрим фигуру, которая является частью плоскости xOy: Φ ↔ D . Интеграл по фигуре в данном случае является двойным интегралом от функ-

n

ции f(P)= f (x, y) по области D: ∫∫ f (P)dS = lim Σ f (Pi )∆Si .

D

rn →0 i=1